大学课程大一数学线性代数上册10.数量积,向量积,混合积课件
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积也可以从物理中力作功的计算公式抽象出来.
1. 数量积的定义与性质 向量 , 的数量积定义为: = ||||cos, 其中 = <, >
表示向量 , 间的夹角.
两个向量的数量积又称为点积或内积. 内积 可省略为 , 有以下重要性质:
(1) = (对称性) (2) (+) = +
(分配律)
y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
4
y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
(1) | | 2 利用内积求长度. (2) cos 利用内积求夹角.
| || | 2 2 (3), 垂直 , , 记为 .
2 = 0.
在直角坐标系 {O; i, j, k} 下夹角的计算：
两向量 ( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ) 夹角：
线性代数（1）
第十讲 清华大学数学科学系
1
第十讲 向量的内积、外积、混合积
本讲内容提要
一、向量的数量积(内积) 二、向量的向量积(外积) 三、向量的混合积
2
一、向量的数量积(内积)
向量的线性运算可以用来解决一些几何问题. 要利用向量解决更复杂的几何问题，需要引入向量的其它
运算，这其中最重要的就是数量积和向量积. 向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的. 向量的数量
cos
x1 y1 x2 y2 x3 y3
x12 x22 x32 y12 y22 y32
7
例2 在仿射坐标系 {O; e1, e2 , e3} 中 e1 1, e2 1, e3 2, e1, e2 60 , e1, e3 e2, e3 45 , 求向量 e1 e2 与
e1e1 e1e2 e1e3 y1
x1, x2 , x3 e2e1
e2e2
e2e3
y2
e3e1 e3e2 e3e3 y3
e1e1 e1e2 e1e3
A e2e1
e2e2
e2e3
称为仿射坐标系的度量矩阵.
如果记:
e3e1 e3e2 e3e3
x1
y1
X
x2
,
Y
(++) = + + = 0, 所以 与 ++ 共线; 同理可证 与 ++ 共线, 与 ++ 共线, 由 ++ 0 和 , , 均与 ++ 共线 , , 共线, 与已知矛盾, 所以 ++ = 0.
e3 的夹角 .
1 0.5
解
| e1 e2 |2 1,1, 0 0.5
1
2 2
2 2 4
1 1 0
3,
1 0.5
(e1 e2 ) e3 1,1, 0 0.5 1
2 2
2 2 4
0 0 1
2
2,
cos 2 2 6 , | || | 2 3 3
e1 e2
与 3e1 2e2 e3 的内积.
解
e1e1 A e2e1
e3e1
e1e2 e2e2 e3e2
e1e3 e2e3 e3e3
1 0.5
2
0.5 1 2
2
2
4
1 0.5
2, 0, 2 0.5 1
2 22 3 来自2 2 3 2.4
1
6
3. 内积的应用
可判断向量平行(共线): // 0.
例4 已知三个向量 , , 不共线, 试证明 ++ = 0 = = . 证明 必要性 由 ++ = 0 = -(+), 由向量积的性质得 = -(+) = - - = - = , = -(+) = -- = , 充分性 用反证法：若 ++ 0, 由 = = , 有
y2
,
则
X T AY
x3 y3
直角坐标系 {O; i, j, k} 下形式更简单. A I3,
X TY x1 y1 x2 y2 x3 y3.
5
例1 在仿射坐标系 {O; e1, e2 , e3}中 e1 1, e2 1, e3 2,
e1, e2 60 , e1, e3 e2, e3 45 , 求向量 2e1 2e3
与
e3
的夹角 =
cos1
6. 3
8
例3 证明 Cauchy-Schwarz不等式： (a1b1 a2b2 a3b3 )2 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ). 证明 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中令
a1i a2 j a3k, b1i b2 j b3k, cos , ,
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 , (a1b1 a2b2 a3b3 )2 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ).
9
二、向量的向量积(外积)
两个向量 , 的向量积 是一个向量, 它的方向与 , 垂直, 而且, , 符合右手系, 长度为
(3) (k) = (k) = k()
3
(4) 2 = 0 且等号成立 = 0. (正定性) 2. 利用坐标计算内积
设 {O; e1, e2, e3} 是一个空间仿射坐标系, 记
( x1 , x2 , x3 ) x1e1 x2e2 x3e3 ( y1, y2 , y3 ) y1e1 y2e2 y3e3
利用内积的性质, 有
( , ) ( x1e1 x2e2 x3e3, y1e1 y2e2 y3e3 )
x1 y1e1e1 x1 y2e1e2 x1 y3e1e3
x2 y1e2e1 x2 y2e2e2 x2 y3e2e3
x3 y1e3e1 x3 y2e3e2 x3 y3e3e3
sin , ,
恰为以向量 , 为边的平行四边形的面积.
向量积也称为外积或叉积 下面不加证明的介绍一下
向量积的性质
=
外积具有以下性质
(1) ,
h
(2) (k ) (k ) k( ),
(3) ( ) .
