同济高等数学下册 10-4 课件

I x y ( x , y )d ,
2
薄片对于y 轴的转动惯量
D
I y x ( x , y )d .
2 D
例 5 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边 长分别 为 a 、 b ，求这三角形对其中任一直角边 的转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在 x 轴和y 轴上，如图
薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
Fx f
D
( x, y) x
(x y a )
2 2 2
3 2
d , Fy f
D
2
3 2
( x, y) y
(x y a )
2 2 2
3 2
d ,
Fz af
D
( x, y)
R 3 2 d r cos sindr 0 0 2 R 3 3
0
2
zdv
d

3R 8
三、转动惯量
平面薄片的转动惯量
n 个质点，它们分别位于 设 xoy 平面上有
( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ， , ( x n , y n ) 处，质量分别 y 轴 x 轴和 为 m1 , m 2 , , m n ．则该质点系对于
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
1 cos , 2 2 1 fx f y
dA 1 f x2 f y2 d 曲面S的面积元素
A 1 f x2 f y2 d ,
D
曲面面积公式为：A
D
练习题答案
一、 2 . a 2 ab b 2 ,0 ) . 二、( 2(a b ) 2 2 三、( a , a ). 5 5 72 96 四、 I x , I y . 5 7 五、
2 2 R2 R2 a R2 R1 F 2 f(ln ), 2 2 2 2 2 2 R1 R1 a R2 a R1 a 1 1 0, fa( ) 2 2 2 2 R2 a R1 a
z R 2 x 2 y 2，
球面方程为
2 2 2 2 D : x y R sin , xy 在 平面上的投影域为 xy
zx
x R x y
2 2 2
,
zy
y R2 x 2 y2
,
1 z z
2 x 2 y
R R x y
2 2 2
,
卫星覆盖的面积为
A
2 2 2 2
I z ( x y ) dv,
2 2
I o ( x 2 y 2 z 2 ) dv.

例 7 求半径为 R 的均质球体对于过球心的一条 直线的转动惯量。
解：如图建立坐标系：
I z ( x 2 y 2 ) dv

2
对 y 轴的转动惯量为
y
b
o
a
x
I y x 2dxdy,
D
dx
0
a
x b(1 a )
0
x dy
2
1 3 a b . 12
y
b
同理：对x 轴的转动惯量为
o
a
x
1 3 I x y dxdy ab . 12 D
2
例 6 求半径为 a 的均质半圆薄片对于其直径的 转动惯量（密度为 ）I.
dv
例8 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形 2 2 2 x y R 薄片： ， z 0对位于 z 轴上的 点 M 0 (0,0, a )处的单位质点的引力．(a 0)
解
由积分区域的对称性知 Fx Fy 0,
Fz af
D
z
( x, y)
(x y a )

Dzx
1
y 2 z
dzdx.
y 2 x
2 2 2 2 x y z a 例 1 求球面 ，含在圆柱体 x 2 y 2 ax 内部的那部分面积.
解
由对称性知 A 4 A1 ,
D1 ： x 2 y 2 ax ( x , y 0)
曲面方程 z
2 2 2
3 2
d
3 d
F
o
x
y
af
D
1
( x 2 y 2 a 2 )2
af d
0
2
R 2
1 (r a )
2
3 2
0
rdr
1 1 2fa . 2 2 R a a
所求引力为
1 1 . 0, 0, 2fa 2 2 R a a
D
一、 曲面的面积
１．设曲面的方程为：z f ( x , y )
在 xoy 面上的投影区域为D,
z
s
M
o
如图， 设小区域 d D,
点 ( x , y ) d ,
为 S 上过 M ( x , y , f ( x , y )) 的切平面.
x
dA


( x, y) d
y
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds .
2a 2 4a 2 .
例 2 设有一颗地球同步轨道通信卫星，距离地面 的高度是 h 36000 km ，运行的角速度和地球自转 的角速度相等. 试计算该卫星覆盖的面积与地球表 面面积的比值.（地球半径 R 64000 km ）
解 以地心为原点建立坐标系,地心到卫星中心 的连线为 z 轴.
Fx f

