高中数学最全圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题

OA
为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消
y
得
a2 b2 a2
x2－ax+b2=0.即 e2x2－ax+b2=0,该方程有一解
x2,一解为 a,由韦达定理
x2=
a e2
－a,0＜
x2＜a，即
0＜
a e2
－a＜a
2 ＜e＜1. 2
答案： 2 ＜e＜1 2
14.
x2
在椭圆
a2
y2 b2
1(a b 0) 上有一点 M， F1, F2 是椭圆的两个焦点，若 MF 1 MF2
2b2 ，
椭圆的离心率的取值范围是;
解析: 由椭圆的定义，可得
MF 1
MF2
2a 又
MF 1
MF2
2b2 ，所以
MF 1 , MF2
是方
程 x2 2ax 2b2 0 的两根，由 (2a)2 4 2b2 0 ， 可得 a2 2b2 ，即 a2 2(c2 a2 )
所以 e c 2 ，所以椭圆离心率的取值范围是[ 2 ,1)
运算繁琐。下面介绍两种简单解法。
解法（一）：设点
A
xA
,
y
A
，B
xB
,
yB
，由焦半径公式可得
a a
exA exB
3 2
，
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则 2(a exA) 3(a exB ) ，变形 2(a exA a exB ) a exB ，
联立
y
x2 a2
3(x c),
y2 b2
1
得
(3a2
b2
)
y2
2
3b2cy 3b4 0
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解得 y1
3b2 (c 2a) 3a2 b2
,
y2
3b2 (c 2a) 3a2 b2
因为 AF 2FB ，所以 y1 2 y2 .
C 于点 D，且 BF ＝2 FD ，则 C 的离心率为________．
3 解析：答案：
3
如图，设椭圆的标准方程为
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)不妨设 B 为上顶点，F 为右焦点，设 D(x，y)．由 BF
＝2 FD ，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
即
c 2(x b 2 y
= 2a (2c)2
Þ
a=
2c Þ e = 10
10 2
11.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的左焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45o
的直线与椭圆交于 A、B 两点
且 F 分向量 BA 的比为 2/3，椭圆的离心率 e 为:
。
本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，
c)
，解得
x
y
3c 2 b
2
，D(
3c 2
，－
b 2
)．
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(3 c)2 ( b)2
由 D 在椭圆上得： 2 2 ＝1，
a2
b2
c2 1
c3
∴ ＝ ，∴e＝ ＝ .
a2 3
a3
【解析 1】 3 如图， | BF | b2 c2 a , 3
的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。
解法（二）：
BE 1 BF 1 2 AB
e
e5
AD 1 AF 1 3 AB
e
e5
AC 2 AB 2
AD BE AC
1 3 AB 1 2 AB 2 AB
e5
e5
2
e 2 5
12. （10 辽宁理）(20)（本小题满分 12 分）
x2 设椭圆 C： a2
（6）构造一个二次方程，利用判别式0。 2.解题时所使用的数学思想方法。
（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是 其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出
来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。
（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化， 实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。
uur uur 作 DD1 y 轴于点 D1,则由 BF 2FD ，得
| OF | | DD1 |
| |
BF BD
| |
2 3
,所以 |
DD1
|
3 2
|
OF
|
3 2
c
,即
xD
3c 2
,由椭圆的第二定义得
| FD | e( a2 3c) a 3c2
c2
2a
又由| BF | 2 | FD | ,得 a 2a 3c2 , e 3
（B）
3 1
A．
2
B． 3 1
C． 4( 2 3 )
32
D．
4
解析：设点 P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，
由平面几何知识可得 | PF2 |:| PF1 |:| F1F2 | 1: 3 : 2 ， 所以由椭圆的定义及 e c 得：
a
e 2c | F1F2 | 2 3 1 ，故选 B． 2a | PF1 | | PF2 | 3 1
即
3b2 (c 2a) 3a2 b2
2
3b2 (c 2a) 3a2 b2
得离心率
e c 2. a3
……6 分
13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点 P，使
∠OPA= ,则椭圆离心率的范围是_________. 2
解析：设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
=1(a＞b＞0),以
(
)
2
A． 2
B． 3
C． 5
D． 10
【 解 析 】 对 于 A a, 0 ， 则 直 线 方 程 为 x y a 0 ， 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B ， C ，
B
a2 ab
,
ab ab
,C(
a2 ab
,
ab ab
)
，
BC
(
2a2b a2 b2
,
2a2b a2 b2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l
的倾斜角为 60o, AF 2FB .椭圆 C 的离心率
；
解：
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题意知 y1 ＜0， y2 ＞0.
