2019 2020高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法讲义新人教A版

2.2.2 反证法
0102不成立，经过正确的推理，最后1间接证明的一种基本方法．假设原命题□．反证法是□
0304错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．得出□矛盾，因此说明假设□2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：
05不成立，即假设结论的反面成立； (1)反设：假设命题的结论□06假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (2)归谬：从□(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
3．反证法常见的矛盾类型
0708假反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与□已知条件矛盾，或与□0定义、定理、公理、事实矛盾等．设矛盾，或与□
反证法中的“反设”和“归谬”
(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、
公理等相矛盾的结果．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
答案(1)√ (2)× (3)√
2．做一做
axaxb有且只有一解，适宜用________的方程证明．＝(1)已知≠0，证明关于
ababab至少有一个能被5整整除，那么，如果用反证法证明命题“(2)，∈N可被5，．________除”，则假设的内容是
33bbaa ．，则>”时，假设的内容是________(3)用反证法证明命题“如果>ba 都不能被(1)反证法 (2)5，整除答案 33ba (3)≤
探究 用反证法证明否定性命题 1x －2x afafxx )＝01 已知(()＝没有负数根．＋>1)，证明方程 (例
x 1＋xfx )＝0 假设的负数根，是 ([证明]0
x －20
axxx ，1且 则0<0，＝－≠－ 00
x 1＋0
x －210
xax <2，<由0< 0<1可知0<－<1，解得 0
x 12＋0
x <0矛盾，故假设不成立．这与 0
fx )＝0即方程没有负数根．( 拓展提升
反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
abcdadbc ＝－R 已知∈，，且，1. ，【跟踪训练1】2222
cdabcdab ＋＋＋＋＋求证：≠1.2222
cddababc 1. 证明 假设＋＋＋＋＝＋bcad －，＝因为12222
bcbacdabcdad . ＋＋＋＋－＋所以＝
2222
adcdbacdabbc 0. 所以＋－＋＋＋＝＋＋2222
adcabdabbccd 0. 22＋＝2＋＋＋2＋22＋2－所以22222dccbabda 0. ＝－)＋(所以(＋＋)()＋)＋(＋dcbbacda ＝0＋＝0，0，＋－，，＝所以0＋＝bcadcbad ，所以＝0，－＝所以＝＝＝0bcab ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，这与－2222
cdcbadab ≠1.即＋＋＋＋＋ 探究 用反证法证明“至多”“至少”型命题 222
bxybxccbyaax ＝，
＋2＋＝的实数，求证：由0是互不相等且均不为，，已知2 例
2
xbyacxaxcx ＝确定的三条抛物线至少有一条与＋2＋2轴有两个不同的交点．＋和＋x 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与轴有两个不同的交点．[证明]2222
acycxaxbbbxyaxbxcycxa Δ≤0，且＋2由)＝＋＋2－＋，得，＝Δ＋2＝＋(2，4＝2122
bcaabc )－4≤0.≤0，且Δ＝(2＝(2－)43222
bcacabbca －4同向不等式求和得4＋4≤0，＋4－－44222
accabbcab －22－≤0，－∴22＋2＋2222
cbacbbaca . ＝)＋(＝－(∴)－≤0，∴)＋(－cab 互不相等矛盾，这与题设，， 因此假
设不成立，从而命题得证．
拓展提升 常见结论词与反设词列表如下：
2222
axxxxaxaaxa 2，＝＋30，＋＋(＝－1)【跟踪训练2】 求证下列三个方程：＋40－4
??3???aa ?aaa
≤－或≥－1. 的取值范围为＝0－2至少有一个方程有实根时实数?? ?2????
2
aa ，164
－－
??22aa?
－<0－4，若方程没有一个有实根，则证明
?2?aa<0.8＋43a1.
<解得－<－2??3???aa?aa≤－≥－1或. 所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是???2????
探究用反证法证明唯一性命题 3aAba平行．有且只有一条直线例3 用反证法证明：过已知直线与已知直线外一点Aa平行．至少有一条直线与直线证明[]由两条直线平行的定义可知，过点AbabbAba.
还有一条直线′与已知直线，平行，即∩′∥′＝假设过点babbbbA矛盾，所以假设错误，原命题成′＝∩，这与假设′∥，由平行公理知∥因为
立．
拓展提升
证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
mabABababm有与直线∥和，分别交于，，求证：过且【跟踪训练3】已知直线，且只有一个平面．abab有一个平面α，∴过.
证明∵如图，，∥
maAmbB，＝又∩∩＝，AaBb，，∴∈∈AB∈αα，∴. ∈AmBmm?α，，∴∈又. ∈abm有一个平面α即过.
，，abm 还有一个平面β异于平面α，假设过， ，abababab 有且只有一个平面相矛盾． ，过，?α，?β，?β，这与∥，则?αabm 有且只有一个平面．，因此，过 ，
1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.
2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.
3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完
全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于60° B ．假设三个内角都大于60°
C ．假设三个内角至多有一个大于60°
D ．假设三个内角至多有两个大于60° 答案 B
解析 “至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B. 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 D ．两个都是负数C ．至少有一个是正数 C 答案 C.
假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零．所以选解析aaxbx ＝(．的方程≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________3．命题“关于 无解或至少两解答案 方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解．解析
222
aaxaxaxx 中至少有一个方程有实根，则－1)＝＋2＝＋(0，0＋2－4．若下列两个方程a 的取值范围是________．实数aaa 1}
或答案 {|≥－≤－2 解析 假设两个一元二次方程均无实根，
22
aa
，4－<0Δ＝－??
1
则有?2
aa
－－2＝Δ，??2
2aa，1>03－＋
2??aaaaa≤－|1}，所以其补集为{{|－2<2<解得即－的取值集合为：?2aa，<0＋2??aa的取值范围．，即为所求的≥－1}或211abcbac，求证：＝＋2不成立．＝5．如果非零实数，＋，两两不相等，且bacacb2＋2112证明假设＝＋成立，则＝＝.
bacbacac2acb. 故＝acca＋＋??22??cbaaacc，所以，0＝，即(－)又＝＝，所以＝
??22．
211abc两两不相等矛盾，因此＝＋不成立．这与，，bac。