( x, y, z )( x x0 )
3
r f 为引力常数 ( x , y, z )( y y0 ) Fy f dv 3 r ( x, y, z )(z z0 ) Fz f dv 3 r r ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
设 xoy平面上有 n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )，, ( xn , yn )处，质量分别
为 m1 , m2 ,, mn ．则该质点系的重心的坐标为
x
My M

mi xi
i 1 n
n
mi
i 1
，
Mx y M
m i yi
i 1 n
n
mi
解 建立坐标系如图
I y d
2 D
D : x 2 y 2 a 2 , y 0.
d r 3 sin2 dr
0 0

a
1 4 1 2 a Ma . 4 2 4
类似地，空间立体的转动惯量为
I x ( y z ) dv, I y ( z x ) dv,
小结
几何应用：曲面的面积
物理应用：重心、转动惯量、 对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
习题10-4
• • • • • • • 1， 2, 4（ 2） , 5， 7（1）（2）, 9（ 2） , 14
一、求锥面 z 曲面面积. 二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 是 介 于 两 个 圆 r a cos , r b cos ( 0 a b ) 之间的闭区域 , 求 均匀薄片的重心. 三、设有一等腰直角三角形薄片,腰长为 a ,各点处的 面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片 的重心. D 由抛物 四、设均匀薄片(面密度为常数 1)所占闭区域 9 2 Iy . 线 y x 与直线 x 2 所围成,求I x 和 2
i 1
．
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ， 在点( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连续，平面薄片的质心
x ( x, y )d x , ( x, y )d
D D
y ( x, y )d y . ( x , y )d

0
d d
0

R 4 r sin3 dr 0
8 2 5 5 R a M . 15 5
四、 引力
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴 上的点 M 0 (0,0, a )处的单位质点的引力．(a 0)
0 2 sin
3
7 . 3
类似地，空间物体 的质心为
1 x M
1 xdv, y M
ydv,

1 z M
zdv.

其中 M dv .

例 4 求半径为 R 的均质半球体的形心。
解：如图建立坐标系： x 0 y 0,
1 z M 1 zdv V
D xy

R R x y
2 2 2
dxdy
d
0
2
R sin
Rr R2 r 2
0
dr
2 2R (1 cos ) 2R
2
h . Rh
A 4R 2
h 2R h h R 42 .5% 2 2( h R) 4R
2
二、质心
平面薄片的质心 ( x , y )
(x y a )
2 2
d .
f 为引力常数
设有一空间立体，占有区域 在点 ( x , y, z ) 处 体密度为 ( x, y, z ) ，假定 ( x, y, z ) 连续，计算该立 体体对位于 外某点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的单位质点 的引力． 薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
D D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
1 x xd , AD 1 y yd . 其中 A d AD D
例 3 求位于两圆 r 2 sin 和 r 4 sin 之间的均 匀薄片的质心坐标．
解 容易知道，x 0
y

yd
D
A 4 sin 2 d r sin dr
于是 1
z 2 x
a x y ,
2 2 2
z 2 y

a , 2 2 2 a x y
面积 A 4 1 z x z y dxdy
2 2 D1
4
D1
2
a dxdy 2 2 2 a x y
a cos 0 0
4a d
1 rdr 2 2 a r
第四节
重积分的应用
二重积分的元素法
若某个量Q对于闭区域D具有可加性：
1.确定量Q分布的区域D，
2.在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d 时， f ( x , y的形式称 )d 相应地部分量可近似地表示为 为所求量Q的元素 dQ f ( x, y)d
3.所求量的积分表达式为
Q
f ( x, y )d
z 2 z 2 1 ( ) ( x y ) dxdy
xy
同理可得 ２．设曲面的方程为：x g( y , z ) 曲面面积公式为：A

D yz
1
x 2 y
dydz;
x 2 z
３．设曲面的方程为：y h( z , x ) 曲面面积公式为：A
的转动惯量依次为
I x m i yi
i 1
n
2
ห้องสมุดไป่ตู้
，
I y mi xi
i 1
n
2
.
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴 的转动惯量为
薄片对于x 轴的转动惯量
练习题 x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的
的匀质半圆环形薄片: 五、求面密度为常量 2 R12 y 2 x R2 y 2 , z 0 对位于z 轴上点 F . M 0 ( 0,0, a )(a 0) 处单位质量的质点的引力 六、 设由 y ln x , y o及 x e 所围的均匀薄板(密度 1), x 轴的直线旋转时转动惯 求此薄板绕哪一条垂直于 量最小?