第五章 偏微分方程与特殊函数
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等都是该方程的特解。
u = x2 - y 2 , u = ex cos y, u = ln( x2 + y 2 ) 这些不同的函数，
都满足二维拉普拉斯方程 而函数 u = e- t cos x , u = e- t sin x 都可作为一维热传导方程
2019/4/11
的通解。
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化工应用数学 第五章
即
v g (u ) z 1 g ( y2 x2 ) x y
2 2
dx dy dz 解： = = y x z 1
其解为
v
z 1 x ( x 2 C1 )
1 2
z 1 C2 x y
2019/4/11
方程的解为：
z ( x y) g ( y x ) 1
15
化工应用数学 第五章
5.3 典型方程的建立
5.3.2 非线性（一阶）
xn xn F （x1 , x2 , x3 ...xn， ..., )0 x1 xn 1
解：设U ( x1, x2 , x3..., xn ) C为原方程的一个解函数
U1 = u u u ,U 2 ........,U n x1 x2 xn
(2) 将偏微分方程转化为常微分方程
通过拉斯变换，可将两个自变量的偏微分方程转化为常微
分方程。由于拉氏变换包括变量从零多无穷的积分，所以仅
对从零到无穷有意义的自变量才有可能进行拉氏变换，一般 来说只适用解初值问题。
2019/4/11 19
化工应用数学 第五章
5.3.3 拉普拉斯变换法 例 定解问题
5.3 典型方程的建立
5.3.1. 拉格朗日方法（一阶）（将偏微分方程转化为常微分方程）
z y P Q R x x
若令（ u, v)=0是原方程的解
P, Q, R是( x, y, z)的函数
u ( x, y, z ) C1 ,
v ( x, y , z ) C 2
u，v是两组相互独立的解
u( x, p) u( x, t )e pt dt
0
u
x 0
，所以选择对t作拉
首先对两端作拉氏变换，另利用条件。可得新方程，过程如下：
u L[ ] pu ( x, p ) T0 t
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2 u 2u d 2u d 2 u ( x, p ) pt pt L[ 2 ] e dt 2 u ( x, t )e dt 0 x 2 x dx 0 dx 2
4dx dt u t 4 x C1 dz z dx= v x C2 z e
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z (t 4 x, x ) 0 e
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化工应用数学 第五章
5.3 典型方程的建立
z 令v= （u） x (t 4 x)原方程的通解 e
21
化工应用数学 第五章
5.3.3 拉普拉斯变换法
用拉氏变换解偏微分方程的要点是：
（1）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化范 围（0，∞），而且根据拉氏变换的微分性质
L[ f ( n) (t )] = Pn f ( p) - pn- 1 f (0) - pn- 2 f ' (0) - f ( n- 1) (0)
(3) B2－AC＜0，则方程在该点处为椭圆型的，如： uxx＋uyy＝0
2019/4/11
（5－8）
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化工应用数学 第五章
方程的类型在域内不一定是唯一的。如： xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0 B2-AC＝0－xy， ① xy＜0， M在二，四象限 双曲型
② xy＞0，
M在一，三象限
椭圆型
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化工应用数学 第五章
(2) 偏微分方程
yux + xu y = 0
z = f ( x2 - y 2 ) 是方程的通解 ，其中f 是任意函数 。
如 u = ( x2 - y 2 )， u = sin( x2 - y 2 ) u = 4 x 2 - y 2 + cos( x 2 - y 2 )
Z =e x (4 x),
u 2
由于（ Z x,0) 2e
2 x
3u 2e2 x 2e (4 x)= x , (u ) u ， u =2e 4 e e4
Z e x 2.e
v z 1 x x C1
2 1 2
3(4 x t ) 4
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化工应用数学 第五章
5.1.2 偏微分方程的规定
(3) 偏微分方程的求解方法
1、方程的建立
建模。
2、求解
（1）解析解：① 分离变量法； ② 拉普拉斯变换法等。 （2）数值解：尤拉法、龙格－库塔法等。
2019/4/11 8
化工应用数学 第五章
5.2 二阶偏微分方程分类
限两个自变量的二阶线性方程，未知函数 u（x，y） 一般形式：
化工应用数学 第五章
第五章
5.1 引言
偏微分方程与特殊函数
5.1.1 偏微分方程的定义
描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知 函数的偏导数，则称之为偏微分方程。
ຫໍສະໝຸດ Baidu2019/4/11
1
化工应用数学 第五章
第五章
偏微分方程与特殊函数
5.1.2 偏微分方程的规定
（1）方程中出现的偏导数的最高阶数称为方程的阶数。
5.3.2 非线性（一阶）
dx ln c1 ln u1 1 1 1 2x c2 2 c3 2 c1 2 1 u1 , u2 , u3 1 2 ln x ln c1 ln u1 x z y 2 c1 1 u1 ( ) 2 x du u dx u dy u dz
1 2 3
c c c du ( ) dx ( ) dy ( ) dz x y z
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1 1 2
1 2 2
1 3 2
u 2(c1 x) 2(c2 y) 2(c3 z)
1 2
1 2
1 2
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化工应用数学 第五章
5.3 典型方程的建立
5.3.3 拉普拉斯变换法
(1) 将常微分方程转化为代数方程
z u1 z u2 , 代入原方程 x u3 y u3
f xu yu2 zu =0
2 1 2 2 3
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du1 du2 du3 dx dy dz 2 2 2 2 xu1 2 yu2 2 zu3 u1 u2 u3
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化工应用数学 第五章
p x a
x0
T1 p
Be
p x a
T0 p
由于 x 时。u(x,t)应该有界，所以u(x,p)也应该有界，故B=0， 再有条件得：
T0 T1 A p p
p x a
A
T1 T0 p
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T1 T0 u( x, p) e p
T0 p