（Ⅰ）直线 l 的方程为 y 3(x c) ，其中 c a2 b2 .
准线与双曲线 C1 的左准线重合，若双曲线 C1 与抛物线 C2 的交点 P 满足 PF2 F1F2 ，则双曲线 C1 的离
心率为（ ）
A． 2
B． 3
23
C．
3
D． 2 2
解：由已知可得抛物线的准线为直线 x a2 ，∴ 方程为 y2 4a2 x ；
c
c
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所 以 2e(xA xB ) a exB 因 为 直 线 倾 斜 角 为 45o ， 所 以 有 2e
2 2
AB 2 AB 5
，所以
e 2 5
提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径
是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及
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圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨 论思想、等价转化的思想学）解决问题。
2
3
B．
3
1
1
C．
D．
2
3
【解析】因为
P(c,
b2 a
)
，再由
F1PF2
60 有 3b2 a
2a, 从而可得 e
c a
3
，故选 B
3
x2
5.（08 陕西理）双曲线
a2
y2 b2
1（ a 0 ，b 0 ）的左、右焦点分别是 F1，F2 ，过 F1 作倾斜角为 30
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),
AB
ab ab
,
ab ab
，
因此 2 AB BC, 4a2 b2 ,e 5 ．答案：C
4.
x2 （09 江西理）过椭圆 a2
y2 b2
1( a b 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F2 为右焦点，
若 F1PF2 60 ，则椭圆的离心率为（
2
） A．
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由双曲线可知 P(c, b2 ) ，∴ a
(b2 )2 4a2 c ，∴
a
c
b2
2a2
b2 a2
2 ，∴
e2 1 2 ，e
3．
x2 2．椭圆 a2
y2 b2
1 （ a b 0 ）的两个焦点分别为 F
、 F2 ，以 F1 、 F2 为边作正三角形，若椭圆恰
好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率 e 为
表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的
构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个
共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；
该椭圆的离心率 e
3
．
8
8.（10 辽宁文）设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂
直，那么此双曲线的离心率为（ ）
（A） 2
（B） 3
3 1
（C）
2
5 1
（D）
2
解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，
a2
2
15.
x2 （08 湖南）若双曲线 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）上横坐标为 3a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的 2
距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+ )
C.(1,5)
D. (5,+ )
解析 由题意可知 ( 3 a a2 )e ( 3 a a2 ) 即 3 e 1 3 1 解得 e 2 故选 B.
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的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． 6
B． 3
C． 2
3
D．
3
x2
6.（08 浙江理）若双曲线
a2
y2 b2
1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是（D）
（A）3
（B）5
（C） 3
（D） 5
7.（08 全国一理）在 △ABC 中， AB BC ， cos B 7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则 18
10.
（ 07 全 国 2 理 ） 设 F1，F2 分 别 是 双 曲 线
x2 a2
y2 b2
的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使
F1 AF2 90 且 AF1 3 AF2 ，则双曲线的离心率为（
B
）
A．
5 2
10
B．
2
15
C．
2
D． 5
解
ìïïíïïî(AAFF11-)2A+F(2
= 2AF2 AF2 )2 =
（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中 的一元二次函数知识等。
（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨 论等。
【题型分析】
1.
已知双曲线
C1
:
x2 a2
y2 b2
1 (a
0,b
0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，抛物线 C2 的顶点在原点，
y P
F1 O F2
x
变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率 e 3 1 ．
3.
x2 （09 浙江理）过双曲线 a2
y2 b2
1 (a 0, b 0) 的右顶点 A 作斜率为 1的直线，该直线与双曲线
的两条渐近线的交点分别为 B, C
．若 AB
1
BC
，则双曲线的离心率是
【热点透析】
与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率
（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则一个焦点为 F (c,0), B(0,b) 一条渐近线斜率为： b ，直线 FB 的斜率为： b ， b ( b) 1，
a
c ac
b2 ac
c2 a2 ac 0 ，解得 e c
5 1
.
a2
9.（10 全国卷 1 理）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交
a
3
【 解 析
2】设椭圆方程为第一标准形式
x2 a2
y2 b2
1，设 D
x2 , y2
，F 分
BD 所 成 的 比 为 2 ，
xc
0 2x2 1 2
x2
3 2
xc
3 c; 2
yc
b 2 y2 1 2
y2
3yc b 2
30 b 2
b ，代入 2
9 4
c2 a2
1 4
b2 b2
1，
e
3 3