灰色预测模型
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系统工程理论
西南民族大学管理学院 汪虹
本讲介绍
灰色预测模型
灰色预测的基本思想 GM（1，1）模型的建立 GM（1，1）模型用于预测 冲击扰动与缓冲算子 灾变预测
系统工程理论
灰色预测模型
灰色预测的基本思想
当一时间序列无明显趋势时，采用累加方法可生 成趋势明显的时间序列。
比如 X 0 32,38,36,35, 40, 42
n
x1 n x0 t t 1
系统工程理论
灰色数据序列的生成
可得到原始数据序列的一次累加生成数列(1-AGO)：
其中，
X 1 x1 1, x1 2,, x1 n
x1 t x0 1
x1
t
t
x0 i
i 1
t 2,3,, n
系统工程理论
灰色数据序列的生成
类似可得原始数据序列的 r 次累加生成数列(r-AGO)：
系统工程理论
GM(1,1)模型例题
1－AGO生成数据序列：
X 1 383.3775, 776.4179, 1175.7811, 1581.7882
X 1 的紧邻均值生成序列：
Z1 579.8977, 976.0995, 1378.7847
最小二乘参数估计：
a bT 0.016232, 383.591412T
系统工程理论
灰色预测的类型
按应用对象的不同，灰色预测可分为：
数列预测 —— 对表征系统行为的指标值的发展变化进行预 测
灾变预测 —— 对表征系统行为的指标值超过阈值的异常值 将于何时再现进行预测
……
系统工程理论
灰色模型机理
一般建模是利用数据序列建立差分方程，灰色建 模是将原始数据进行生成处理后建立微分方程。
于是，GM(1,1)模型为
dx1 0.016232x1 383.591412 dt
系统工程理论
因为
GM(1,1)模型例题
b 383.591412 23632.256 a 0.016232
x0 1 b 383.3775 23632.256 24015.633
a
xˆ1 t 1 24015.633e0.016232t 23632.256
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
进一步地，当级比序列落入可容覆盖
0
t
2 2 e n1 , en1
t 3, 4,, n
之中时，原始数据序列才适合于 GM（1,1）建模和预 测。该覆盖亦被称为数值覆盖。
如果级比序列没有落入其可容覆盖中，可以考虑 对原始数据序列进行变换。常用数据变换方法有对数 变换、方根变换和平移变换。
系统工程理论
灰色数据序列的生成
均值生成
—— 等距原始数据序列的相邻两数的平均值为均 值生成序列。
z
t
1 2
x
t
x
t
1
t 2,3,, n
若原始数据序列中出现空穴，可用均值生成进行 填补，该方法常用于补充不完整的历史数据。
均值生成不能用于补充原始数据序列的起点和终 点。
系统工程理论
灰色数据序列的生成
e
at
b a
x t 1 x t 1 ea
x0
1
b a
eat
系统工程理论
按定义， 于是，
GM（1，1）模型的建立
dx1 t
x1 t t x1 t
lim
dt
t 0
t
x1 t x1 t 1 x1 t x1 t 1 x1 t x0 t 1
t
1
t 1
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
IAGO算式
xr1 1 xr 1
xr
1
t
xr
t
xr
t
1
t 2,3,, n
系统工程理论
灰色数据序列的生成
特别地，一次累加生成序列经一次累减便得到原 始数据序列。
由
xr1 1 xr 1
xr
1
t
xr
t
xr
t
1
t 2,3,, n
令 r =1可得
x0 1 x1 1
x0
t
x1
t
x1
t
1
t 2,3,, n
设
原始序列
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
还原序列
Xˆ 0 xˆ0 1, xˆ0 2,, xˆ0 n
系统工程理论
GM（1，1）模型的检验
则残差序列
2, 3,, n
其中 t x0 t xˆ0 t t 2,3,,n 。
相对误差序列
2 x0 2
,
3 x0 3
, ,
z
1
n
1
由最小二乘参数估计可以得到
a b T BT B 1 BTY
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
