小学五年级奥数--数的整除特征

数的整除性质
• 性质2： • 如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。 • 即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a • 反过来，如果b︱a ， c︱a 那么bc︱a 一定正确吗？
数的整除性质3
• 3、我们看下面的例子： • ① 4能够整除36，6也能整除36，4与6 的积能整除36吗？ 不能 • ② 4能够整除80，5也能整除80，4与5 的积能整除80吗？ 能 • ③ 5能够整除80，8也能整除80，5与8 的积能整除80吗？ 能 • 这说明这两个数需要满足一定的条件！
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（三）数的整除特征
• （一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征； • （二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整 除； • ②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除； • ③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的 差（大减小）能被11整除； • ④能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的 数的差（大减小）能被7、11、13整除。
数的整除性质1
• 性质1： • 如果a、b都能被c整除，那么他们的 和或差也能被c整除。 • 即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b） • 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
• 2、我们再来看一组例子： • ① 15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除 45吗？ • ② 3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除 84吗？ • ③ 5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除 135吗？ • 上面的3个例子有什么共同点？ • 如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个 数整除吗？
（二） 数的整除性质
• 1、看下面的两个例子： • ⑴ 我们知道 2︱10 ， 2︱6 ，2能整除10 与6的和或者差吗 • 能 。 2︱（10＋6）且 2︱（10－6） • ⑵ 我们再看 5︱25 ， 5︱10 ，5能整除 25与10的和或差吗？ • 能 。 5︱（25＋10）， 5︱（25－10） • 你能从上面的题目中得到上面规律？
• （2）李老师为学校一共买了28支价格相同 的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处 数字相同，请问：每支钢笔多少元？ • 分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱 数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路 类似，可以用数的整除性质和数的整除特 征结合起来解答。
数的整除性质3
• 性质3： • 如果b、c都能整除a，且b和c 互质 ， 那么b、c的积能整除a 。 • 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1， 那么 bc︱a。 • 例如 8︱324685008 ， 9︱324685008 且（8，9）＝1， • 那么 72︱324685008。
数的整除性质4
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②33333333468375能不能被125整除 回忆：能被125整除的数的特征： 末三位数字能被125整除。 解： 因为这个数的末三位数字375能被125 整除，所以33333333468375能被125整除。
பைடு நூலகம்
• ③1234567891011121314能不能被3和9整除。 • 回忆：能被3（或9）整除的数的特征： • 各个数位数字的和能被3（或9）整除。 • 解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1 ＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60 • 因为 3 60 9 60 ∣ • 所以这个数能被 3整除而不能被9整除。 • 答：这个数能被3整除而不能被9整除。
应用举例（二）根据规律填空
y 求所有满足 • 例2、⑴ 已知45︱x1993 条件的六位数。 解：因为45＝5×9，根据整除的性质②， 可知5︱ x1993y ，9︱ x1993y 所以 y可以是0或者5 ， 当y＝0时，根据9︱ x1993 y 及数的整除特 征可知x＝ 5 ； x1993y 及数的整除特 当y＝5时，根据 9︱ 9 征可知x＝ 答：满足条件的六位数是 519930 或 。 919935
应用举例（一） 判断一个数能不能被整除
• • • • 例1、 ①判断35112能不能被7、11、13整除 ②33333333468375能不能被125整除 ③1234567891011121314能不能被3和9整 除
• ①判断35112能不能被7、11、13整除 • 回忆：能被7、11、13整除的数的特征： • 末三位数字与前面的数字的差（大减小） 能被7、11、13整除。 • 解： 112－35＝77 • 因为 7∣77 ， 11∣ 77， 13 77 • 答：35112能被7和11整除，但不能被13整 除。
• 4、我们最后再看一个问题： • 如果c能整除b，b能整除a，那么c一定 能整除a吗？ • 自己出几个题目试试？ • 7能整除14，14能整除140，那么，7能 整除140吗？ 能 • 9能整除18，18能整除54，那么，9能 整除54吗？ 能
数的整除性质4
• 性质4： • 如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 • 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
我们来总结一下
• 性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差
也能被c整除。即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱ （a±b） 性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。 即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a 性质3： 如果b、c都能整除a，且b和c 互质，那么b、 c的积能整除a 。 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c） ＝1，那么 bc︱a。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
第一单元 数的整除特征
熟记整除的性质，以及能被2、3、 4、5、7、8、9、11、13、25、125整 除的数的特征，能应用性质和特征解决 简单的数字问题及生活中的问题
（一）整除——约数、倍数
• 像15÷3＝5，63÷7＝9这样， • 一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且 a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好 等于c且没有余数，我们就说a能被b整除 （或者说b能整除a），记作：b︱a， • 否则，称a不能被b整除（或b不能整除a）， 记作：b a