u( x, t ) (T1 T0 )erfc[ x / (2a t )] T0
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化工应用数学 第五章
由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类
设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有：
(1) B2－AC＞0，则方程在该点处为双曲线型的，如：
uxx－uyy＝0
（5－6）
(2) B2－AC＝0，则方程在该点处为抛物线型，如： uy－uxx＝0 （5－7）
C2
z 1 ( x2 y 2 ) x y
V= u
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Z ( x y) ( x2 y 2 )
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化工应用数学 第五章
5.3 典型方程的建立
例2
z z y X z 1 x x
dx dy 2 2 u y x C1 y x dy dz dx dz 1 dx z 1 z 1 2 2 ( x c ) 1
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化工应用数学 第五章
5.3.3 拉普拉斯变换法
d 2 u ( x, p ) pu ( x, p) T0 a dx 2
2
d 2u ( x, p) pu ( x, p) T0 2 0 dx 2 a2 a
同时对另一边界条件作拉氏变换 u ( x, p) 二阶常微分方程，其解为 u( x, p) Ae
③ xy＝0(x或y＝0)， M在y或者x轴上 抛物型 三类方程：（最典型的物理含义） 双曲线型： 抛物线型： 椭圆型：
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utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz） ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz） uxx＋uyy＋uzz＝0
波动方程 热传导方程 拉普拉斯方程
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化工应用数学 第五章
（2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项称方程为
线性的，反之统称成为非线性的。 在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的—
—拟线性的。
（3）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称 为齐次方程，否则称为非齐次方程。
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化工应用数学 第五章
dx dy dz (建立常微分方程组） p Q R
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化工应用数学 第五章
5.3 典型方程的建立
例 1
z z 4 Z 求出Z的解 t x Z ( x, 0) 2e2 x
解：采用拉格朗日法
dx dt dz 1 4 z
联立任意两个方程
5.1.2 偏微分方程的规定
例
2019/4/11
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化工应用数学 第五章
5.1.2 偏微分方程的规定
(1) 偏微分方程的定解问题
一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，必 定包含有n个独立的任意函数，若存在n个边界条 件，则可确定这n个常数，从而获得该方程满足边 界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具 有特定形式的任意函数，且看以下例题。
F（x，y，u， ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0
线性形式： Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0 A，B，C，D，E，f，G是x，y的函数
(5-4)
(5-5）
当A，B，C，D，E，G是常数时，式（5－5）是二阶常系
数线性偏微分方程，f＝f（x，y）为已知函数是自由项。
5.1.2 偏微分方程的规定
由此可以得出两点结论：
① 偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分
方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特 解，而是直接求特解。 ② 一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象 的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可 称为“泛定方程”。
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化工应用数学 第五章
5.1.2 偏微分方程的规定
确定地描述某个系统的运动过程，除了反映 运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必 须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包 括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件 （关于空间变量的约束条件）。 泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过 程的“定解问题”，此时问题才可能有确定的特解。
2 u 2 u t a x 2 ( x 0, t 0) u t 0 T0 u x 0 T1
用拉氏变化求解，需要首先确定对哪一个自变量施行拉氏变换，就本例而 言，对x与t都可以。但对x偏导是二阶的，且没给出 t 氏变换。 用u(x,p)表示函数u(x,t)关于t的拉氏变换，即
该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都
满足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单为准。
（2）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用到
2019/4/11
du i dxi 0 u
i 1
u
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化工应用数学 第五章
5.3.2 非线性（一阶）
z z 例：x Y z x y
2 2
解： U ( x, y, z) c
u u u 令u1 , u2 , u3 x y z
xn U1 xn U 2 = , ,...... x1 U n x2 U n
代入F 0中
dx dun dx1 dx2 du ... n 1 .... 常微分方程的辅助方程 fu1 fu2 fun fx1 fxn
f 对u的导数
能求解出u1, u2 ,...，un
u = x2 - y 2 , u = ex cos y, u = ln( x2 + y 2 ) 这些不同的函数，
