投资学第10章APT与风险收益多因素模型

套利与均衡
套利与一价法则
套利：是利用证券在两个市场之间定价的不一致性
进行资金转移，从中获取无风险利润的行为。 进行资金转移，从中获取无风险利润的行为。 一价法则：相同证券在不同市场 或同类证券在同一 相同证券在不同市场(或同类证券在同一 市场)的定价水平应相同 的定价水平应相同。 市场 的定价水平应相同。 一价法则隐含的意思是：如果一只证券的回报能通 一价法则隐含的意思是： 过其它证券的组合合成创造出来， 过其它证券的组合合成创造出来，该组合的价格与 基础证券的价格肯定是相等的； 基础证券的价格肯定是相等的； 一价法则的成立意味着套利机会的消失；相反，当 一价法则的成立意味着套利机会的消失；相反， 一价法则被违背时，就会出现明显的套利机会。 一价法则被违背时，就会出现明显的套利机会。 一般来讲，在一个完全竞争、 一般来讲，在一个完全竞争、有效的市场总是遵循 一价法则的。 一价法则的。
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套利定价模型（ 套利定价模型（APT） ）
美国经济学家Stephen Ross于1976年提出了 美国经济学家 于 年提出了 套利定价理论， 套利定价理论，他利用套利原理推导出市 场均衡状态下资本资产定价关系， 场均衡状态下资本资产定价关系，即APT 。 由于APT与CAPM的一样的解释功能，而 的一样的解释功能， 由于 与 的一样的解释功能 且涉及较少的假设条件，与现实更贴近， 且涉及较少的假设条件，与现实更贴近， 因此受到更多的关注。 因此受到更多的关注。
套利
套利指一个能产生无风险 盈利的交易策略
资本市场均衡：不存在套利机会（ 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利 均衡） 均衡） 套利定价理论： 套利定价理论：在无套利均衡下资产价格 的决定 一价定律：两种资产未来所有现金流均相等， 一价定律：两种资产未来所有现金流均相等， 那么二者的市场价格应该相等。 那么二者的市场价格应该相等。
ri = E (ri ) + mi + ei 其中E (ri )为基于可得信息的期望收益 mi 为未预期到的宏观事件的影响 ei 为未预期到的公司特有事件的影响
2 于是：E (mi ) = 0, E (ei ) = 0, σ i2 = σ m + σ 2 (ei ) 2 Cov (ri , rj ) = Cov (m + ei , m + e j ) = σ m
APT对资产的评价不是基于马克维茨模型 ， 对资产的评价不是基于马克维茨模型， 对资产的评价不是基于马克维茨模型 而是基于无套利原则和因素模型。 而是基于无套利原则和因素模型。 不要求“同质期望”假设， 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致 行动。 行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除 套利机会。 套利机会。 不要求投资者是风险规避的
APT模型可以得到与 模型可以得到与CAPM类似的期望回报， 类似的期望回报， 模型可以得到与 类似的期望回报 但并不要求组合一定是市场组合，可以是任 但并不要求组合一定是市场组合， 何风险分散良好的组合
ri = rf + bi (δ1 − rf ) ri = rf + βi (rm − rf )
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在两因子模型下， 在两因子模型下，我们有
ri = rf + λ1bi1 + λ2bi 2
若存在纯因子组合p1，使得bi1 = 1, bi 2 = 0, 且其期望收益为δ1则
ri = δ1 = rf + λ1
即
λ1 = δ1 − rf
同理，若存在纯因子组合p2，使得bi1 = 0, bi 2 = 1, 其期望收益为δ 2，则δ 2 =λ2 + rf , 从而
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（二）多因素模型
扩展：双因素模型 ri = E ( ri ) + β iGDP GDP + β iIR IR + ei 其中的β 又称为因素敏感度、因子载荷、因子β
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二、 套利定价理论 (Arbitrage Pricing Theory)
If 三个基本假设 三个基本假设Ross (1976)
注意二者并 不一致
由于市场组合在实际中是无法得到的，因此， 由于市场组合在实际中是无法得到的，因此， 在实际应用中，只要指数基金等组合， 在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可 满足APT。所以 的适用性更强！ 满足 。所以APT的适用性更强！ 的适用性更强
