人教新课标版数学高二-选修1-2练习 第三章《数系的扩充与复数》检测

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( ) A ．1＋5

2i

B ．－1＋5

2i

C ．1－5

2i

D ．－1－5

2

i

[答案] D

[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－12t ＋1＝－(3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧

t ＝－52

y ＝－1

. ∴x ＋y ＝－1－5

2

i.

2．(2012·课标全国文，2)复数z ＝－3＋i

2＋i 的共轭复数是( )

A ．2＋i

B ．2－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

[答案] D

[解析] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念．

z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为－1－i.

3．设复数z ＝2＋i

(1＋i )2，则复数z 的虚部是( )

A ．12

B ．－1

C ．－i

D ．1 [答案] B

[解析] z ＝2＋i 2i ＝－2i ＋12＝1

2

－i ，∴复数z 的虚部是－1.

4．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

[答案] C

[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1

y ＝－1

.

∴z 1＝－3－i ，故选C.

5．当z ＝1－i

2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )

A ．1

B ．－1

C ．i

D ．－i

[答案] D

[解析] z 2＝1

2(1－2i －1)＝－i ，z 50＝(－i)25＝－i ，z 100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.

6．已知复数z 满足2－i

z ＝1＋2i ，则z ＝( )

A ．4＋3i

B ．4－3i

C ．－i

D ．i [答案] D

[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －2

5＝－i ，∴z ＝i.

7．复数z ＝m －2i

1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 [答案] A

[解析] z ＝m －2i

1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )

(1＋2i )(1－2i )＝1

5

[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为m －45，虚部为

－2(m ＋1)5，由⎩

⎪⎨⎪⎧

m －4>0－2(m ＋1)>0，得⎩⎨⎧

m >4

m <－1，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．

8．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2013

1＋i

，则复数z 在复平面内对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] A

[解析] ∵i n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

i n ＝4k ＋1，

－1 n ＝4k ＋2，

－i n ＝4k ＋3，

1 n ＝4k ，

k ∈Z ，∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2013＝503×(i ＋i 2＋i 3＋

i 4)＋i 2013＝503×0＋i ＝i ，

∴z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，在复平面内的对应点(12，1

2)在第一象限．

9．若复数z ＝a ＋3i

1－2i (a ∈R )，且z 是纯虚数，则|a ＋2i|等于( )

A ． 5

B ．210

C ．2 5

D ．40

[答案] B

[解析] z ＝a ＋3i 1－2i

＝(a ＋3i )(1＋2i )5＝a ＋2a i ＋3i －65＝a －6＋(2a ＋3)i

5，

当z 为纯虚数时，⎩

⎪⎨⎪⎧

a －6＝0

2a ＋3≠0，得a ＝6，

∴a ＋2i ＝6＋2i ， ∴|a ＋2i|＝210.

10．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．π

6

B ．π4

C ．π3

D ．π2

[答案] D

[解析] ∵z 2

＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧

cos2θ＝－1sin2θ＝0

，