在 GM（1，1）模型中， a 反映了 xˆ1 及 xˆ0 的发 展态势，被称为发展系数。 b 是从背景中挖掘出来的 数据，反映了数据变化的关系，被称为灰色作用量。
可以求出， GM（1，1）基本模型 x0 t az1 t b 的时间相应序列为
与
X 1 32,70,106,141,181, 223
累加生成是使灰色过程由灰变白的有效方法。
时间序列数据的累加趋势
系统工程理论
灰色预测模型 灰色预测的基本思想
对“累加”生成的时间序列的变化趋势，可建立 预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测，然后采用 “累减”方法进行逆运算，恢复原时间序列，得到预 测结果。
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
容易求出，形如
dx ax b dt
的微分方程的通解为
x t b Ceat
a
由初始条件 x t x0 1 可得待定常数 t 1
C
b a
x0
1
ea
系统工程理论
于是，
GM（1，1）模型的建立
x t
x
0
1
b a
eat
1
b a
x t
1
x
0
1
b a
由
xˆ0 t 1 xˆ1 t 1 xˆ1 t t 1, 2,, n 1
可以求出累减还原序列：
Xˆ 0 383.3775, 392.9951, 399.4262, 405.9624
系统工程理论
GM(1,1)模型例题
残差序列：
0.045265, 0.062961, 0.044674
级比生成
令原始数列
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
定义级比
0
t
x0 t 1 x0 t
t 2,3,, n
可得级比序列：
0 0 2, 0 2,, 0 n
系统工程理论
灰色数据序列的生成
级比生成 若原始数列
X 0 0 1, x0 2,, x0 n 1,0 n
的两端（ 0 1 和 0 n ）为空穴，可用 0 1 右邻 的级比生成 x0 1 和用 0 n 左邻的级比生成 x0 n。
GM(1,1)模型例题 灰色预测模型例题：
设某地区的人口数据如下表所示。
年份（t）
1991
1992
1993
1994
人口（万人） 383.3775 393.0404 399.3632 406.0071
请对1995年～1998年的人口数量进行预测。
灰色预测模型例题的MATLAB程序
系统工程理论
GM(1,1)模型例题
灰色模型（GM，grey model）兼有部分微分和部 分差分的性质。
“微分”适应光滑，“差分”适应跳变。
灰色建模的突出特点是少到 4 个数据也可建立精
度较高的动态模型。
系统工程理论
灰色模型机理
GM（n，N）表示 n 阶 N 变量微分方程模型。
GM（1，N）模型适合于建立系统的状态方程，进 行变量间的动态关联分析。在 GM（1，N）模型中，N 个变量中的每一个变量在任一时刻的值都依赖于该时 刻其它变量的值，故而对所有变量的预测值都必须同 时取得，难度较大。变量间的多重共线性还会使模型 精度变差。
xˆ1
t
1
x
0
1
b a
e at
b a
t 1, 2,, n 1
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
累减还原序列为
xˆ0 t 1 xˆ1 t 1 xˆ1 t
1 ea
x0
1
b a
eat
t 1, 2,, n 1
累减还原序列即为模型的模拟值。
利用模型模拟值即可进行预测：
xˆ0 t 1
用级比生成方法填补空穴所得的数据序列被称为 级比生成序列。
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件 根据灰色系统理论，仅当级比序列
0 t 0.1353, 7.389 t 3, 4,, n
时，原始数据序列才能用于GM（1,1）建模。 因为此时才能保证
a 2, 2
该覆盖被称为机理覆盖。
注：参见，邓聚龙.灰预测与灰决策.武汉：华中科技大学出版社,2002
t
1
t 2,3,, n
它正是原始序列的一次累加生成序列的紧邻均值 生成序列。
于是，我们得到
x0 t az1 t b t 2,3,, n
该式被称为GM(1,1)模型的基本形式。
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
