同态滤波器

对f(x,y)=i(x,y)r(x,y)两边取对数： lnf(x,y)=lni(x,y)+lnr(x,y) 上式两边取傅里叶变换： F(u.v)=I(u,v)+R(u,v) 用一个频域增强函数H(u,v)去处理F(u,v): H(u,v) F(u.v)= H(u,v) I(u,v)+ H(u,v) R(u,v) 将结果反变换到空域： hf (x,y) = hi (x,y)+ hr (x,y) 可见增强后的图像是由分别对应照度分量与反射分量的两部分叠加而成。 将上式两边取指数： g(x,y)=exp|hf (x,y)|=exp|hi (x,y)|exp|hr (x,y)|
6.5 空域技术与频域技术
频域增强技术与空域增强技术有密切的联系。 一、许多空域增强技术可借助频域概念来分 析和帮助设计。 二、许多空域增强技术可转化到频域来实现， 而许多频域增强技术也可转化到空域来实 现。
6.5.1 空域技术的频域分析
• 借助频域的概念对空域滤波的工作原理进行分析
• •
•
常比较直观。 空域滤波主要包括平滑滤波和锐化滤波。 平滑滤波是要滤除不规则的噪声或干扰的影响。 从频域的角度看，不规则的噪声具有较高的频率， 可用具有低通能力的频域滤波器来滤除。所以空 域的平滑滤波对应频域的低通滤波。 锐化滤波是要增强边缘和轮廓处的强度。边缘和 轮廓处都具有较高的频率，可用具有高通能力的 频域滤波器来增强。所以，空域的锐化滤波对应 频域的高通滤波。
其中A≥B，σ1>σ2。 注意这里的空域高斯滤波器取值有正有负，而且随着x的增 加，一旦h(x)取负值后再也不会变为正值。由上面的讨论可 知，空域的锐化滤波或频域的高通滤波可用两个空域的平滑 滤波器或两个频域的低通滤波器来实现。由上可知，当使用 高斯低通滤波器时，空域和频域的函数形式类似，所以增强 本身所需的计算量是差不多的。
频域高斯高通滤波器可写为：
H (u) A exp( u 2 / 2 12) B exp( u 2 / 2 22)
相应的高斯空域滤波器是：
h( x) 2 1 A exp( 2 2 2 12 x2) 2 2 B exp( 2 2 2 22 x2)
6.4 同态滤波器
同态滤波器是一种在频域中同时将图像亮度范围进行压缩和 将图像对比度进行增强的方法。可以用于消除图像中的乘性 噪声。 同态滤波器基于2.2节所介绍的图像成像模型。在2.2节（亮 度成像模型）中提到一幅图形f(x,y)可以表示成它的照度分量 i(x,y)和反射分量r(x,y)的乘积。根据该模型可用下列方法把 这两个分量分开来并分别进行滤波。
频域中滤波器的转移函数和空域中的脉冲响应函数构成傅里 叶变换对，所以空域滤波与频域滤波有对应的关系。频域中 的滤波器有可能在空域中实现，空域中的滤波器也有可能在 频域中实现。例如，要在空域实现高频提升滤波器也可使用 类似下图所示的3*3模板，只要将其中心系数分别取为5A-1 和9A-1即可。
在频域中分析图像的频率成分与图像的视觉效果间的对应关 系比较直观。有些在空域比较难以表述和分析的图像增强任 务可以比较简单地在频域中表述和分析。因为在频域设计滤 波器比较方便，所以实际中常先在频域对滤波器进行设计， 然后对其进行反变换，得到空域中对应的滤波器，再借此结 果指导对空域滤波器模板的设计。空域滤波在具体实现上和 硬件设计时都有一些优点。 最后，空域技术和频域技术还是有一定区别的。例如，空域 技术中无论使用点操作还是模板操作，每次都只是基于部分 像素的性质，而频域技术每次都利用图像中所有像素的数据， 具有全局的性质，有可能更好地体现图像的整体特性，如整 体对比度和平均灰度值等。
从同态滤波函数的剖面图中我们能看到同态滤波函数与前面 介绍的高通滤波器的转移函数有类似的形状。这样，我们可 以用高通滤波器的转移函数来逼近同态滤波函数，设高通滤 波器的转移函数为Hhigh(u,v),同态滤波函数用Hhomo(u,v)表示 ，则由Hhigh(u,v)到Hhomo(u,v)的映射为： Hhomo(u,v)=(HH-HL) Hhigh(u,v)+HL
图c所示为频域里高通滤波器的转移函数的剖面示意图，对 其求傅里叶反变换，得到如图d所示的空域里锐化滤波器的 模板函数的剖面示意图。由图可见，锐化模板系数的取值在 接近原点处为正，而在远离原点处为负。
• 举例来说，用于邻域平均的3×3模板的系
数都为1，这相当于在图b中取了3个同等高 度的采样来近似模板函数曲线；用于加权 平均的3×3模板的系数在第1行内和第3行 内均为1，2，1，而在第2行内分别为2，4， 2，这相当于在图b中取了中间高两边低的3 个采样来近似模板函数曲线；而使用高斯 加权时，相当于用高斯分布曲线来逼近图b 中的模板函数曲线。
