第3章--振动系统的运动微分方程题解
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另解：由动静法得,以整体为研究对象
以M为研究对象：
又忽略高阶小量 ，所以以上两式化简后得：
化成矩阵形式为：
3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F(y,t)。试用哈密顿原理求运动方程。
解：若梁的挠曲函数为w(y,t)，则动能为
(a)
应变（势能）为
(b)
由瞬心法求质心的速度
， ，
所以
系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为
由动能定理
所以
系统的运动微分方程为
要点及讨论
（1）平面运动刚体可用式 计算刚体动能，式中 为刚体对瞬心的转动惯量， 为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度 也可用式 计算。其中
（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角 为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为 ，由此可将题3-12图等效为(a)图，其中
，
广义坐标如图（a）示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，画出受力图，并施加物体力 ，列平衡方程，可得到
，
同理可求得 。最后求得刚度矩阵为
=
由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为
得到系统的位移方程为
也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的 施加单位力，而 不受力，此时第一个弹簧变形为 ，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为，
解：设 质心的水平位移与 相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，画出受力图，并施加物体力与力偶 ，列平衡方程，
，
，
设 ，画出受力图，并施加物体力与力偶 ，列平衡方程，
，
，
，
， ， ，
得作用力方程为
题3-12图
3-12题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ1，上层为EJ2，采用微小水平运动x1及x2为坐标，列出系统运动的位移方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：
①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为
(1)
对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为
(2)
(3)
(4)
其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有
(5)
(6)
由方程(1)、(2)消去未知力，FOx并考虑式(5)得
(7)
又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx，并考虑式(5)和(6)，得
(d)
展开上述频率方程，得
(e)
解得式(e)的两个根为
(f)
将式(f)代入式(c)，可得两个自振频率
(g)
（3）振型分析
由振幅方程得
两个振型的大致形状如图3-13(a)、(b)所示。
题3-4图
解：系统具有两个自由度，选 为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：
，水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
①
②
式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间 求导后，即可得到系统运动微分方程。
要点及讨论
（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间 求导一次可得到系统的运动微分方程。
上述方程包含 ， ， ， ， 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标 之间的关系
，
所以
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力 ， ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，分别画出 与 的受力图，并施加二物块力 ，列平衡方程，
对 ：
， 题3-10图
，
对 ：
，
，
设 ，分别画出 与 的受力图，并施加二物块力 ，列
平衡方程，
对 ： ，
，
对 ： ，
，
由， ， ， ， ，
，解得，
， ， ，
得作用力方程为
3-11题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受水平力PC和扭矩MC的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、A及 ，以质心C的微小位移xC与 为坐标，列出系统运动的作用力方程。
习
3-1复摆重P，对质心的回转半径为 ，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角 为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程
其中
得到复摆运动微分方程为
或
3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为 ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
题3-7图
解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即
(1)
则系统的动能
(2)
系统的势能为
(3)
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
(4)
写成矩阵形式
(5)
其中
Βιβλιοθήκη Baidu质量矩阵
刚度矩阵
位移列阵
（a）（b）
题3-8图
3-8在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标，求出运动方程。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
，
系统的动能
主动力的元功
根据动能定理建立的方程为
所以
“—”号说明当 取正值时 为负，即反时针方向。
（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为 的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。
题3-9图
解：选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为M，总质量对质心G点的惯性矩为IG，则
式中，V为贮存在弹簧中的势能。
有：
由拉格朗日方程得
则运动方程为
因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定 ，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。
3-10题3-10图是一个带有附有质量m1和m2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x1和x2为坐标，写出系统运动的作用力方程。
外力功为 (c)
将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式
(d)
得到
(e)
对式(e)进行分部积分运算，得到
(f)
由于， 时，哈密顿原理要求w= 0，因而式(f)变为
(f)
因为，t1与t2区间的虚位移w不可能为零，由此，得到梁的边界条件
(h)
与运动方程
(i)
两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
3-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统微幅运动微分方程。图中 。
解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。
(8)
方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x和为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式
那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：
(9)
由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
，
同理求出 ， 。最后得到柔度矩阵为
另解：（1）求刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]
在各楼层处附加水平链杆，并分别使各层产生一单位位移。由各层的剪力平衡条件，可求得各刚度影响系数，其数值分别如图3-13(b)、(c)所示。得刚度矩阵为
(a)
质量矩阵为
(b)
图3-13
（2）频率分析
引入符号
(c)
则由式(3-12)知
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能
选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能
由
两边对时间 求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解：系统具有一个自由度，选 为广义坐标。系统在任一位置的动能为
解：系统具有一个自由度，选 为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：
用瞬心法求 ：
故
系统具有理想约束，重力的元功为
应用动能定理的微分形式
等式两边同除 ，
，等式两边同除
故微分方程为
①
若为小摆动 ， ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为
要点及讨论
（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程
解：运动的分离体图如图（b）所示。
地震中可设为微小角度，因此
因此运动方程为
如果 则
则频率方程为
即
或
另解：动静法得。
以刚体m为研究对象：
又忽略高阶小量 ，所以以上两式化简后得：
图中：kx、m 应反向。方程应为