令
x0 2
Y
x0 3
x0 n
z1 2 1
z1 3 1
B
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
设原始数据序列 X 0 非负，即 x0 t 0 t 1, 2,, n
其一次累加生成数据序列为 X 1 。
通常， X 1 具有指数增长规律，而一阶微分方程 的解恰好具有指数增长形式。因而，可以认为，X 1 满 足线性微分方程
dx1 ax1 b dt
该方程被称为 GM（1,1）模型的白化方程。
因此，比较之下，GM（1，1）更适合方便地用于
预测。
系统工程理论
灰色数据序列的生成 灰色理论中常用的数据序列生成方法：
累加生成（AGO） 累减生成（IAGO） 均值生成 级比生成
系统工程理论
灰色数据序列的生成
累加生成
设 X 0 为原始数列，即
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
令 x1 1 x0 1 x1 2 x0 1 x0 2
t 0, t 3, 4,, n
0.5
则称该数据序列为准光滑序列。
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
准光滑序列 一般地，非负准光滑序列经过累加生成后，都会
减少随机性，呈现出近似的指数增长规律。
可以证明，非负准光滑序列只需经一次累加生成 即可用于建立GM（1，1）模型。
在实际应用中，累加生成应适可而止，否则规律 性反而会受到破坏。
n x0 n
平均相对误差
1 n 1
n t2
t
系统工程理论
GM（1，1）模型的检验
精度检验等级参照表
精度 一级 二级 三级 四级
相对误差 0.01 0.05 0.10 0.20
一般情况下，常用相对误差对模型进行检验。
对给定相对误差 ，当 且 n 成立时，称 模型为残差合格模型。
系统工程理论
1 ea
x0
1
b a
e
at
t n, n 1,
系统工程理论
原始数据的非负化处理
一般地，GM（1，1）模型要求数据序列非负。
原始数据非负化的处理方法
设有负值的原始数据序列为
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
选定数据序列中的最小负数为
xm0in
min k
x0
t
系统工程理论
原始数据的非负化处理
考虑到在 t 1 的短时间内， xt 到 xt t 不会 发生突变，故令 x1 t 取时刻 t 和时刻 t+1 的平均值， 于是得到
x0
t
1
1 2
a
x1
t
1
x1
t
b
或者，等价地
x0
t
1 2
a
x1
tx1t1来自bt 2,3,, n
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
上式中，令
z1
t
1 2
x1
t
x1
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
光滑比 定义数据序列的光滑比
t
xt
t 1
t 2,3,, n
xk
k 1
光滑比在一定程度上反映了数据序列的光滑性， 常用于考察序列中的数据变化是否过于剧烈。
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
准光滑序列 若数据序列满足条件：
t 1 t 1
t 2, 3,, n 1
原始数据非负化的处理方法
令 显然，
x0 t x0 t xm0in t 1, 2,, n x0 t 0 t 1, 2,, n
此时，X 0 即为非负数据序列，可用于建立 GM（1,1） 模型。
系统工程理论
GM（1，1）模型的检验
GM（1，1）模型通常采用残差检验。
基本思想是按照所建模型算出累加序列，再累减 生成还原序列，将还原序列与原始序列进行比较，两 序列之差即为残差序列。
原始数据序列：
X 0 383.3775, 393.0404, 399.3632, 406.0071
进行级比检验：
容易求出 0 0.9754 0.9842 0.9836
显然
0
2
2
t e 41 , e41
0.6703,1.4918
t 2,3, 4
因此，原始数据序列适合于GM(1,1)建模和预测。
其中，
X r xr 1, xr 2,, xr n
xr 1 xr1 1
x
r
t
t
xr1
i 1
i
t 1
xr1 i xr1 t i 1
