2019 2020高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法讲义新人教A版

2.2.2 反证法

0102不成立，经过正确的推理，最后1间接证明的一种基本方法．假设原命题□．反证法是□

0304错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．得出□矛盾，因此说明假设□2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：

05不成立，即假设结论的反面成立； (1)反设：假设命题的结论□06假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (2)归谬：从□(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

3．反证法常见的矛盾类型

0708假反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与□已知条件矛盾，或与□0定义、定理、公理、事实矛盾等．设矛盾，或与□

反证法中的“反设”和“归谬”

(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、

公理等相矛盾的结果．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )

答案(1)√ (2)× (3)√

2．做一做

axaxb有且只有一解，适宜用________的方程证明．＝(1)已知≠0，证明关于

ababab至少有一个能被5整整除，那么，如果用反证法证明命题“(2)，∈N可被5，．________除”，则假设的内容是

33bbaa ．，则>”时，假设的内容是________(3)用反证法证明命题“如果>ba 都不能被(1)反证法 (2)5，整除答案 33ba (3)≤

探究 用反证法证明否定性命题 1x －2x afafxx )＝01 已知(()＝没有负数根．＋>1)，证明方程 (例

x 1＋xfx )＝0 假设的负数根，是 ([证明]0

x －20

axxx ，1且 则0<0，＝－≠－ 00

x 1＋0

x －210

xax <2，<由0< 0<1可知0<－<1，解得 0

x 12＋0

x <0矛盾，故假设不成立．这与 0

fx )＝0即方程没有负数根．( 拓展提升

反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．

abcdadbc ＝－R 已知∈，，且，1. ，【跟踪训练1】2222

cdabcdab ＋＋＋＋＋求证：≠1.2222

cddababc 1. 证明 假设＋＋＋＋＝＋bcad －，＝因为12222

bcbacdabcdad . ＋＋＋＋－＋所以＝

2222

adcdbacdabbc 0. 所以＋－＋＋＋＝＋＋2222

adcabdabbccd 0. 22＋＝2＋＋＋2＋22＋2－所以22222dccbabda 0. ＝－)＋(所以(＋＋)()＋)＋(＋dcbbacda ＝0＋＝0，0，＋－，，＝所以0＋＝bcadcbad ，所以＝0，－＝所以＝＝＝0bcab ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，这与－2222

cdcbadab ≠1.即＋＋＋＋＋ 探究 用反证法证明“至多”“至少”型命题 222

bxybxccbyaax ＝，

＋2＋＝的实数，求证：由0是互不相等且均不为，，已知2 例

2

xbyacxaxcx ＝确定的三条抛物线至少有一条与＋2＋2轴有两个不同的交点．＋和＋x 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与轴有两个不同的交点．[证明]2222

acycxaxbbbxyaxbxcycxa Δ≤0，且＋2由)＝＋＋2－＋，得，＝Δ＋2＝＋(2，4＝2122

bcaabc )－4≤0.≤0，且Δ＝(2＝(2－)43222

bcacabbca －4同向不等式求和得4＋4≤0，＋4－－44222

accabbcab －22－≤0，－∴22＋2＋2222

cbacbbaca . ＝)＋(＝－(∴)－≤0，∴)＋(－cab 互不相等矛盾，这与题设，， 因此假

设不成立，从而命题得证．

拓展提升 常见结论词与反设词列表如下：

2222

axxxxaxaaxa 2，＝＋30，＋＋(＝－1)【跟踪训练2】 求证下列三个方程：＋40－4

??3???aa ?aaa

≤－或≥－1. 的取值范围为＝0－2至少有一个方程有实根时实数?? ?2????

2

aa ，164

－－

??22aa?

－<0－4，若方程没有一个有实根，则证明

?2?aa<0.8＋43a1.

<解得－<－2??3???aa?aa≤－≥－1或. 所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是???2????

探究用反证法证明唯一性命题 3aAba平行．有且只有一条直线例3 用反证法证明：过已知直线与已知直线外一点Aa平行．至少有一条直线与直线证明[]由两条直线平行的定义可知，过点AbabbAba.

还有一条直线′与已知直线，平行，即∩′∥′＝假设过点babbbbA矛盾，所以假设错误，原命题成′＝∩，这与假设′∥，由平行公理知∥因为

立．

拓展提升

证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．

mabABababm有与直线∥和，分别交于，，求证：过且【跟踪训练3】已知直线，且只有一个平面．abab有一个平面α，∴过.

证明∵如图，，∥

maAmbB，＝又∩∩＝，AaBb，，∴∈∈AB∈αα，∴. ∈AmBmm?α，，∴∈又. ∈abm有一个平面α即过.