二重积分概念课件-PPT课件
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
P 1 P
2
s ( T ) I , S ( T ) I .
P 2 P
记 T 为由 T 1 与 T 可证得
高等教育出版社
2 2 这两个直线网合Βιβλιοθήκη Baidu所成的直线网,
( 3 )
s ( T ) s ( T ) , S ( T ) S ( T ) . P 1 P P 2 P
数学分析 第二十一章 重积分
二重积分的性质
推论
平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 I P 0 , 即对任给的 0, 存在直线网 T, 使得
S ( T ) , P
或对任给的 0, 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
由确界存在定理可以推得, 对于平面上所有直线网,
数集 { sP (T )}有上确界, { SP (T)} 有下确界. 记
I s u p {( s T ) } ,I i n f {( S T ) } , P P P P
T T
显然有
0 I I . P P
但
s () TI () T , P S P I P P
I I S ( T ) s ( T ) . P 所以 P P P 由 的任意性, 得 I P I P , 因而平面图形 P 可求面积.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
所以也有 S ( T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积 K
为零.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.3
若曲线 K 为定义在 [a , b ] 上的连续函数 f ( x )
的图象, 则曲线 K 的面积为零. 证 由于 f ( x ) 在闭区间 [a , b ] 上连续, 所以它在 [a , b ] 上一致连续. 因而, 0,当 0,
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 x xx ,1 , , x ,分成 n 个小段 0 n 则每一小段都能被以 x i 为宽,
n
i
为高的小矩形所
覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和
x x , b a
i 1 i i i 1 i
P ; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i (iii) i 上含有 P 的边界点.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为 (这 ( T ) sP (T ), 则有 s P R
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
P
sT () I, S () T I .
P
从而对直线网 T 有 S () TsT () . P P
S () TsT () . P P
2
P
P
2
充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
( 1 )
通常称 I P 为 P 的内面积, I
定义1
P
为 P 的外面积.
若平面图形 P 满足 I
P
=I
P
, 则称 P 为可求面积
的图形, 并把共同值 I IP IP作为 P 的面积. P
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 S ( T ) s ( T ) . P P
( 2 )
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I I I . P 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 P P 存在直线网 T 1 与 T 2 , 使得
n
因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
推论 1
所表示的 ( ) , ( t ) ( t ) 参量方程 xty
光滑曲线或按段光滑曲线, 其面积一定为零.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.2
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1, P 可求面积的充要条件是: 对任给 的 0, 存在直线网T, 使得 S 由于 () T s () T . P P
S ( T ) S ( T ) s ( T ) , K P P
y
P
O
图 21 1
x
里 R 表示包含P 的那个矩
形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (iii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中除青色部分), 记这个和数为
SP (T ), 则有 s ( T ) ST () . P P
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
a x x x b ， 0 1 n
m a x { x x x | i 1 , 2 , , n } i i i 1 上的振幅都成 时, 可使 f ( x ) 在每个小区间 [x i 1, x i]
. 立 i ba
数学分析 第二十一章 重积分
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
P 1 P
2
s ( T ) I , S ( T ) I .
P 2 P
记 T 为由 T 1 与 T 可证得
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( 3 )
s ( T ) s ( T ) , S ( T ) S ( T ) . P 1 P P 2 P
数学分析 第二十一章 重积分
二重积分的性质
推论
平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 I P 0 , 即对任给的 0, 存在直线网 T, 使得
S ( T ) , P
或对任给的 0, 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
由确界存在定理可以推得, 对于平面上所有直线网,
数集 { sP (T )}有上确界, { SP (T)} 有下确界. 记
I s u p {( s T ) } ,I i n f {( S T ) } , P P P P
T T
显然有
0 I I . P P
但
s () TI () T , P S P I P P
I I S ( T ) s ( T ) . P 所以 P P P 由 的任意性, 得 I P I P , 因而平面图形 P 可求面积.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
所以也有 S ( T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积 K
为零.
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.3
若曲线 K 为定义在 [a , b ] 上的连续函数 f ( x )
的图象, 则曲线 K 的面积为零. 证 由于 f ( x ) 在闭区间 [a , b ] 上连续, 所以它在 [a , b ] 上一致连续. 因而, 0,当 0,
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 x xx ,1 , , x ,分成 n 个小段 0 n 则每一小段都能被以 x i 为宽,
n
i
为高的小矩形所
覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和
x x , b a
i 1 i i i 1 i
P ; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i (iii) i 上含有 P 的边界点.
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为 (这 ( T ) sP (T ), 则有 s P R
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
P
sT () I, S () T I .
P
从而对直线网 T 有 S () TsT () . P P
S () TsT () . P P
2
P
P
2
充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
( 1 )
通常称 I P 为 P 的内面积, I
定义1
P
为 P 的外面积.
若平面图形 P 满足 I
P
=I
P
, 则称 P 为可求面积
的图形, 并把共同值 I IP IP作为 P 的面积. P
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 S ( T ) s ( T ) . P P
( 2 )
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I I I . P 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 P P 存在直线网 T 1 与 T 2 , 使得
n
因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
推论 1
所表示的 ( ) , ( t ) ( t ) 参量方程 xty
光滑曲线或按段光滑曲线, 其面积一定为零.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.2
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1, P 可求面积的充要条件是: 对任给 的 0, 存在直线网T, 使得 S 由于 () T s () T . P P
S ( T ) S ( T ) s ( T ) , K P P
y
P
O
图 21 1
x
里 R 表示包含P 的那个矩
形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (iii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中除青色部分), 记这个和数为
SP (T ), 则有 s ( T ) ST () . P P
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
a x x x b ， 0 1 n
m a x { x x x | i 1 , 2 , , n } i i i 1 上的振幅都成 时, 可使 f ( x ) 在每个小区间 [x i 1, x i]
. 立 i ba
数学分析 第二十一章 重积分
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