311空间向量及其加减运算第一课时

O
若在l上取 AB? a 则有
OP ? OA? t AB
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线 。.
OP ? OA? t AB
进一步，OP还可表示为： OP ? _1_-_t _ OA? __t__ OB
因为 AB ? OB ? OA,
所以 OP ? OA ? t(OB? OA)
（2）大小：?
? a
的长度是
? a
的长度的
|? |倍.
二、共线向量: 如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合, 则这些向量
叫做共线向量( 或平行向量), 记作 a//b
零向量与任意向量共线.
? ?? 问题：平面向量中，a //b(b
?
? 0)的充要条件是：存在唯一
? 的实数
，使
r a
?
r
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律
律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律
成立吗？
加法结合律
(a ? b) ? c ? a ? (b? c)
?b.
能否推广到空间向量中呢？
共线向量定理:
对空间任意两个向量 ， a?
a?
//
?? b (b
?
?
0存) 在实数λ,使
b?(。b?
?
? 0)
r a
?
rr
? b (b
?
r 0).
a?
//
?? b (b
?
? 0)
? a
?
??
?b (b
?
? 0)
? a
?
??
?b (b
?
? 0)
a? //
?? b (b
?
(2) AG ? 1 ( AB ? AC)
D
2
G
B
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
D
＝ AB
?
BM
?
MG
?
1 ( AB 2
?
AC )
＝BM ? MG ? 1 ( AB ? AC )
G
2
? BM? MG? MB
B
M
C ? MG
———共线向量与共面向量
a
?
b
? 0)
作用： 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
? a
知存在唯一的t,
满足
பைடு நூலகம்
AP ?
ta
A
对空间任意一点O,
l
AP ? OP ? OA, 所以 OP ? OA ? ta?
即
OP
?
OA?
? ta
①
aP
B
仍然成立． ⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个
向量相加．
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
An ?1
A2
An
A3
A4
推广
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
O
O
a
a
A b
B
c
C
b +c A
b Bc
C
空间向量的加法、减法运算
（1）加法交换律： a ? b ? b ? a （2）加法结合律： （a ? b）? c ? a ? (b? c)
a
b
c
a
b
c
说明 对空间向量的加法、减法的说明
⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律
律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律
成立吗？
b a
C
a+b
B
O
A
OB ? OA ? AB
CA ? OA ? OC
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
一、空间向量数乘运算
1.
实数
?
与空间向量
? a
的乘积
?
? a
仍然
是一个向量.
（1）方向： 当 ??0
当? ? 0
当? ? 0
时，? 时，? 时，?
a?与向量
? a
方向相同；
aa??
与向量 a? 方向相同； 是零向量.
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0
A1
An ?1
A2
An
A3
A4
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 A?B?C?D?
的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记
作ABCD— A?B?C?D? ．
平行六面体 的六个面都是平
D' A'
C' B'
⑴AB ? BC；
D'
⑵AB ? AD ? AA'；
A'
解：⑴AB ? BC ? AC
⑵AB ? AD ? AA'
? AC ? AA' ? AC ? CC' ? AC'
D A
C' B'
C B
练习
空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD
边的中点,化简：
A
(1) AB ? 1 (BC ? BD) 2
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示 .
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们 .
空间向量的加法、减法运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示；
字母表示法：用字母 a、b 等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
复习
2.平面向量的加减法与数乘运算
（1）向量的加法：
a? b
b
a
平行四边形法则
a? b
a
行四边形，每个 面的边叫做平行 六面体的棱．
a
D
A
C B
例题
例 已知平行六面体 ABCD ? A' B'C' D'，化简下
列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴ AB ? BC； ⑵ AB ? AD ? AA'；
D' A'
C' B'
D A
C B
例题
例 已知平行六面体 ABCD ? A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
三角形法则
复习
（2）向量的减法
a? b
三角形法则
b a
3. 平面向量的加法运算律
加法交换律： a ? b ? b ? a 加法结合律：（a ? b）? c ? a ? (b ? c)
空间向量的加法、减法运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则