都满足二维拉普拉斯方程 而函数 u = e- t cos x , u = e- t sin x 都可作为一维热传导方程
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的通解。
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化工应用数学 第五章
即
v g (u ) z 1 g ( y2 x2 ) x y
2 2
dx dy dz 解： = = y x z 1
其解为
v
z 1 x ( x 2 C1 )
1 2
z 1 C2 x y
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方程的解为：
z ( x y) g ( y x ) 1
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5.3 典型方程的建立
5.3.2 非线性（一阶）
xn xn F （x1 , x2 , x3 ...xn， ..., )0 x1 xn 1
解：设U ( x1, x2 , x3..., xn ) C为原方程的一个解函数
U1 = u u u ,U 2 ........,U n x1 x2 xn
(2) 将偏微分方程转化为常微分方程
通过拉斯变换，可将两个自变量的偏微分方程转化为常微
分方程。由于拉氏变换包括变量从零多无穷的积分，所以仅
对从零到无穷有意义的自变量才有可能进行拉氏变换，一般 来说只适用解初值问题。
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化工应用数学 第五章
5.3.3 拉普拉斯变换法 例 定解问题
5.3 典型方程的建立
5.3.1. 拉格朗日方法（一阶）（将偏微分方程转化为常微分方程）
z y P Q R x x
若令（ u, v)=0是原方程的解
P, Q, R是( x, y, z)的函数
u ( x, y, z ) C1 ,
v ( x, y , z ) C 2
u，v是两组相互独立的解
u( x, p) u( x, t )e pt dt
0
u
x 0
，所以选择对t作拉
首先对两端作拉氏变换，另利用条件。可得新方程，过程如下：
u L[ ] pu ( x, p ) T0 t
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2 u 2u d 2u d 2 u ( x, p ) pt pt L[ 2 ] e dt 2 u ( x, t )e dt 0 x 2 x dx 0 dx 2
4dx dt u t 4 x C1 dz z dx= v x C2 z e
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z (t 4 x, x ) 0 e
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5.3 典型方程的建立
z 令v= （u） x (t 4 x)原方程的通解 e
21
化工应用数学 第五章
5.3.3 拉普拉斯变换法
用拉氏变换解偏微分方程的要点是：
（1）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化范 围（0，∞），而且根据拉氏变换的微分性质
L[ f ( n) (t )] = Pn f ( p) - pn- 1 f (0) - pn- 2 f ' (0) - f ( n- 1) (0)
(3) B2－AC＜0，则方程在该点处为椭圆型的，如： uxx＋uyy＝0
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（5－8）
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方程的类型在域内不一定是唯一的。如： xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0 B2-AC＝0－xy， ① xy＜0， M在二，四象限 双曲型
② xy＞0，
M在一，三象限
椭圆型
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(2) 偏微分方程
yux + xu y = 0
z = f ( x2 - y 2 ) 是方程的通解 ，其中f 是任意函数 。
如 u = ( x2 - y 2 )， u = sin( x2 - y 2 ) u = 4 x 2 - y 2 + cos( x 2 - y 2 )
Z =e x (4 x),
u 2
由于（ Z x,0) 2e
2 x
3u 2e2 x 2e (4 x)= x , (u ) u ， u =2e 4 e e4
Z e x 2.e
v z 1 x x C1
2 1 2
3(4 x t ) 4
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5.1.2 偏微分方程的规定
(3) 偏微分方程的求解方法
1、方程的建立
建模。
2、求解
（1）解析解：① 分离变量法； ② 拉普拉斯变换法等。 （2）数值解：尤拉法、龙格－库塔法等。
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化工应用数学 第五章
5.2 二阶偏微分方程分类
限两个自变量的二阶线性方程，未知函数 u（x，y） 一般形式：
化工应用数学 第五章
第五章
5.1 引言
偏微分方程与特殊函数
5.1.1 偏微分方程的定义
描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知 函数的偏导数，则称之为偏微分方程。
ຫໍສະໝຸດ Baidu2019/4/11
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第五章
偏微分方程与特殊函数
5.1.2 偏微分方程的规定
（1）方程中出现的偏导数的最高阶数称为方程的阶数。
5.3.2 非线性（一阶）
dx ln c1 ln u1 1 1 1 2x c2 2 c3 2 c1 2 1 u1 , u2 , u3 1 2 ln x ln c1 ln u1 x z y 2 c1 1 u1 ( ) 2 x du u dx u dy u dz
1 2 3
c c c du ( ) dx ( ) dy ( ) dz x y z
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1 2 2
1 3 2
u 2(c1 x) 2(c2 y) 2(c3 z)
1 2
1 2
1 2
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5.3 典型方程的建立
5.3.3 拉普拉斯变换法
(1) 将常微分方程转化为代数方程
z u1 z u2 , 代入原方程 x u3 y u3
f xu yu2 zu =0
2 1 2 2 3
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du1 du2 du3 dx dy dz 2 2 2 2 xu1 2 yu2 2 zu3 u1 u2 u3
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p x a
x0
T1 p
Be
p x a
T0 p
由于 x 时。u(x,t)应该有界，所以u(x,p)也应该有界，故B=0， 再有条件得：
T0 T1 A p p
p x a
A
T1 T0 p
