体能测试时间安排的优化方案

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：山东城市建设职业学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 李德生

2. 郝海涛

3. 李稳稳

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组

日期： 2007 年 9月 23 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

体能测试时间安排的优化方案

摘要：本论文对体能测试时间安排问题进行了简化，建立了数学模型。我们针对

学生该怎样分组、怎样合理安排班级测试次序，以及怎样使人均测试时间最短等问题进行了分析讨论，并用线性规划模型对测试时间安排进行了优化，最终设计出一个合理的体能测试时间表。

建立模型的主要目的是使测试总时间最短，次要目的是在满足整个测试所用时间段最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。我们通过分析，最终确定以10人为一组，对问题进行了研究。对此我们建立了三个模型，逐次解决了每个时间段测试的最多组数、各个时间段内班级的分配情况和如何合理安排各班级具体的测试时间等问题。

首先，利用简化思想在不考虑班级录入时间的情况下，得出了能够独立完成每个项目的最短周期，建立了一个在极值条件下的数学模型，并用LINGO软件求出了最优解，即在8:00-12:10和13:30-16:45这两个时间段内所能测试的最多组数，分别为69组和54组。但经过模型验证发现，模型结果与实际情况并不是非常一致，原因可能是我们在建立模型时忽略了一些问题，假设过于简单。于是我们对模型进行了进一步的优化，得出相对合理的结果，分别为68组和53组。

其次，通过对第一个模型进行分析，得出要完成所有测试，最少需要四个时间段，于是建立了第二个模型，求解各个时间段内班级的分配问题。然后，我们用MATLAB 软件求得了一个以班级为单位、具体的测试时间表，从而满足整个测试所用时间段数最少，且能节省学生等待时间。

最后，根据对模型和数据的分析以及联系实际情况，对学校以后的体能测试提出了一些有意义的建议。

关键词：线性规划;最短周期;优化思想;录入时间;测试时间

一、问题重述

每个学校都可以通过体能测试来了解各个学生的身体状况，以此设置相应的体育锻炼课程，增强学生的体质。[1]

某学校安排各班学生进行体能测试，测试的项目、测量仪器以及每个学生的平均测试时间等内容如下表1所示。

在测试时，每个学生测试每个项目前都要录入个人学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，若前后测试的学生的学号相连，则可省去录入时间，且同一班学生的学号是相连的。学校安排每天测试的两个时间段为8：00－12：10与13：30－16：45。五项测试的场所最多能容纳150个学生，且测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见下表2。

学校对测试的要求：整个测试所需时间最少，同一个班的所有学生须在同一时间段内完成所有项目的测试，且在测试时间段最少的基础上尽量减少学生的等待时间。

用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。

最后，给学校以后的体能测试就以下几个方面提出建议：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等，并说明自己的理由。

表2 体能测试的各班人数

二、问题分析

本题要解决的主要问题是使整个测试所需时间最少。而决定这一问题的关键点有两

个，一是测试仪器的充分利用，二是合理安排班级次序，尽量使每个时间段内测试的人数最多。

对于测试仪器的充分利用问题，由于各个项目仪器每次测试人数分别为1人（身高与体重），1人（立定跳远），1人（肺活量），1人（握力），5人（台阶试验），而台阶试验测试仪有两台，所以我们不妨设10人为一小组对每组的测试时间进行研究。在不考虑所有录入时间时，每组独立完成每个测试项目的时间分别为100/3秒（身高与体重测量仪3台），200秒（立定跳远测量仪1台），200秒（肺活量测量仪1台），150/2秒（握力测量仪2台），210秒（台阶试验测量仪2台），可以看出做台阶测试试验所用的时间是最长的，而一个时间段时间一定，若使测试人数达到最大，台阶测试仪必须充分利用。所以我们可将各个项目独立进行的周期T定为210秒，在这一周期内既可满足各个项目能够顺利进行，又最大限度的利用了时间。由于每个组做身高与体重测试需要100秒，做握力测试需要150秒，显然在210秒这一周期内，只用一台身高与体重测量仪和一台握力测量仪就可满足要求。当考虑每组内学生之间的录入时间时，由于每个仪器录入学号的平均需时5秒，如果前后测试的学生学号相连就可省去录入时间，故在测试时

后五号

图1 体能测试流程图

为了使问题更加简化，我们可要求每个班的学生在测试前按学号的顺序进行排队并分组。即1-10号为第一组，10-20号为第二组…其他学号依次类推。为了减少做除台阶测试试验外其他四项测试的录入时间，如图1示，我们规定每组的前5人进入一台台阶试验测量仪，后5人进入另一台台阶试验测量仪，即1-5号进入台阶测试仪1，5-10号进入台阶测试仪2，215秒后10人可同时测试完，这10人又可组成学号相连的一组。进行其他项目的测试。而进行其他测试时10人是按既定顺序排队的，这样就可得到每个组独立进行各测试项目的真实时间分别为105/3秒，205秒，205秒，155/2秒,215秒，所以周期应为215秒。由于考虑台阶测试仪充分利用，因此对于一个组来说，首要的选择是台阶测试仪。第i组进行台阶测试仪测试时，第i-1组可同步进行其他四项测试。第i-1组中的最后一个人，完成四项测试的第一项时间为20+20*9=200。因此，第i组进行完台阶测试时，可立即进行其他四项测试。最后一组的最后一名同学完成其他四项测试的时间为：65+20*9=245。可以用线性规划建立数学模型[2]，来解决此问题，其目标函数为每个时间段所能完成测试的组数最多，约束条件为时间段的时间长度。

通过对模型一的求解和分析，我们可以得到每个时间段所能测试的最多人数和所用最少时间段总数。另外在满足整个测试所用时间段最小的条件下，还要尽量节省学生的等待时间，问题中的等待时间我们可以认为是学生等待测试的时间。由于完成各项目测试都有固定的周期，即在整个测试过程中的等待时间为常数，从而学生的等待时间长短取决于测试地点外的等待时间的长短。对于这个问题，我们可以通过合理安排各班级在