xr t 1 xr1 t
t 2,3,, n
系统工程理论
灰色数据序列的生成 累减生成
将数据序列中相邻两数相减，便可得到累减生成 序列（1-IAGO）。由AGO算式容易得到
西南民族大学管理学院 汪虹
本讲介绍
灰色预测模型
灰色预测的基本思想 GM（1，1）模型的建立 GM（1，1）模型用于预测 冲击扰动与缓冲算子 灾变预测
系统工程理论
灰色预测模型
灰色预测的基本思想
当一时间序列无明显趋势时，采用累加方法可生 成趋势明显的时间序列。
比如 X 0 32,38,36,35, 40, 42
n
x1 n x0 t t 1
系统工程理论
灰色数据序列的生成
可得到原始数据序列的一次累加生成数列(1-AGO)：
其中，
X 1 x1 1, x1 2,, x1 n
x1 t x0 1
x1
t
t
x0 i
i 1
t 2,3,, n
系统工程理论
灰色数据序列的生成
类似可得原始数据序列的 r 次累加生成数列(r-AGO)：
系统工程理论
GM(1,1)模型例题
1－AGO生成数据序列：
X 1 383.3775, 776.4179, 1175.7811, 1581.7882
X 1 的紧邻均值生成序列：
Z1 579.8977, 976.0995, 1378.7847
最小二乘参数估计：
a bT 0.016232, 383.591412T
系统工程理论
灰色预测的类型
按应用对象的不同，灰色预测可分为：
数列预测 —— 对表征系统行为的指标值的发展变化进行预 测
灾变预测 —— 对表征系统行为的指标值超过阈值的异常值 将于何时再现进行预测
……
系统工程理论
灰色模型机理
一般建模是利用数据序列建立差分方程，灰色建 模是将原始数据进行生成处理后建立微分方程。
于是，GM(1,1)模型为
dx1 0.016232x1 383.591412 dt
系统工程理论
因为
GM(1,1)模型例题
b 383.591412 23632.256 a 0.016232
x0 1 b 383.3775 23632.256 24015.633
a
xˆ1 t 1 24015.633e0.016232t 23632.256
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
进一步地，当级比序列落入可容覆盖
0
t
2 2 e n1 , en1
t 3, 4,, n
之中时，原始数据序列才适合于 GM（1,1）建模和预 测。该覆盖亦被称为数值覆盖。
如果级比序列没有落入其可容覆盖中，可以考虑 对原始数据序列进行变换。常用数据变换方法有对数 变换、方根变换和平移变换。
系统工程理论
灰色数据序列的生成
均值生成
—— 等距原始数据序列的相邻两数的平均值为均 值生成序列。
z
t
1 2
x
t
x
t
1
t 2,3,, n
若原始数据序列中出现空穴，可用均值生成进行 填补，该方法常用于补充不完整的历史数据。
均值生成不能用于补充原始数据序列的起点和终 点。
系统工程理论
灰色数据序列的生成
e
at
b a
x t 1 x t 1 ea
x0
1
b a
eat
系统工程理论
按定义， 于是，
GM（1，1）模型的建立
dx1 t
x1 t t x1 t
lim
dt
t 0
t
x1 t x1 t 1 x1 t x1 t 1 x1 t x0 t 1
t
1
t 1
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
IAGO算式
xr1 1 xr 1
xr
1
t
xr
t
xr
t
1
t 2,3,, n
系统工程理论
灰色数据序列的生成
特别地，一次累加生成序列经一次累减便得到原 始数据序列。
由
xr1 1 xr 1
xr
1
t
xr
t
xr
t
1
t 2,3,, n
令 r =1可得
x0 1 x1 1
x0
t
x1
t
x1
t
1
t 2,3,, n
设
原始序列
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
还原序列
Xˆ 0 xˆ0 1, xˆ0 2,, xˆ0 n
系统工程理论
GM（1，1）模型的检验
则残差序列
2, 3,, n
其中 t x0 t xˆ0 t t 2,3,,n 。
相对误差序列
2 x0 2
,
3 x0 3
, ,
z
1
n
1
由最小二乘参数估计可以得到
a b T BT B 1 BTY