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T1 T0 u( x, p) e p
T0 p
u( x, t ) (T1 T0 )erfc[ x / (2a t )] T0
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由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类
设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有：
(1) B2－AC＞0，则方程在该点处为双曲线型的，如：
uxx－uyy＝0
（5－6）
(2) B2－AC＝0，则方程在该点处为抛物线型，如： uy－uxx＝0 （5－7）
C2
z 1 ( x2 y 2 ) x y
V= u
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Z ( x y) ( x2 y 2 )
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5.3 典型方程的建立
例2
z z y X z 1 x x
dx dy 2 2 u y x C1 y x dy dz dx dz 1 dx z 1 z 1 2 2 ( x c ) 1
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5.3.3 拉普拉斯变换法
d 2 u ( x, p ) pu ( x, p) T0 a dx 2
2
d 2u ( x, p) pu ( x, p) T0 2 0 dx 2 a2 a
同时对另一边界条件作拉氏变换 u ( x, p) 二阶常微分方程，其解为 u( x, p) Ae
③ xy＝0(x或y＝0)， M在y或者x轴上 抛物型 三类方程：（最典型的物理含义） 双曲线型： 抛物线型： 椭圆型：
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utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz） ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz） uxx＋uyy＋uzz＝0
波动方程 热传导方程 拉普拉斯方程
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（2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项称方程为
线性的，反之统称成为非线性的。 在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的—
—拟线性的。
（3）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称 为齐次方程，否则称为非齐次方程。
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dx dy dz (建立常微分方程组） p Q R
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5.3 典型方程的建立
例 1
z z 4 Z 求出Z的解 t x Z ( x, 0) 2e2 x
解：采用拉格朗日法
dx dt dz 1 4 z
联立任意两个方程
5.1.2 偏微分方程的规定
例
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化工应用数学 第五章
5.1.2 偏微分方程的规定
(1) 偏微分方程的定解问题
一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，必 定包含有n个独立的任意函数，若存在n个边界条 件，则可确定这n个常数，从而获得该方程满足边 界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具 有特定形式的任意函数，且看以下例题。
F（x，y，u， ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0
线性形式： Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0 A，B，C，D，E，f，G是x，y的函数
(5-4)
(5-5）
当A，B，C，D，E，G是常数时，式（5－5）是二阶常系
数线性偏微分方程，f＝f（x，y）为已知函数是自由项。
5.1.2 偏微分方程的规定
由此可以得出两点结论：
① 偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分
方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特 解，而是直接求特解。 ② 一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象 的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可 称为“泛定方程”。
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化工应用数学 第五章
5.1.2 偏微分方程的规定
确定地描述某个系统的运动过程，除了反映 运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必 须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包 括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件 （关于空间变量的约束条件）。 泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过 程的“定解问题”，此时问题才可能有确定的特解。
2 u 2 u t a x 2 ( x 0, t 0) u t 0 T0 u x 0 T1
用拉氏变化求解，需要首先确定对哪一个自变量施行拉氏变换，就本例而 言，对x与t都可以。但对x偏导是二阶的，且没给出 t 氏变换。 用u(x,p)表示函数u(x,t)关于t的拉氏变换，即
该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都
满足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单为准。
（2）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用到
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du i dxi 0 u
i 1
u
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5.3.2 非线性（一阶）
z z 例：x Y z x y
2 2
解： U ( x, y, z) c
u u u 令u1 , u2 , u3 x y z
xn U1 xn U 2 = , ,...... x1 U n x2 U n
代入F 0中
dx dun dx1 dx2 du ... n 1 .... 常微分方程的辅助方程 fu1 fu2 fun fx1 fxn
f 对u的导数
能求解出u1, u2 ,...，un