极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法

高等数学解题方法探究极限

——极限思想在高等数学中的地位和应用

引言：

数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。于是将对无限的研究就转化成对有限的研究？就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想?

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。

正文：

一、极限理论在数学分析中的地位

1. 建立概念的极限思想

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：

（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。

（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。

2. 解决问题的极限思想

极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许

多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。

有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。

二、极限理论在数学分析中的作用

1. 导数是特殊的极限

物体运动的瞬时速度、曲线在某点处的切线斜率、非恒稳电流强度以及化学反应速度等等，都可以归结为是函数 )(x f y =的改变量y ∆与自变量的改变量

x ∆的比值当0→∆x 时的极限，而导数就是在这个基础上下定义的。下面是`刘玉琏编著的《数学分析》第四版上册所给的定义：

设函数y = )(x f 在)(0x U 有定义，在0x 自变数x 的改变量是x ∆，相应函数的改变量是)()(00x f x x f y -∆+=∆。若极限

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(000

0lim lim 存在，称函数)(x f 在0x 处可导，此极限称为函数)(x f 在0x 的导数，若此极限不存在则称函数)(x f 在0x 不可导。从定义看出，有了极限才有导数，没有极限就没有导数。

2. 定积分是和的极限

为了计算平面上任意形状封闭曲线围成区域的面积，我们可以将封闭区域分

割成n 个相等的小矩形，用小矩形的面积之和近似代替封闭区域的面积。每个小矩形的面积是已知的，当n 不断增大时，小矩形就会不断变小，小矩形的面积之和就越来越接近封闭区域的面积，当∞→n 时，每个小矩形的面积趋于零，所有小矩形的面积之和达到一个极限，这个极限就是封闭区域的面积。

同样，要计算物体非等速直线运动从时刻a 到时刻b 所经过的路程时，可以将这段时间分割成n 个时间段，物体在各个时间段里的运动看成是匀速运动，那么物体在n 段时间里所走的路程之和就可以近似地代替物体从时刻a 到b 的路程。n 越大，这个路程之和就越精确。当∞→n 时，路程之和也达到一个极限，这个极限就是物体从时刻a 到时刻b 所经过的路程。 这两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，它们都是函数在区间上具有特定结构的和的极限。定积分的概念就是在“和的极限”这个基础上作出定义的。

数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。

可以说，没有极限理论就没有微积分

三、极限的定义和判别准则

1、极限的定义

在数学分析中极限有两个定义，一个是数列极限的定义另一个是函数极限的定义。数列极限的定义是：设有数列{n a }，a 是常数。若对任意ε＞0，总存在正数N ，对任意正数n ＞N ，有│a a n -│＜ε，则称数列{n a }的极限是a 。用逻辑符号可表示如下：a n

a n =∞

→lim ⇔∀ε＞0，+∈∃N N ，n ＞∀N ，有│a

a n -│＜ε。

而函数极限的定义又要分两种情况：（1）当自变量∞→x 时，函数)(x f 极限的定义为：设函数)(x f 在区间（+∞,a ）有定义，b 是常数。若∀ε＞0，0A ＞∃，x ∀＞A(＞a )，

有│b x f -)(│＜ε，则称函数)(x f （当+∞→x 时）的极限为b 。（2）当自变量a x →时，函数)(x f 极限的定义为：设函数)(x f 在邻域U ︒

（a ）有定义，b 是常数若∀ε＞0，∃δ＞0，x ∀：0＜│a x -│＜δ（x ∈U ︒

（δ,a ）），有 │b x f -)(│＜ε，则称函数)(x f 当a x →时的极限是b 。

2、极限存在的判别法

①

极限存在 <=>左右极限存在且相等; ② 夹逼定理;

③ 连续性定理: 单调有界数列必有极限; ④

柯西准则；

四、有关极限的定理

这里给出函数极限A x f x x =→)(lim 0

的情形，至于数列的极限和其它形式的函

数极限也都有类似的结果。

（1） 唯一性 如果)(x f 在点0x 有极限，则极限是唯一的。

（2） 有界性 如果)(x f 在点0x 有极限，则存在正数δ和M 。使当0＜│0x x -│＜δ时，有│)(x f │＜M 。

（3）保号性 如果存在A x f x x =→)(lim 0

，并且A ＞0（或A ＜0)，则存在δ＞0，使