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
在 GM（1，1）模型中， a 反映了 xˆ1 及 xˆ0 的发 展态势，被称为发展系数。 b 是从背景中挖掘出来的 数据，反映了数据变化的关系，被称为灰色作用量。
可以求出， GM（1，1）基本模型 x0 t az1 t b 的时间相应序列为
与
X 1 32,70,106,141,181, 223
累加生成是使灰色过程由灰变白的有效方法。
时间序列数据的累加趋势
系统工程理论
灰色预测模型 灰色预测的基本思想
对“累加”生成的时间序列的变化趋势，可建立 预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测，然后采用 “累减”方法进行逆运算，恢复原时间序列，得到预 测结果。
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
容易求出，形如
dx ax b dt
的微分方程的通解为
x t b Ceat
a
由初始条件 x t x0 1 可得待定常数 t 1
C
b a
x0
1
ea
系统工程理论
于是，
GM（1，1）模型的建立
x t
x
0
1
b a
eat
1
b a
x t
1
x
0
1
b a
由
xˆ0 t 1 xˆ1 t 1 xˆ1 t t 1, 2,, n 1
可以求出累减还原序列：
Xˆ 0 383.3775, 392.9951, 399.4262, 405.9624
系统工程理论
GM(1,1)模型例题
残差序列：
0.045265, 0.062961, 0.044674
级比生成
令原始数列
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
定义级比
0
t
x0 t 1 x0 t
t 2,3,, n
可得级比序列：
0 0 2, 0 2,, 0 n
系统工程理论
灰色数据序列的生成
级比生成 若原始数列
X 0 0 1, x0 2,, x0 n 1,0 n
的两端（ 0 1 和 0 n ）为空穴，可用 0 1 右邻 的级比生成 x0 1 和用 0 n 左邻的级比生成 x0 n。
GM(1,1)模型例题 灰色预测模型例题：
设某地区的人口数据如下表所示。
年份（t）
1991
1992
1993
1994
人口（万人） 383.3775 393.0404 399.3632 406.0071
请对1995年～1998年的人口数量进行预测。
灰色预测模型例题的MATLAB程序
系统工程理论
GM(1,1)模型例题
灰色模型（GM，grey model）兼有部分微分和部 分差分的性质。
“微分”适应光滑，“差分”适应跳变。
灰色建模的突出特点是少到 4 个数据也可建立精
度较高的动态模型。
系统工程理论
灰色模型机理
GM（n，N）表示 n 阶 N 变量微分方程模型。
GM（1，N）模型适合于建立系统的状态方程，进 行变量间的动态关联分析。在 GM（1，N）模型中，N 个变量中的每一个变量在任一时刻的值都依赖于该时 刻其它变量的值，故而对所有变量的预测值都必须同 时取得，难度较大。变量间的多重共线性还会使模型 精度变差。
xˆ1
t
1
x
0
1
b a
e at
b a
t 1, 2,, n 1
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
累减还原序列为
xˆ0 t 1 xˆ1 t 1 xˆ1 t
1 ea
x0
1
b a
eat
t 1, 2,, n 1
累减还原序列即为模型的模拟值。
利用模型模拟值即可进行预测：
xˆ0 t 1
用级比生成方法填补空穴所得的数据序列被称为 级比生成序列。
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件 根据灰色系统理论，仅当级比序列
0 t 0.1353, 7.389 t 3, 4,, n
时，原始数据序列才能用于GM（1,1）建模。 因为此时才能保证
a 2, 2
该覆盖被称为机理覆盖。
注：参见，邓聚龙.灰预测与灰决策.武汉：华中科技大学出版社,2002
t
1
t 2,3,, n
它正是原始序列的一次累加生成序列的紧邻均值 生成序列。
于是，我们得到
x0 t az1 t b t 2,3,, n
该式被称为GM(1,1)模型的基本形式。
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
