2.3.2抛物线的简单几何性质(优秀经典公开课比赛课件).

所以，线段AB的长是8。
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p

2,
p 2

1,
准线l
:
x

1.
A’
A
设A(x1, y1), B(x2, y2), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
OF
x
由抛物线的定义可知 AF dA x1 1,
联立可得点B的纵坐标为y p2 .
y0
所以DB // x轴。
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、 离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过 点M (2,2 2),所以，可设它的标准方程为y2 2Px(P 0)
因为点M在抛物线上，所以 (2 2)2 2P 2，即p 2
B’ B
BF dB x2 1, 所以 AB AF BF x1 x2 2 8
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
y
C 分析：运用
B
抛物线的定 义和平面几
H
E
OF
x
何知识来证 比较简捷．
练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴， 焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径
长是________1_6_____.
2.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为450
的直线,则被抛物线截得的弦长为__1_6______
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,
且|AB|=43 ,求直线AB的方程.
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
还有没有其他方法?
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
4 3 2 1
-2 -1 -2 -3 -4 -5
y2=4x
y2=2x y2=x1 y2= 2 x
2
4
6
8
10
P越大,开口越开阔
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
y
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p

2p y0
x,
A
2 联立可得点D的纵坐标为y


p2
.
因为点F的坐标是(
p
,0)
y0
,所以直线A
F的
2
OF DB
x
方程为 y y0

x p
y02
2 p
.
2p 2
D
A
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂
线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜
y
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜
H
E
所以EH是以AB为直径的
OF
x
圆E的半径，且EH⊥l，因 D A
而圆E和准线l相切．
X=3
例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O
x
D
B
例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
(
p 2
,0)
x

p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x2 = 2py
p
x （p>0） F (0, 2 )
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
典型例题： 例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标 原点,并且过点M(2, 2 2 ),求它的标准方程.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’
A
y=x-1
代入方程y2 4x, 得( x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.


x1 x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
Y
(1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴
X
又叫抛物线的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率 始终为常数1
y
P
(5)焦半径 |PF|=x0+p/2
OF
x
(6)通径
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的
通径。 通径的长度：2P
2.3.2 抛物线的简 单几何性质(一)
复习
标准方程
图形
y2 2 px( p 0)
y
Kd
﹒M
o Fx
焦点和准线 焦点 F ( p , 0) 和准线 l : x p
2
2
你认为这个标准方程对应的抛物线
还有什么几何性质呢?
类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索
其的几何性质:
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
因此，所求抛物线的标 准方程是 y2 4x
变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?