开放性问题

谈初中数学开放性问题
1977年，日本国立研究所数学教育学者小组以岛田茂为首的学者在《算术数学课的开放式问题--改善教学的新方案》报告文集中首先提出“数学开放题”(Open ended Problems)这个名词，在不断的研究和探索中，开放题已进入日本的数学课本，并已占一定的比例。

开放题作为研究“问题解决”热潮中的产物，在美国中小学数学教学中已被普遍地使用。

80年代以来，数学开放题被介绍到中国，90年代出现在教材中并进行教学中的试验；95年戴再平先生作了系统的研究（见《数学习题理论》，戴再平，上海教育出版社，1996）。

只是近几年来，数学开放题才日益引起数学教育界的关注，并逐渐形成为数学教学改革的一个热点。

何为开放性问题，国内外学术界还没有统一的定义。

习惯上,人们按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两类：一类是已知和结论都有明确要求的题型；另一类是回答问题的起点和终点（结论）两者中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者是封闭题型，后者是开放题型（简称开放题Open--end problem or Open problem)。

另外，前苏联学者B.A奥加涅相的要素分析法定义是：数学习题是一个系统｛y，o，p，z｝，其中y表示习题的条件，o 表示解题的依据，p表示解题的方法，z表示习题的结论，上述系统的四个要素中有三个是未知的习题称为问题性题，有两个是未知的习题称为探索性题，问题性题与探索性题统称为数学开放题。

一、数学开放题的特征
根据戴再平的研究，数学开放题一般具有以下特征：
所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。

没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。

有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。

常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。

在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般更有概括性的结论。

能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。

教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者和指导者。

二、数学开放题的功能
美国加利福尼亚州教育部于1989年指出了开放性问题的五个功能：为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观是来表达的机会，这和他们的数学发展是一致的;要求构建他们自己的反映，而不是选择一个简单的答案; 允许学生表达他们对问题的深层次的理解，这在多项选择中是无法做到的;鼓励学生用不同的方法来解决问题，反过来提示老师用不同的方法解释数学概念; 开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份。

我国的数学教育工作者经过教学试验和理论研究，认为数学开放题有以下几方面的作用：开放题能引起学生认知的不平衡，为学生主动选择信息，超越所给定的信息留下了充分的余地，有利于完善学生的认知结构;开放题由于具有结果开放、方法开放、思路开放等特点，能有效地反映高层次思维，为高层次思维创造条件，因而能更好地培养学生独立思考和探索精神，培养学生创造意识与能力;开放题有助于培养学生对数学的积极态度，调动学生学习的积极性，提高平常数学成绩较差学生的数学学习兴趣，帮助学生体验智力活动的欢乐，
体验数学学科的灵感;开放题是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体，使每个学生的数学才能在自己的基础上有一个最大的发展，体现受教育者公平和人人有份的原则;开放性问题的研究和教学，有利于教师转变教育观念，激发教育热情，摆脱一种浅层次的教学循环，体现教师自身的生命活力。

三、数学开放题的分类
1.从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类：如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。

2.从开放题答案的开口情况出发，定量地可分成三类：弱开放题——答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；中开放题——答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题——只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题。

3.从试题内容上看分为：数与式的开放题、方程开放题、函数开放题、几何开放题、综合性开放题等。

4.从解题目标的操作模式上分为：规律探索型、问题探究型、数学建模型、操作设计型、情景研究型等。

四、中考中的数学开放题
教育部《关于初中毕业、升学考试指导意见》明确指出，中考数学要出一定的开放性问题，以更好地保障解答者创造性地发挥水平。

《数学课程特点又联系实际的开放性问题。

综观近几年全国各地数学中考试题，开放性问题不仅占有标准》在编学上也十分关注这个问题，在学习选择上改革力度很大，书中有不少既符合学生一定的位置，试题的分值较高，而且渐有加强的趋势。

现仅从解题目标的操作模式上分别就2008年全国各地数学中考试题举例说明：
1.规律探索型
对材料信息的加工提炼和运用，对规律归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。

求解探索规律型试题要求学生有敏锐的观察力，能从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分析，去推得一般的结论。

规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，主要有“数字类”、“计算类”、“图形类”、“设计类”、“动态类”等题型。

例1.(2008年河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于
左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分
别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）
图5-1 图5-2 图5-3
…
A ．上
B ．下
C ．左
D ．右
例2.（2008年哈尔滨）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★．
2. 问题探究型
问题是思维的起点，是探究学习的载体，而探究又是创新的源泉。