3. 其他假设前提的差异，APT要求的约束更少， 其他假设前提的差异， 要求的约束更少， 要求的约束更少 更符合现实。核心体现： 更符合现实。核心体现：同质性预期与马科维 茨理性 4. APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值 的推导以无套利为核心， 的推导以无套利为核心 则以均值 方差模型为核心， －方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假 无此假设。 设，但APT无此假设。 无此假设 5. 在CAPM中，证券的风险只与市场组合的 相关， 相关， 中 证券的风险只与市场组合的β相关 它只给出了市场风险大小， 它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来 自何处。 承认有多种因素影响证券价格， 自何处。APT承认有多种因素影响证券价格， 承认有多种因素影响证券价格 从而扩大了资产定价的思考范围（ 从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为 认为 资产定价仅有一个因素， 资产定价仅有一个因素，后拓展为多因素模 ），也为识别证券风险的来源提供了分析工 型），也为识别证券风险的来源提供了分析工 具。
λ2 = δ 2 − rf
这样可将APT的表达式可以改写为 的表达式可以改写为 这样可将
ri = rf + (δ1 − rf )bi1 +(δ 2 − rf )bi 2
第1因子的风险价格 因子的风险价格 第2因子的风险价格 因子的风险价格
10.4 APT与CAPM的比较 与 的比较
APT与CAPM的一致性 与 的一致性
若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合， 若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合， 则当APT与CAPM均成立时有 则当 与 均成立时有
ri = rf + bi (δ1 − rf ) = rf + bi λ1 ri = rf + βi (rm − rf ) 显然，若纯因子组合是市场组合 即δ1 = rm , bi 代表βi，则APT与CAPM一致。
例子
使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。 使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。若无风 险利率为6％，若当前收益为15%，该股票价格是低 ％，若当前收益为 险利率为 ％，若当前收益为 ， 估还是高估了？解释原因。 估还是高估了？解释原因。
根据APT，该股票的期望收益率为 ， 根据
r = rf + 1.0λI + 0.5λR + 0.75λc
APT的基本假设 的基本假设
证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的 变化所决定； 变化所决定； 证券的收益率和因素之间关系是线性的； 证券的收益率和因素之间关系是线性的； 具有相同风险和收益率的证券其价格不能有两 种或两种以上价格 每个投资者都会去利用不增加风险而能增加组 合预期收益的机会。 合预期收益的机会。利用这种机会的具体做法 就是使用套利组合。 就是使用套利组合。
6.从应用来看，capm模型更多应用于单项资产定价 从应用来看， 从应用来看 模型更多应用于单项资产定价 的基准； 应用于组合定价， 的基准；APT应用于组合定价，应用于单个资产定 应用于组合定价 价可能有所误差。 价可能有所误差。
10.5 APT对资产组合的指导意义 对资产组合的指导意义
APT对系统风险进行了细分，使得投资者能 对系统风险进行了细分， 对系统风险进行了细分 够测量资产对各种系统因素的敏感系数， 够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因 而可以使得投资组合的选择更准确。例如， 而可以使得投资组合的选择更准确。例如， 基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。 基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。 Eg根据个人现金流来选择组合 根据个人现金流来选择组合 APT的局限：决定资产的价格可能存在多种 的局限： 的局限 因素，模型本身不能确定这些因素是什么和 因素， 因素的数量， 因素的数量，实践中因素的选择常常具有经 验性和随意性。 验性和随意性。
证券收益能用因素模型表示 有足够多的证券来分散不同的风险 有效率的证券市场不允许持续性的套利机会 Then
ri = rf + (δ1 − rf )bi1 +(δ 2 − rf )bi 2