同态滤波器增强效果实例：

图a所示为一幅人脸图像，由于单一侧光照明的原因使得人脸在图像右侧 产生阴影，头发的发际线不清晰。图b所示是用HL=0.5，HH=2.0的同态 滤波器进行同态滤波得到的结果。图像增强后，人脸与头发明显分开， 衣领也明显了。在本例中同态滤波同时使动态范围压缩（如眼睛处）并 使对比度增加（如人脸与头发交界处）。
• 上两种模板的所有系数之和均为0.当这样的
模板放在图像中灰度值是常数或变化很小 的区域时，其卷积输出为0或很小。使用这 样的滤波器会将原图中的零频率分量去除 掉，也就是将输出图的平均灰度值变为0， 这样图中就会有一部分像素灰度值小于0。 在图像处理中一般只考虑正的灰度值，所 以还需将输出图灰度值范围通过尺度变换 （一般用线性的变换）变回到[0，L-1]的范 围。
• 在空域和频域的高斯滤波器组成傅里叶变换对，且均对应 •
实高斯函数，这样就可以不用考虑复数计算。 频域高斯低通滤波器可写为：(A为幅度系数)
H (u ) A exp( u 2 / 2 2)
• 相应的空域高斯滤波器可写为：
h( x) 2 exp( 2 2 2 2 x2) （式中σ 为高斯分布的标准差） 若H(u)有较大的σ，则h(x)会较窄。也就是说，若频域高斯 滤波器允许较多的低频分量通过，则空域模板可取得比较小， 即平滑作用弱。反之，频域高斯滤波器允许较少的低频分量 通过，则空域模板要取得比较大，以加强平滑作用。
前面介绍的低通、高通、带通、带阻等线性滤波器可以较好地消除线性 叠加在图像上的加性噪声。但实际中，噪声和图像也常常是以非线性的 方式结合。例如光源照明成像的情况，其中光的入射和景物的反射是以 相乘的形式对成像做出贡献的，这样成像中的噪声与景物也是相乘的关 系。在同态滤波消噪中，先利用非线性的对数变换将乘性噪声转化为加 性噪声，然后就可用线性滤波器进行消除，最后再进行非线性的指数反 变换以获得原始的无噪声图像。 同态滤波消噪分析： 设获得的带有噪声的图像g(x,y)=f(x,y)[1+n(x,y)]，其中f(x,y)是无噪图 像，n(x,y)是噪声且满足|n(x,y)|<<1。 对两边取对数得：lng(x,y)=lnf(x,y)+ln[1+n(x,y)]≈lnf(x,y)+n(x,y) 如能将n(x,y)完全从ln[g(x,y)]中消除，就可获得对f(x,y)较准确的逼近。 同态滤波原理可在任何噪声模型化为下式的情况下工作： g(x,y)= H-1[H(f(x,y))+N(x,y)] 其中，g(x,y)是采集到的图像，H代表 非线性可逆变换，N(x,y)是对应的噪声。
6.5.2 空域或频域技术的选择
• 空域和频域的滤波器组成傅里叶变换对。所以， •
给定一个域内的滤波器，可通过傅里叶变换或反 变换得到在另一个域内对应的滤波器。 如果两个域内的滤波器具有相同的尺寸，那么借 助快速傅里叶变换在频域中进行滤波一般效率更 高。但是，在空域常可以使用较小的滤波器来达 到相似的滤波效果，所以计算量也有可能反而较 小。
这里，H(u,v)称为同态滤波函数，它可以分别作用与照度分量和反射分 量上。因为一般照度分量在空间变化较缓慢，而反射分量在不同物体交 界处会急剧变化，所以图像对数的傅里叶变换后的低频部分主要对应照 度分量，而高频部分对应反射分量。这样我们可以设计一个对傅里叶变 换结果的高频和低频分量影响不同的滤波函数H(u,v)。 选择HL<1, HH>1, H(u,v)就会一方面减弱图像中的低频分量，而另一方 面加强图像中的高频分量，最终结果是既压缩了图像的动态范围又增加 了图像相邻各部分之间的对比度。
• 对于线性锐化滤波器，由图d可知，这种滤波器模
板的中心系数应为正的而周围的系数应为负的。 对3×3的模板来说，两种典型的系数取值分别如 下图中的两个模板所示，一种是取中心系数为4， 而取其4-邻域处的系数为-1，这是一种拉普拉斯 模板；还有一种是取中心系数为8，而取其余系数 为-1，这也是一种拉普拉斯模板。
• 空域增强时，图像和模板间的模板运算是
一种卷积运算。根据卷积定理，在频域里 两者的傅里叶变换的对应运算是乘法运算。 • 频域里低通滤波器的转移函数应该对应空 域里平滑滤波器的模板函数的傅里叶变换。 • 频域里高通滤波器的转移函数应该对应空 域里锐化滤波器的模板函数的傅里叶变换。
图a所示为频域里低通滤波器的转移函数的剖面示意图，对 其求傅里叶反变换，得到如图b所示的空域里平滑滤波器的 模板函数的剖面示意图。由图可见，平滑模板系数的取值均 应为正，而且在中部大。