10
外积的应用: 求平行四边形、三角形的面积; 求点到直线 的距离; 求与给定两个向量都垂直的向量.
1. 数量积的定义与性质 向量 , 的数量积定义为: = ||||cos, 其中 = <, >
表示向量 , 间的夹角.
两个向量的数量积又称为点积或内积. 内积 可省略为 , 有以下重要性质:
(1) = (对称性) (2) (+) = +
(分配律)
y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
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y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
(1) | | 2 利用内积求长度. (2) cos 利用内积求夹角.
| || | 2 2 (3), 垂直 , , 记为 .
2 = 0.
在直角坐标系 {O; i, j, k} 下夹角的计算：
两向量 ( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ) 夹角：
线性代数（1）
第十讲 清华大学数学科学系
1
第十讲 向量的内积、外积、混合积
本讲内容提要
一、向量的数量积(内积) 二、向量的向量积(外积) 三、向量的混合积
2
一、向量的数量积(内积)
向量的线性运算可以用来解决一些几何问题. 要利用向量解决更复杂的几何问题，需要引入向量的其它
运算，这其中最重要的就是数量积和向量积. 向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的. 向量的数量
cos
x1 y1 x2 y2 x3 y3
x12 x22 x32 y12 y22 y32
7
例2 在仿射坐标系 {O; e1, e2 , e3} 中 e1 1, e2 1, e3 2, e1, e2 60 , e1, e3 e2, e3 45 , 求向量 e1 e2 与
e1e1 e1e2 e1e3 y1
x1, x2 , x3 e2e1
e2e2
e2e3
y2
e3e1 e3e2 e3e3 y3
e1e1 e1e2 e1e3
A e2e1
e2e2
e2e3
称为仿射坐标系的度量矩阵.
如果记:
e3e1 e3e2 e3e3
x1
y1
X
x2
,
Y
(++) = + + = 0, 所以 与 ++ 共线; 同理可证 与 ++ 共线, 与 ++ 共线, 由 ++ 0 和 , , 均与 ++ 共线 , , 共线, 与已知矛盾, 所以 ++ = 0.
e3 的夹角 .
1 0.5
解
| e1 e2 |2 1,1, 0 0.5
1
2 2
2 2 4
1 1 0
3,
1 0.5
(e1 e2 ) e3 1,1, 0 0.5 1
2 2
2 2 4
0 0 1
2
2,
cos 2 2 6 , | || | 2 3 3
e1 e2
与 3e1 2e2 e3 的内积.
解
e1e1 A e2e1
e3e1
e1e2 e2e2 e3e2
e1e3 e2e3 e3e3
1 0.5
2
0.5 1 2
2
2
4
1 0.5
2, 0, 2 0.5 1
2 22 3 来自2 2 3 2.4
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3. 内积的应用
可判断向量平行(共线): // 0.
例4 已知三个向量 , , 不共线, 试证明 ++ = 0 = = . 证明 必要性 由 ++ = 0 = -(+), 由向量积的性质得 = -(+) = - - = - = , = -(+) = -- = , 充分性 用反证法：若 ++ 0, 由 = = , 有
y2
,
则
X T AY
x3 y3
直角坐标系 {O; i, j, k} 下形式更简单. A I3,
X TY x1 y1 x2 y2 x3 y3.
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例1 在仿射坐标系 {O; e1, e2 , e3}中 e1 1, e2 1, e3 2,
e1, e2 60 , e1, e3 e2, e3 45 , 求向量 2e1 2e3
与
e3
的夹角 =
cos1
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例3 证明 Cauchy-Schwarz不等式： (a1b1 a2b2 a3b3 )2 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ). 证明 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中令
a1i a2 j a3k, b1i b2 j b3k, cos , ,
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 , (a1b1 a2b2 a3b3 )2 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ).
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二、向量的向量积(外积)
两个向量 , 的向量积 是一个向量, 它的方向与 , 垂直, 而且, , 符合右手系, 长度为
(3) (k) = (k) = k()
3
(4) 2 = 0 且等号成立 = 0. (正定性) 2. 利用坐标计算内积
设 {O; e1, e2, e3} 是一个空间仿射坐标系, 记
( x1 , x2 , x3 ) x1e1 x2e2 x3e3 ( y1, y2 , y3 ) y1e1 y2e2 y3e3
利用内积的性质, 有
( , ) ( x1e1 x2e2 x3e3, y1e1 y2e2 y3e3 )
x1 y1e1e1 x1 y2e1e2 x1 y3e1e3
x2 y1e2e1 x2 y2e2e2 x2 y3e2e3
x3 y1e3e1 x3 y2e3e2 x3 y3e3e3
sin , ,
恰为以向量 , 为边的平行四边形的面积.
向量积也称为外积或叉积 下面不加证明的介绍一下
向量积的性质
=
外积具有以下性质
(1) ,
h
(2) (k ) (k ) k( ),
(3) ( ) .
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外积的应用: 求平行四边形、三角形的面积; 求点到直线 的距离; 求与给定两个向量都垂直的向量.