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APT的基本原理 ： 由无套利原则 ， 在因素 的基本原理： 由无套利原则， 的基本原理 模型下， 具有相同因素敏感性的资产（ 模型下 ， 具有相同因素敏感性的资产 （ 组 应提供相同的期望收益率。 合）应提供相同的期望收益率。 APT与CAPM的比较（假设前提） 的比较（ 与 的比较 假设前提）
CAPM与APT的区别 与 的区别
1. 若纯因子组合不是市场组合，则APT与 若纯因子组合不是市场组合， 与 CAPM不一定一致，CAPM仅仅是 不一定一致， 仅仅是APT的 不一定一致 仅仅是 的 特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时， 特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时， CAPM与APT等价。 等价。 与 等价 2. 在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地 中 若无此，则其理论瓦解）， ），但 位（若无此，则其理论瓦解），但APT即 即 使在没有市场组合条件下仍成立。 使在没有市场组合条件下仍成立。
投资学
第10章 章
APT与风险收益多因素模型 与风险收益多因素模型
理论， 按Markovitz理论，为得到投资者的最优投资 理论 组合，要求知道： 组合，要求知道：
回报率均值向量 回报率方差-协方差矩阵 回报率方差 协方差矩阵 无风险利率
估计量和计算量随着证券种类的增加以指数 级增加 对风险溢价的估计无指导作用 基于以上两点，产生了指数模型 指数模型(Sharpe, 基于以上两点，产生了指数模型 1963)的改进 的改进
= 6% + 1× 6% + 0.5 × 2% + 0.75 × 4% = 16%
股票当前的预期收益率E(r) = 15％(因为所有因素 股票当前的预期收益率 ％ 因为所有因素 的预期到的变动都定义为0 。 的预期到的变动都定义为 )。基于风险的要求收益 率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说 率超过了实际的预期收益率， 该股票定价过高。 该股票定价过高。 也就是15％的收益率是不满足无套利的，若无套利， 也就是 ％的收益率是不满足无套利的，若无套利， 则收益率应该是16％。（如何套利？） ％。（如何套利 则收益率应该是 ％。（如何套利？）
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（一）单因素模型
进一步的， 考虑不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度， 记证券i对宏观经济事件的敏感度为β i， 则证券i的宏观成分β i mi， 并有：ri = E (ri ) + β i m + ei 此即单因素模型(single factor model) 并有：σ = β σ + σ (ei )
2 i 2 i 2 m 2 2 Cov(ri ,rj ) = Cov ( β i m + ei , β j m + e j ) = β i β jσ m
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Ri = α i + β i RM + ei
2 ⇒ σ i2 = β i2σ M + σ 2 (ei )
Cov ( Ri , R j ) = Cov(α i + β i RM + ei , α j + β j RM + e j ) = Cov ( β i RM , β j RM ) = β i β jσ (Q Cov (ei , e j ) = 0)
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一、因子模型
假定某一宏观因素m影响着整个证券市场， 假定某一宏观因素 影响着整个证券市场，那么 影响着整个证券市场 将不确定性因素分解为整个经济系统的不确定性 ），和特定公司的不确定性 （m），和特定公司的不确定性（eu），则证券 ），和特定公司的不确定性（ ），则证券 持有期收益为： 持有期收益为：
APT的研究对象 的研究对象
如果每个投资者对各种证券的期望收益率和敏感 性均有相同的估计， 性均有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券 取得不同期望收益率的原因是什么？ 取得不同期望收益率的原因是什么？ 为此需要回答： 为此需要回答：
一个实际的市场是否已经达到均衡状态； 一个实际的市场是否已经达到均衡状态； 如果市场未达到均衡，投资者会如何行动； 如果市场未达到均衡，投资者会如何行动； 投资者的行动会如何影响市场， 投资者的行动会如何影响市场，最终使之达到均衡 ； 均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定。 均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定。