费马猜想证明艰难历程的概述

费马猜想证明艰难历程的概述
王德忱
（黑龙江省农业科学院黑河分院）
一、费马猜想
费马猜想：又称费马大定理，是世界最著名的数论难题之一，即当n是一个大于2的正整数时不定方程z n＝x n＋y n为正整数等式不成立，也就是没有zxy ≠ 0的正整数解。

几何学中被誉为两大宝藏之一的“勾股定理”（另一为“黄金分割”）自史以来非常受人们重视，它的正整数解被称为“勾股弦数”。

大约在公元前1900年到公元前l600年之间古巴比伦人就掌握了多组勾股弦数，公元前12世纪我国《周髀算经》也记载了“勾三股四弦五”的重大发现。

古希腊数学家丢番图（330－246年）给出了勾股弦数a2＋b2 = c2基本组解公式：a = 2mn、b = m2－n2、c = m2+ n2（m ＞n）。

这些数学的辉煌成果是人类历史上杰出智慧的结晶。

于是数学家们要找到a3＋b3 = c3的正整数解，乃至要找到a n＋b n = c n的正整数解。

数论，闪烁着神秘的光环，皇冠上璀璨的明珠！
费马，1601年— 1665年生于法国。

他职业最初是律师，后来为图卢兹议会议员。

他博览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学，近三十岁时钻研数学，成果累累，在数论、解析几何学、概率论等方面都有重大贡献，被誉为“业余数学家之王。

他提出了许多数学定理，特别是1637年在巴契校订的希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”旁边写道：“把一个立方数
分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分为两个同次的幂是不可能的。

关于这一点，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。

从此z n = x n＋ y n没有正整数解的“美妙的证法”吸引了许多优秀数学家及成千上万数学爱好者的痴劳寻觅。

所有巨大的辛苦与付出都没能达到目的，这个问题就成了数学史上一个最深奥的谜。

为推进费马猜想的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖，1908年哥廷根皇家科学会悬赏10万马克（当时值200万美元）期限定为100年（至2007年）征求对费马猜想的证明。

仅1909 –1911年三年间发表错误的证明论文就多达1,000余篇，由此数学刊物不再审理这方面投稿。

又有著名数学家论文已发表才被发现错误。

后来就自然形成一个约定：费马猜想的证明，必须由世界至少5个著名数学家承认正确推荐的论文才能发表。

二、费马猜想证明的重大意
自费马猜想提出以来370多年里，不少数学家及数学爱好者艰苦不屑地努力试图证明或否定它。

当然还是希望证明它，尤其兴趣能够找到费马猜想的那个“美妙证法”。

1676年，数学家们根据费马的少量提示用“无穷递降法”证明了n＝4时的情形，这一证法被公认为是费马自己的证明。

1678年德国数学家莱布尼兹证明了n ＝4时费马猜想成立。

1738年瑞士数学家欧拉也给出了n＝4的证明。

1770年，欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。

1823年和1825年，法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明了n＝5。

1832年，狄利克雷试图证明n＝7，却只证明了n＝14。

1839年法国数学家拉梅证明了n = 7，随后得到法国数学家勒贝格的简化。

1857年，德国数学家库麦尔因第一次对一大批指数n证明了费马猜想，是19世纪贡献最大的，获得巴黎科学院的金质奖章。

他从1844年起花费20多年时间创立了理想数论，证明当n＜100除37、59、67三数所有奇素数费马猜想成立。

1901年，德国数学家林德曼发表了一篇17页的论文，但他的证明很快被人们指出了错误。

他在1882年成功地证明了π是超越数，从而彻底解决了困惑数学家
2000多年的“化圆为方”问题。

此后林德曼信心大增，夸口要解决费马猜想。

1907年他又发表了一篇长达63页的证明，后又被推翻。

1926年，美国数学家范狄维尓证明了当n＜211的奇素数时费马猜想成立。

此后数学家们证明奇素数n的值不断扩大：1954年n＜2521、1955年n＜4001、……
法国数学家勒贝格提交了一个证明，但因有漏洞被否决。

世界著名数学家高斯、柯西、阿贝尔等等都付出了极大的努力研究费马猜想，但没有结果。

19世纪和20世纪初最具影响力的德国数学家希尔伯特也研究过，但没有进展。

他说：“费马猜想是一只会下金蛋的鸡”，因为费马猜想地研究促进了数学发展。

1955年，日本数学家谷山丰猜测及韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山–志村猜想”，这个猜想使费马猜想的证明又向前迈进了一步。

1976年，德国数学家瓦格斯塔夫用大型计算机证明了n＜125000，更加推进了证明速度。

1983年，德国数学家法尔廷斯证明了一条重要猜想——“莫代尔猜想”，即x2 +y2= 1这样的方程至多有有限个有理数解。

由于这一贡献，他获得了被誉为数学诺贝尔奖的菲尔兹奖。

1985年，美国数学家罗瑟用大型计算机证明了n＜41000000。

1985年，德国数学家弗雷指出了“谷山–志村猜想”与费马猜想之间的关系；他提出了一个“假定费马猜想不成立”的命题，这一命题与“谷山–志村猜想”矛盾，如果同时证明了这两个命题，就证明了费马猜想。

1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷“假定费马猜想不成立”的命题。

于是为要证明费马猜想只需证明“谷山–志村猜想”成立，由此否定“假定费马猜想不成立”的命题，从而证明费马猜想成立。

1993年6月，英国数学家怀尔斯于一次学术讲演后宣告：他证明了费马猜想，《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道了费马猜想被证明的消息。

