常微分方程教案(王高雄)第五章

′⎤ ⎡ x1 ⎢ x′ ⎥ x′ = ⎢ 2 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ′⎦ ⎢ xn ⎥ ⎣
（5.3）
这里 f (t ), x, x′ 是 n × n 矩阵或 n 维列向量． 注意，矩阵相加，矩阵相乘，矩阵与纯量相乘等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成 立．这样一来，方程组（5.1）可以成下面的形式
目
录
第五章 线性微分方程组 ...............................................................................................................0 内容提要及其它.......................................................................................................................1 §5.1 存在唯一性定理 ..............................................................................................................2 5.1.1 记号和定义 .............................................................................................................2 5.1.2 存在唯一性定理 ......................................................................................................7 §5.2 线性微分方程组的一般理论 .........................................................................................13 5.2.1 齐线性微分方程组 ...............................................................................................13 5.2.2 非齐线性微分方程组 ...........................................................................................20 §5.3 常系数线性微分方程组 ................................................................................................24 5.3.1 矩阵指数 exp A 的定义和性质 ...........................................................................25 5.3.2 基解矩阵的计算公式 ...........................................................................................28 5.3.3 拉普拉斯变换的应用 ...........................................................................................37 本章小结及其它.....................................................................................................................47
L b1n (t ) ⎤ L b2 n (t )⎥ ⎥ L L ⎥ ⎥ L bn 2 (t )⎦
，
⎡ u1 (t ) ⎤ ⎢u (t ) ⎥ u(t ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣u n (t )⎦
在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间 a ≤ t ≤ b 上可微，并且它们的 导数分别由下式给出：
（5.1）
的 一 阶 线 性 微 分 方 程 组 ， 其 中 已 知 函 数 a ij (i, j = 1,2, L , n) 和 f i (t )(i = 1,2, L , n) 在 区 间
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ≤ t ≤ b 上是连续的．方程（5.1）关于 x1 , x 2 , L , x n 及 x '1 , x ' 2 , L , x' n 是线性的．并引进下面
x ′ = A ( t ) x + f (t )
5-2
（5.4）
又引进下面的概念． 一个矩阵或者一个向量在区间 a ≤ t ≤ b 上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间 a ≤ t ≤ b 上的连续函数． 一个 n × n 矩阵 B(t ) 或者一个 n 维列向量 u (t ) ：
⎡b11 (t ) b12 (t ) ⎢b (t ) b (t ) 22 B (t ) = ⎢ 21 ⎢ L L ⎢ ⎣bn1 (t ) bn 2 (t )
现在给出（5 .4）的解的定义： 定义 1 设 A(t ) 是区间 a ≤ t ≤ b 的连续 n × n 矩阵， f (t ) 是同一区间 a ≤ t ≤ b 的连续 n 维向 量．方程组
x ′ = A ( t ) x + f (t )
（5.4）
在某区间 α ≤ t ≤ β （这里 [α , β ] ⊂ [ a, b ]) ）的解就是向量 u (t ) ，它的导数 u ′(t ) 在区间
′ (t ) b12 ′ (t ) ⎡b11 ⎢b′ (t ) b′ (t ) 22 B ′(t ) = ⎢ 21 ⎢ L L ⎢ ′1 (t ) bn ′ 2 (t ) ⎣bn
L b1′n (t ) ⎤ ′ n (t )⎥ L b2 ⎥ L L ⎥ ⎥ ′ 2 (t )⎦ L bn
