结构力学第四章(2)-弯曲应力

4、需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而 F 较大时，要校核剪应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核剪应力。
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
q=3.6kN/m A B L=3m Q
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面
4. 几何方程： dq a
O A
r
b
O1 B1
A1 B1 AB x AB
b
O1
a
O A1
A1 B1 OO1 OO1
x
B
y
( r + y )dq rdq r dq y r
x
y
r
（二）物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应 力状态。
M M1
EI z 200109 5.832105 r1 194.4 m 3 M1 6010
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
-4kNm x
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如 图，铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60
MPa，其截面形心位于C点，
y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图
4
2a12时, a1 2 D1
Wz 4
bh 4a 1.67Wz1 6 6
2
3 1
t max 1.5t m
2a1
z
a1
当
D12
4
2 2 2 a2 0.8 1.6a2 时, a2 1.05D1
1.6a2
2a2
z
Wz 5 4.57Wz1
t max 2.3t m (= Q A ) f
0.8a2 a2
工字形截面与框形截面类似。
2、根据材料特性选择截面形状
对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，
而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：
z G
s
（二）采用变截面梁 ，如下图： 最好是等强度梁，即 P x
M y1
2.5kNm A1
A3
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
G
y2
A2 A4
画危面应力分布图，找危险点
-4kNm
sA L
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 76310
例如： P1
剪切弯曲(横截面上既有F又有M的情况)
P2
纵向对称面
a A Q
P
P
B
a
纯弯曲(Pure Bending):
某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
§2
平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性层 中性轴 （一）变形几何规律：
( 弯曲截面系数 )
d
D
ad
D
Iz D3 圆环 Wz (1 a 4 ) ymax 32
b
Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BH
B
1
q=60kN/m B
例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：
A
1m 1 2m
（1）1——1截面上1、2两点的正
x
M 2.5kNm A1 G A3
sAL
3
M B y1 Iz
4 52 27.2MPa 8 76310
sAy
1
M C y1 2.5 52 17.0MPa 8 Iz 76310
y1
y2
sA y
4
M B y2 Iz
4 88 46.2MPa 8 76310
tmax
F
Af
; Af —腹板的面积。
t min t max
结论： 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin Q 故工字钢最大剪应力 tmax ; Af
②圆截面：
t max
4F 4 t 3 A 3
D
z
③ 薄壁圆环：
d
D
t max 2
F 2t A
z
§4
梁的正应力和剪应力强度条件 • 梁的合理截面
一、梁的正应力和剪应力强度条件 1、危险面与危险点分析：
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边 缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴。
s
M
Q
s
s
t
t
2、正应力和剪应力强度条件：
5、 梁的弯曲应力
§1 引言 §2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §3 梁横截面上的剪应力 §4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面
§１
引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力F 内力 剪应力t
弯矩M
正应力s
2、研究方法 平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无F的情况)
平面弯曲时横截面t
a a
z
Wz 2
bh2 ( R)3 1.18 Wz1 6 6
t max 1.5t m
当
D12
4

[ D 2 (0.8D) 2 ]
4
时, D 1.67D1
Wz 3
D 3
32
(1- 0.84 ) 2.75Wz1
0.8D D
z
t max 2t m
当
D12
s max
M max s Wz
t max
* Qmax S z max t b Iz
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 校核强度：
s max [s ]; t max [t ]
M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
设计载荷： M max Wz [s ]; [ P] f (M max )
二、梁的合理设计
（一）矩形木梁的合理高宽比
h
R
北宋李诫于1100年著« 营造法式 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著« 自然哲学与机械技术讲义 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比为
h h 2 时, 强度最大 ; 3 时, 刚度最大。 b b
应力； （2）此截面上的最大正应力； 180 30 x 1 2 （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1截
120 y + qL2 8 Mmax
z
面的曲率半径。 解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
M
M1
60kNm
1
A 1m 1
q=60kN/m
M z (sdA) y
A
Ey2
A
r
dA
E
r
A
y 2dA
EI z
r
M
Mz r EI z
1
……
(3)
EIz
杆的抗弯刚度 （弯曲刚度）
My sx Iz
...... (4)
（四）最大正应力：
s max
Wz Iz ymax
M Wz
… …(5)
抗弯截面模量。
* dM SZ t dx IZb
F
* N2
( M + dM ) M + dM * * s 2dA * y1dA Sz A A Iz Iz
* FS S Z t t IZb
F
t max
3F 1.5t 2 A
t 方向：与横截面上剪力方向相同； t 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
sx
sx
s x E x
（三）静力学关系：
Ey
r
......(2)
F sdA
x A
Ey
A
r
dA
E
r
A
ydA
ESz
r
0
Sz 0
z (中性)轴过形心
M
y
(sdA) z
A
Eyz
A
r
dA
E
r
A
yzdA
EI yz
r
0
（对称面永远满足）
纵向对称面
a b M a b
c d M c d
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）变 纵向线变为曲线，且上缩 下伸；横向线与纵向线变
形后仍为直线，但有转动；
形后仍正交。
2.两个概念
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 3 . 推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生 转动，距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
q=3.6kN/m 求最大应力并校核强度
s max
qL 2
Q
+
–
qL 2
M max ymax 4050 0.09 bh3 Iz 12 6.25MPa 7MPa [s ]
x
+ M
x
qL2 8
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
M ( x) s max ( x) [s ] W ( x)
若为等强度矩形截面，则高为
6 M ( x) h( x ) b[s ]
同时
t max
Q 1.5 [t ] bh( x)
Q h( x) 1.5 b[t ]
木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M
Pa，试求最大正应力和最大剪应力, 并校核梁的强度。
qL 2
+
–
qL 2
解： 画内力图求危面内力 x
+ M
x
qL 3600 3 Qmax 5400 N 2 2
M max qL2 3600 32 4050Nm 8 8
qL2 8
m
n
z
O
x
dF s
* FN 2
z
y1
m
A1
B1
m
O
n
x
* FN 1
t
dA
s
t
y
b
A
B
y
m
dx
n
dFS t bdx
* * FN F 2 N 1 dFS 0
* FN 1 * s 1dA * A A
My1 M dA Iz Iz
* y1dA
A
M * Sz Iz
B
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
求应力
2m 180 30
1 2
120 y + qL2 8 Mmax
bh3 120 1803 Iz 1012 12 12 5.832 105 m 4
M1 y s1 s 2 Iz 60 60 105 61.7 MP a 5.832
校核强度
A2
A3 y2
A4
s L max 28.2 s L
s y max 46.2 s y
T字百度文库在上面合理，反之失效。
G
y1 A4
§3
梁横截面上的剪应力 一、 矩形截面梁横截面上的剪应力
1、两点假设：
剪应力与剪力平行；
x
dx
距中性轴等距离处，剪应力 相等。
2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段；
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
* F SZ t1 bIz
其中F为截面剪力；Sz * 为y点以下的面积对中性轴之静矩； Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。
2、几种常见截面的最大弯曲剪应力
①工字钢截面：
其它材料与其它截面形状梁的合理截面
My s s 强度：正应力： Iz
* QSz t 剪应力： t bIz
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z
Wz 1
D 3
32
t max
4Q 1.33t m 3A
D
当
D12
4
a 2时, a R; ( D1 / 2)
z
x
M
M1
(压应力)
1 A
q=60kN/m
M 1 ymax 60103 90103 s 1max 105 B Iz 5.832 92.6MPa
1m
1
2m
180 30
1
2
M max ymax s max 104.2MPa Iz
120 + qL2 8 Mmax x 求曲率半径