令
x0 2
Y
x0 3
x0 n
z1 2 1
z1 3 1
B
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
设原始数据序列 X 0 非负，即 x0 t 0 t 1, 2,, n
其一次累加生成数据序列为 X 1 。
通常， X 1 具有指数增长规律，而一阶微分方程 的解恰好具有指数增长形式。因而，可以认为，X 1 满 足线性微分方程
dx1 ax1 b dt
该方程被称为 GM（1,1）模型的白化方程。
因此，比较之下，GM（1，1）更适合方便地用于
预测。
系统工程理论
灰色数据序列的生成 灰色理论中常用的数据序列生成方法：
累加生成（AGO） 累减生成（IAGO） 均值生成 级比生成
系统工程理论
灰色数据序列的生成
累加生成
设 X 0 为原始数列，即
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
令 x1 1 x0 1 x1 2 x0 1 x0 2
t 0, t 3, 4,, n
0.5
则称该数据序列为准光滑序列。
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
准光滑序列 一般地，非负准光滑序列经过累加生成后，都会
减少随机性，呈现出近似的指数增长规律。
可以证明，非负准光滑序列只需经一次累加生成 即可用于建立GM（1，1）模型。
在实际应用中，累加生成应适可而止，否则规律 性反而会受到破坏。
n x0 n
平均相对误差
1 n 1
n t2
t
系统工程理论
GM（1，1）模型的检验
精度检验等级参照表
精度 一级 二级 三级 四级
相对误差 0.01 0.05 0.10 0.20
一般情况下，常用相对误差对模型进行检验。
对给定相对误差 ，当 且 n 成立时，称 模型为残差合格模型。
系统工程理论
1 ea
x0
1
b a
e
at
t n, n 1,
系统工程理论
原始数据的非负化处理
一般地，GM（1，1）模型要求数据序列非负。
原始数据非负化的处理方法
设有负值的原始数据序列为
X 0 x0 1, x0 2,, x0 n
选定数据序列中的最小负数为
xm0in
min k
x0
t
系统工程理论
原始数据的非负化处理
考虑到在 t 1 的短时间内， xt 到 xt t 不会 发生突变，故令 x1 t 取时刻 t 和时刻 t+1 的平均值， 于是得到
x0
t
1
1 2
a
x1
t
1
x1
t
b
或者，等价地
x0
t
1 2
a
x1
tx1t1来自bt 2,3,, n
系统工程理论
GM（1，1）模型的建立
上式中，令
z1
t
1 2
x1
t
x1
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
光滑比 定义数据序列的光滑比
t
xt
t 1
t 2,3,, n
xk
k 1
光滑比在一定程度上反映了数据序列的光滑性， 常用于考察序列中的数据变化是否过于剧烈。
系统工程理论
GM（1，1）模型的可建模条件
准光滑序列 若数据序列满足条件：
t 1 t 1
t 2, 3,, n 1
原始数据非负化的处理方法
令 显然，
x0 t x0 t xm0in t 1, 2,, n x0 t 0 t 1, 2,, n
此时，X 0 即为非负数据序列，可用于建立 GM（1,1） 模型。
系统工程理论
GM（1，1）模型的检验
GM（1，1）模型通常采用残差检验。
基本思想是按照所建模型算出累加序列，再累减 生成还原序列，将还原序列与原始序列进行比较，两 序列之差即为残差序列。
原始数据序列：
X 0 383.3775, 393.0404, 399.3632, 406.0071
进行级比检验：
容易求出 0 0.9754 0.9842 0.9836
显然
0
2
2
t e 41 , e41
0.6703,1.4918
t 2,3, 4
因此，原始数据序列适合于GM(1,1)建模和预测。
其中，
X r xr 1, xr 2,, xr n
xr 1 xr1 1
x
r
t
t
xr1
i 1
i
t 1
xr1 i xr1 t i 1
xr t 1 xr1 t
t 2,3,, n
系统工程理论
灰色数据序列的生成 累减生成
将数据序列中相邻两数相减，便可得到累减生成 序列（1-IAGO）。由AGO算式容易得到