′ (t ) ⎤ ⎡ u1 ⎢u ′ (t )⎥ 2 ⎥ ， u ′(t ) = ⎢ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ′ (t )⎦ ⎣u n
§5.1 存在唯一性定理 5.1.1 记号和定义
考察形如
′ = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x 2 + L + a1n (t ) x n + f 1 (t ) ⎧ x1 ⎪ ′ ⎪ x 2 = a 21 (t ) x1 + a 22 (t ) x 2 + L + a 2 n (t ) x n + f 2 (t ) ⎨ ⎪LLLLLLLLLLLLLLLLLLL ⎪ n = a n1 (t ) x1 + a n 2 (t ) x 2 + L + a nn (t ) x n + f n (t ) ⎩x′
5-1
本章研究线性微分方程组解的有关理论，将会看到稍为复杂些的物理系统（例如二个 或二个以上回路电流变化规律， 几个互相作用的质点的运动等等） 的数学模型会导出多于一 个微分方程的方程组．通过某些简化的假设，在相当广泛的问题里，这种方程组可以化为一 阶线性方程组．类似于第四章所指出过的，在微分方程的理论中，线性微分方程组是非常值 得重视的一部分内容．为了研究这此线性微分方程组，引进向量和矩阵的记号，并广泛利用 线性代数（向量空间和矩阵代数）的结果．很多微分方程的理论只有藉助于线性代数的知识 才可以作出适当和充分的解释， 希望读者能很好地领会这一章的内容． 作为本章所得的每一 个结果的特殊情形，都可以得到第四章已讨论过的高阶线性微分方程的一个相应结果． 主要学习方法：借鉴和对比方法进行学习。
b 22 ( t ) dt L b ∫ b n 2 (t ) dt
a a
∫ ∫
b
a b
b12 ( t ) dt
L L L L
∫ ∫
b1 n ( t ) dt ⎤ ⎥ b 2 n ( t ) dt ⎥ a ⎥ L ⎥ b ⎥ ∫a b nn (t ) dt ⎥ ⎦
b a b
⎡ b u (t )dt ⎤ ⎢ ∫a 1 ⎥ b ⎢ b u 2 (t )dt ⎥ ∫ = u ( ) t dt a ⎢ ⎥ ∫a M ⎢ ⎥ ⎢ b u (t )dt ⎥ ⎢ ∫a n ⎥ ⎣ ⎦
这里 A（t）是 n × n 矩阵，它的元素是 n 2 个函数 a ij (i, j = 1,2, L , n)
⎡ f1 (t ) ⎤ ⎢ f (t ) ⎥ f (t ) = ⎢ 2 ⎥ , ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ f n (t ) ⎦ ⎥ ⎣
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ x=⎢ 2⎥ , ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xn ⎦ ⎥ ⎣
第五章
内容提要及其它
授课题目 （章、节）
线性微分方程组
第五章：线性微分方程组
教材及主要参考 书（注明页数）
教材： 常微分方程 （第三版） ， 王高雄等， 高等教育出版社， 2006 年,p186-247 主要参考书 [1] 常微分方程， 东北师范大学微分方程教研室编， 高等教育出版社， 2005， p116-223 [2] 高等代数，北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组编， 人民教 育出版社，1978，p102-156 [3] 常微分方程习题解， 庄 万主编， 山东科学技术出版社， 2003， p384-571 [4] 差分方程和常微分方程，阮 炯编著，复旦大学出版社，2002，p39-94
的记号．
⎡ a1 1 ( t ) ⎢ a (t ) A( t ) = ⎢ 2 1 ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣ a n1 ( t )
a1 2 ( t ) a 22 (t ) L a n 2 (t )
L L L L
a1 n ( t ) ⎤ a 2 n (t ) ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ a nn (t ) ⎥ ⎦
（5.2）
类似的，矩阵 B (t ) 或者 u (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a ≤ t ≤ b 上可积．并且它们的积分分别由下式给出：
⎡ b b ( t ) dt ⎢ ∫a 11 ⎢ b b ( t ) dt b = B ( t ) dt ⎢ ∫a 21 ∫a L ⎢ ⎢ b b ( t ) dt ⎢ ⎣ ∫a n1
不难证明，如果 n × n 矩阵 A(t ), B(t ) 及向量 u(t ), v (t ) 是可微的，那么下列等式成立：
( I ) ( A(t ) + B(t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v′(t ) ( II ) ( A(t ) ⋅ B(t ))′ = A′(t )B(t ) + A(t )B′(t ) ( III ) ( A(t )u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A (t )u′(t )
目的与要求 掌握线性微分方程组的向量、矩阵表示法，以及与高阶线性常微分方程的关系．理解一阶
n 维向量常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理和证明方法．掌握线性微分方程组的通解
结构、常数变易公式、标准基解矩阵．掌握常系数线性微分方程组的基解矩阵的求解方法．
教学内容与时间安排、教学方法、教学手段 教学内容 第 1 节 存在唯一性定理； 第 2 节 线性微分方程组的一般理论； 第 3 节 常系数线性微分方程组． 时间安排：11 学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合． 教学重点分析 方法上的重点：基解矩阵的计算方法． 内容上的重点：线性微分方程组解的结构理论是一个重点，它是求解线性微分方程组的理论基 础；另一个重点是常系数线性微分方程组的解法，它把微分方程求解问题转化为一个代数问题 进行讨论，即基解矩阵的计算． 教学难点分析 方法上的难点：基解矩阵的计算方法． 内容上的难点：第一个难点是 n 阶线性微分方程与线性微分方程组的等价性，主要是学生理解 上有一定难度；另一个难点是基解矩阵的计算方法，因为把求解常系数线性微分方程组的问题 转化为了一个代数方程来讨论，而代数方程的讨论相对来说要直观容易一些．