一夜之间，怀尔斯成为了二十世纪世界上最伟大的数学家，甚至是唯一的一个数学家，荣耀得无人能及。

《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”，许多大学都举行狂欢和游行，在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序的局面。

但经6个数学教授
对他的证明审察发现有漏洞。

怀尔斯又经过一年多的拼搏，于1994年9月完成了证明。

1995年一本《数学年刊》篇幅长达130页刊登了他的论文，著名数学家评价说这是人类智力活动的一曲凯歌。

他获得了九项国际数学大奖：1、菲尔兹数学奖（特别贡献奖）；2、美国国家科学院数学奖（100万美元）；3、沃尔夫奖；4、瑞典科学院舍克奖；5、法国费马奖；6、美国数学会科尔奖；7、欧洲奥斯特洛夫斯基奖；8、邵逸夫奖（100万美元）；9、哥廷根皇家科学会100年期限的10万马克悬赏（领奖时贬值到5万美元）。

但是，怀尔斯的论文深奥难懂，仅仅使几个数学家能够看明白，当然不是费马猜想的美妙证法。

据资料介绍：一位法国著名的哲学家说，费马大定理是人类思维的极限，是人类的思维能力不能解决的。

有人叹言：费马写的那个非常美妙的证法是怎样的，将成为所遗下的一个迷！甚至一些数学家怀疑：费马当年根本就没有美妙的证法，即使可能有个“证法”也一定是错误的，他凭直觉做出的猜想当然结论是正确的。

但也有一些数学家认为，费马可能真的得出了一个“非常美妙的证法”，必定是以17世纪的人们所掌握的数学技巧为基础的，也就是初等数学方法的证明。

美国数学家阿米尔﹒艾克赛尔所著《费马大定理——解开一个古代数学难题的秘密》中在阐述怀尔斯证明难度之后说：不能因为（怀尔斯）这一证明复杂与先进，就表示不可能有一个简单的证明。

所以这些数学家们相信，只要能够找到费马原来的证明，那么仍然可以获得声名与荣誉。

在几百年研究费马猜想的过程中，数学家的有关工作丰富了数论的内容，不少新的数学分支和新的工具被发明和推广（如代数数论等），为数学增加不少活力。

现在，仍然有大量的数学爱好者在为费马猜想美妙的证法而百折不挠地艰辛探索，实现费马猜想的美妙证法才是真正奏响人类伟大智慧完美的凯歌。

三、笔者研究费马猜想的经过
王德忱：职业会计师，业余时间自学、研究数学一些问题。

1980年前后经常为社会青年、高考青年、高初中学生等做数学辅导。

在讲课过程中有学员提出勾股定理正整数解公式是怎样得到的？经查资料，被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图发现了x2＋y2 = z2勾股数组解的公式是x = 2ab、y = a2－b2、z = a2＋b2，然而究竟是如何得到这组代数式子的，人们无从知晓。

也就是说这个求解勾股弦数公式
是怎么得到的千百年来还是一个谜。

为讲明这一问题笔者经认真探索发现：
( z y )2 - ( x y )2 = 1
( z y - x y )( z y + x y ) = 1
由此设互为倒数分数能够解出勾股弦数公式。

于是联想到费马猜想，如果用这种方法n ＞2时将其转化为一元方程形式，可能或者一定能由某些规律发现费马猜想的“美妙证明”。

从此开始了探索费马猜想艰难而漫长的里程。

1987年证明完成了一稿。

在向各大学院校和数学刊物寄发100余封稿件中得到了《东北数学》编辑部总编的重视，已通知补写了英文摘要，结果最后没能成功。

总编复信写道：象这类稿件我们是不会给审阅的，但一看你的证明方法独特，我们才组织了专家鉴定。

1999年11月费马猜想研究又成一稿。

这时查询有关信息才知道费马猜想已被英国数学家怀尔斯用高等数学证明了。

但是，怀尔斯的证明绝不是费马的美妙证法。

所以，费马猜想“美妙证明”必须继续向前推进！
2005年8月《关于x n + y n = z n 问题的初等数学证明》于《中国数学在线 数学爱好者论坛》网站刊出，随即发布《悬赏10,000元人民币 否定一个数学证题》的文告，三年包括多家网站转帖网友（也有讲师、教授等数学专业工作者）总计点击数20,000余次，有意义的学术回帖400多条，经过复杂激烈地深入研讨没有能否定这一证明者，同时在争论中发现不完善之处又不断地进行了无数次修改。

2008年12月30日最后定稿再次通过各数学及有关网站发文，悬赏10,000元人民币否定费马猜想“美妙证明”。

2010年悬赏增至20,000元人民币，且郑重向全世界宣告：费马猜想“美妙证明”存在！为论述更确切精炼，步骤更直接简明，2013年4-7月再修《费马猜想初等数学一般性证明》新作，篇幅不过3页、字数少于2千，证明关键依据一个人们早就普遍所熟知而最基本的“方根存在唯一性定理”，也就是方根性质定理。

当年费马一时的想法，大概的证明，肯定要更加简短，因而任何怀疑费马猜想“美妙的证法”都会被事实不攻自破。

为费马猜想“美妙证明”得到世人公认，笔者将在自己 hlheihedechen 的博客 上不断地发布有关公告。

（2013年8月17日）。