问题探究型试题立意新颖、构思巧妙、形式各样，这类试题从素材的选择、文字的表达，到题型设计、题意的开掘都很具特色，是近年来中考的热点之一。

这类试题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答。

例1.(2008年北京）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC
的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC
的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG PC
的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PG PC = ． （2）
例2.（2008年福建莆田）已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222
PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、D A B E F C P G 图1 D C G P A B F
图2
图（3）中的位置时，2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为____________________________________．
对图（3）的探究结论为_____________________________________．
证明：如图（2）
3. 数学建模型 所谓数学建模就是把所要研究的实际问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再通过数学模型的研究，使原问题获得解决的过程。

数学建模需要较多探索和创造性，初中数学常见的建模方法有：涉及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中物体的测量，建立解直角三角形模型；涉及现实生活中普遍存在的等量关系（不等量关系），建立方程（不等式）模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型；涉及对数据的收集、整理、分析，建立统计模型等。

这类问题在解决时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。

再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论。

例1.（2008年广东东莞）在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。

例2.(2008年湖北咸阳） “5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市Ａ、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知Ａ蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点．从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B 地运往C 处的蔬菜为x 吨．
(1)
(2) 设Ａ、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3) 经过抢修，从B 地到C 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元
（m ＞０），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．
4.操作实践型
《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、
自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式；强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。

在上述理念的引领下，近年来，注重学生动手实践、自主探索的操作实践型试题在各地市中考试卷中频频“登场”，并给日常教学注入了新的活力。

解决实践操作试题一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动，利用自己已有的生活经验，感知与发现结论，从而解决问题．
例1.（2008年山东滨州）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形。

将纸片展开，得到的图形是（ ）
例2.(2008年陕西）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。

请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．
测量方案。

（1）所需的测量工具是： ；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x.
5.情景研究型 随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。

实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。

情景设置的取材广泛，有日常生活中常见的问题，如购物、统计、几何图形的计算等，使问题富有时代气息；也有社会热点问题，如环保、纳税、经济、合理用料、2008年北京奥运、南方冻雨冰灾、汶川地震等。

例1. （2008年浙江金华）三军受命，我解放军各部队奋力抗战地救灾一线。

现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为
24km ，如图是他们行走的路线关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
例2. (2008年四川乐山）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离；即|||0|x x =-，也就是说，|x|表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为12||x x -表示在数轴上1x ，2x 对应点之间的距离；
例1 解方程||2x =，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2
例2 解不等式|2|2x ->，如图（16），在数轴上找出|2|2x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为－1、3，则|2|2x ->的解为x <－1或X>3
例3 解方程|1||2|5x x -++=。

由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1 和－2的距离之和为5的点对应的x 的值。

在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x
对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图（17）可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x=2或x =－3
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|3|4x +=的解为
（2）解不等式|3||4|x x -++≥9；
（3）若|3||4|x x --+≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围
五、加强数学开放性问题研究与实践的几点思考
1.加强开放的意识
《数学课程标准》指出数学课程应具有多样性和选择性的开放性理念，并提出了开放的模块式课程结构，从数学课程的内部，为不同层次，不同需要的学生提供了多层次、多类型的课程，为学生选择课程时提供了广阔的空间。

学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。

让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。

因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。

2.构建开放的问题
开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。

根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”
，我们可以为学生构0 2
-2
1
-1 1 3 0 2
建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：
另外，在开放题的编制、开发中，要十分重视开放题的设问方式。

语言的暗示性要恰当，防止将思维导入歧途；要把握问题的开放度，不同水平的学生应采用不同的设问方式，提出不同的解题要求；开放题中所包含的事件应为学生所熟悉，其内容是有趣的，是学生所愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题；要注意问题的可发展性，给学生一个提问题的机会，也许比解题本身更重要。

3.尝试开放的教学
开放式教学是通过改革传统教学过程中束缚学生发展的因素，激励学生积极主动探索数学知识规律，培养学生自主发展能力的新型教学。

《数学课程标准》指出：学习和教学方法必须是开放而多样的，开放性是课堂教学评价的一条重要原则。

它要求课堂教学做到：一是在教学中激发学生的学习活力，不断激起学生的探索、发现、想象和表现的愿望，让学生的思维、心态处于开放状态。

二是创设有利于学生发展的开放式教学情境，通过教学时空的拓展变换，教学评价方法的多元化，师生之间和生生之间的多向交流，为学生营造一种开放的学习空间，以激发学生的学习活力。

三是不拘泥于教材、教案，充分考虑学生学习活动过程的多样性和多变性，通过学生各种信息的反馈，不断调整教学过程，促进学生健康、和谐地发展。