3-9为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。
以M为研究对象：
又忽略高阶小量 ，所以以上两式化简后得：
化成矩阵形式为：
3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F(y,t)。试用哈密顿原理求运动方程。
解：若梁的挠曲函数为w(y,t)，则动能为
(a)
应变（势能）为
(b)
由瞬心法求质心的速度
， ，
所以
系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为
由动能定理
所以
系统的运动微分方程为
要点及讨论
（1）平面运动刚体可用式 计算刚体动能，式中 为刚体对瞬心的转动惯量， 为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度 也可用式 计算。其中
（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角 为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为 ，由此可将题3-12图等效为(a)图，其中
，
广义坐标如图（a）示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，画出受力图，并施加物体力 ，列平衡方程，可得到
，
同理可求得 。最后求得刚度矩阵为
=
由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为
得到系统的位移方程为
也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的 施加单位力，而 不受力，此时第一个弹簧变形为 ，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为，
解：设 质心的水平位移与 相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，画出受力图，并施加物体力与力偶 ，列平衡方程，
，
，
设 ，画出受力图，并施加物体力与力偶 ，列平衡方程，
，
，
，
， ， ，
得作用力方程为
题3-12图
3-12题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ1，上层为EJ2，采用微小水平运动x1及x2为坐标，列出系统运动的位移方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：
①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为
(1)
对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为
(2)
(3)
(4)
其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有
(5)
(6)
由方程(1)、(2)消去未知力，FOx并考虑式(5)得
(7)
又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx，并考虑式(5)和(6)，得
(d)
展开上述频率方程，得
(e)
解得式(e)的两个根为
(f)
将式(f)代入式(c)，可得两个自振频率
(g)
（3）振型分析
由振幅方程得
两个振型的大致形状如图3-13(a)、(b)所示。
题3-4图
解：系统具有两个自由度，选 为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：
，水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
①
②
式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间 求导后，即可得到系统运动微分方程。
要点及讨论
（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间 求导一次可得到系统的运动微分方程。
上述方程包含 ， ， ， ， 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标 之间的关系
，
所以
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力 ， ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，分别画出 与 的受力图，并施加二物块力 ，列平衡方程，
对 ：
， 题3-10图
，
对 ：
，
，
设 ，分别画出 与 的受力图，并施加二物块力 ，列
平衡方程，
对 ： ，
，
对 ： ，
，
由， ， ， ， ，
，解得，
， ， ，
得作用力方程为
3-11题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受水平力PC和扭矩MC的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、A及 ，以质心C的微小位移xC与 为坐标，列出系统运动的作用力方程。
习
3-1复摆重P，对质心的回转半径为 ，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角 为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程
其中
得到复摆运动微分方程为
或
3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为 ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
题3-7图
解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即
(1)
则系统的动能
(2)
系统的势能为
(3)
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
(4)
写成矩阵形式
(5)
其中
Βιβλιοθήκη Baidu质量矩阵
刚度矩阵
位移列阵
（a）（b）
题3-8图
3-8在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标，求出运动方程。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
，
系统的动能
主动力的元功
根据动能定理建立的方程为
所以
“—”号说明当 取正值时 为负，即反时针方向。
（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为 的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。
题3-9图
解：选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为M，总质量对质心G点的惯性矩为IG，则
式中，V为贮存在弹簧中的势能。
有：
由拉格朗日方程得
则运动方程为
因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定 ，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。
3-10题3-10图是一个带有附有质量m1和m2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x1和x2为坐标，写出系统运动的作用力方程。
外力功为 (c)
将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式
(d)
得到
(e)
对式(e)进行分部积分运算，得到
(f)
由于， 时，哈密顿原理要求w= 0，因而式(f)变为
(f)
因为，t1与t2区间的虚位移w不可能为零，由此，得到梁的边界条件
(h)
与运动方程
(i)
两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
3-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统微幅运动微分方程。图中 。
解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。
(8)
方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x和为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式
那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：
(9)
由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
，
同理求出 ， 。最后得到柔度矩阵为
另解：（1）求刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]
在各楼层处附加水平链杆，并分别使各层产生一单位位移。由各层的剪力平衡条件，可求得各刚度影响系数，其数值分别如图3-13(b)、(c)所示。得刚度矩阵为
(a)
质量矩阵为
(b)
图3-13
（2）频率分析
引入符号
(c)
则由式(3-12)知
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能
选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能
由
两边对时间 求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解：系统具有一个自由度，选 为广义坐标。系统在任一位置的动能为
解：系统具有一个自由度，选 为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：
用瞬心法求 ：
故
系统具有理想约束，重力的元功为
应用动能定理的微分形式
等式两边同除 ，
，等式两边同除
故微分方程为
①
若为小摆动 ， ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为
要点及讨论
（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程
解：运动的分离体图如图（b）所示。
地震中可设为微小角度，因此
因此运动方程为
如果 则
则频率方程为
即
或
另解：动静法得。
以刚体m为研究对象：
又忽略高阶小量 ，所以以上两式化简后得：
图中：kx、m 应反向。方程应为
3-9为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。