解析几何知识点+经典结论+解题方法

图
形
范围
性
质
对称性
顶点
轴
性
焦距
质 离心率
a，b，c 的关系
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a 短轴 B1B2 的长为 2b
y2 b2
1.
2.
x2
过椭圆
a2
y2 b2
1
(a＞0, b＞0)上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，
则直线
BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
3.
若
P
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1,
2
2
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几
种形式： y 2 2 px ， x 2 2 py ， x 2 2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下
表： [一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5.
若
P0
( x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
6.
若
P0
( x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
y2 b2
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1
（ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ， 则 被
Po
所平分的中点弦的方程是
x0 x y0 y x0 2 y0 2 . a2 b2 a2 b2
13.
若
P0 (x0 , y0 )
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1
（ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ， 则 过
Po
的弦中点的轨迹方程是
|F1F2|＝2c e＝c∈(0,1)
a c2＝a2－b2
2
7.双曲线
一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．两
个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距. 二、双曲线的标准方程和几何性质
2
.
8.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式：
| MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0) , F2 (c, 0) M (x0, y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点
4
个端点.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆
x2 a2
y2 b2
1上，则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
6.
若
P0
( x0
,
y0
)
在椭圆
x2 a2
6.椭圆
一、椭圆的定义和方程
1．椭圆的定义 平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数 2a (大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点. 定义中特别要注意条件 2a＞2c，否则轨迹不是椭圆；当 2a＝2c 时，动点的轨迹是线段；当 2a＜2c 时，动点
渐近线
y＝±bx a
y＝±ax b
性 离心率 质
e＝c，e∈(1，＋∞)其中 c＝ a2＋b2 a
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它 的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴，b 叫做双曲线的虚半轴
a、b、c 关系
c2＝a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
kAB
b2 a2
，
即 K AB
b2 x0 a2 y0
。
12.
若
P0
( x0
,
y0
)
在椭圆
x2 a2
y2 b2
1内，则被
Po
所平分的中点弦的方程是
x0 x a2
y0 y b2
x0 2 a2
y0 2 b2
.
13.
若
P0
( x0
,
y0
)
在椭圆
x2 a2
y2 b2
1内，则过
Po
的弦中点的轨迹方程是
F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q
交于点 N，则 MF⊥NF.
11.
x2
AB 是椭圆
a2
y2 b2
1的不平行于对称轴的弦，M (x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOM
b2co t 2
.
8.
双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1(c, 0)
,
F2 (c, 0)
当 M (x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
当 M (x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a
3
8．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物
线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 y 2 2 px p 0 叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ p ,0），它的准线方程是 x p ；
x2 a2
y2 b2
x0 x a2
y0 y . b2
二、双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴
的两个端点.
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
y2 b2
1外
，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2
，则椭圆的焦点
角形的面积为 SF1PF2
b2
tan
5、两圆位置关系的判断
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)的圆心距为 d，则
1
1．d＞r1＋r2⇔两圆外离；2．d＝r1＋r2⇔两圆外切； 3．|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆相交_；4．d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切； 5．0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交
相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，
判断直线与圆的位置关系常见的有：
几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离
②．直线与圆相交
l 直线与圆相交时，若 l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有 r2＝d2＋ 2 2，即 l＝2 r2－d2，求弦长或已知弦
长求解问题，一般用此公式．
②．圆的一般方程
对于方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(1)当
D2＋E2－4F＞0
时，表示圆心为③
－D，－E 22
，半径为1
D2＋E2－4F的圆；
2
－D，－E (2)当 D2＋E2－4F＝0 时，表示一个点 2 2 ；
(3)当 D2＋E2－4F＜0 时，它不表示任何图形．
4、直线与圆的位置关系
①．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
x2 y2 x0 x y0 y . a2 b2 a2 b2
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭圆
1.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1（a＞b＞o）的两个顶点为 A1(a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时
x2 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 a2
x0
y p 2
y0
y p 2
y0
对称性 顶点
离心率
x轴 (0, 0) e 1
x轴 (0, 0) e 1
y轴 (0, 0) e 1
y轴 (0, 0) e 1
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，
一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的
1（a＞0,b＞0）外
，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则
5
切点弦
P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
7.
x2
双曲线
a2
y2 b2
1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 F1PF2
，
则双曲线的焦点角形的面积为 SF1PF2
解析几何知识点+经典结论+解题方法
解析几何基础知识
1.平行与垂直
若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： (1)直线 l1∥l2 的充要条件是： k1＝k2 且 b1≠b2 (2)直线 l1⊥l2 的充要条件是：k1·k2＝－1
2．三种距离
(1)两点间的距离平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22.特别地，原点(0,0) 与任意一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
标准方程 图形
y2 2 px ( p 0) ly
oF x
y2 2 px ( p 0)
y l
Fo x
x2 2 py ( p 0)
y
F
l
ox
x2 2 py ( p 0)
焦点坐标
( p , 0) 2
( p , 0) 2
(0, p ) 2
(0, p) 2
准线方程 范围
x p 2
x0
x p 2
的轨迹不存在。
2．椭圆的方程 (1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： ＋ ＝1(a＞b＞0)．
a2 b2
二、椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
标准方程
x2＋y2＝1(a＞b＞0) a2 b2
y2＋x2＝1(a＞b＞0) a2 b2
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
④x≥a 或 x≤－a
⑤_ y≥a 或 y≤－a
性 质
对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：坐标原点
对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点
顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
距离。 2.焦点弦(以抛物线 y2＝2px(p＞0)为例) 设 AB 是过焦点 F 的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝x1＋x2＋p；|AB|min＝2p；x1·x2＝p42；y1·y2＝－p；|AF|＝x1＋p2,|BF|＝x2＋p2.
解析几何经典结论
一、椭 圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两
A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
11.
AB
是双曲线
Байду номын сангаас
x2 a2
y2 b2
1 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M
(x0 , y0 )
为
AB
的中点，则
K OM
K AB
b2 x0 a2 y0
，即 K AB
b2 x0 a2 y0
。
12.
若
P0 (x0 , y0 )
(2)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
(3)两条平行线的距离
两条平行线
Ax＋By＋C1＝0
与
Ax＋By＋C2＝0
间的距离
d＝
|C1－C2| A2＋B2
3、圆的方程的两种形式
①．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为(a，b)，半径为 r 的圆．