苏教版八年级一次函数知识点整理

b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊 k
点.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0） ， （1，k）即可. 知识点 5 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； ②k﹤O 时，y 的值随 x 值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） ，|k|越小，直 线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） ； （3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置； ①当 b＞0 时，直线与 y 轴交于正半轴上； ②当 b＜0 时，直线与 y 轴交于负半轴上； ③当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①如图 11－18（l）所示，当 k＞0，b＞0 时，直线经过第一、二、 三象限（直线不经过第四象限） ； ②如图 11－18（2）所示，当 k＞0，b＜O 时，直线经过第一、三、 四象限（直线不经过第二象限） ； ③如图 11－18（3）所示，当 k﹤O，b＞0 时，直线经过第一、二、 四象限（直线不经过第三象限） ；
例题 2 （2003·哈尔滨）若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2） ，当 x1﹤x2 时，y1＞y2，则 m 的取值范围是（ ） A．m﹤O B．m＞0 C．m﹤
1 2
D．m＞
1 2
例题 3（2003·陕西）已知直线 y=2x+1． （1）求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标； （2）若直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称，求 k，b 的值． 例 4 已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象； （3）观察图象，当 x 取何值时，y≥0？ （4）若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值； （5）设点 P 在 y 轴负半轴上， （2）中的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且 S△ABP=4，求 P 点的坐标． 例 5 已知一次函数 y=（3-k）x-2k +18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？ （4）k 为何值时，它的图象平行于直线 y=-x？（5）k 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
1 2k b, 3 k b,
4 k , 3 解 b 5 . 3
∴此函数的关系式为 y=
4 5 x ． 3 3
【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式， 具体步骤如下： 第一步， 设 （根据题中要求的函数 “设” 关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量，且 k≠0） ；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程 组） ，解这个方程（或方程组） ，求出待定系数 k，b） ；第三步，求（把求得的 k，b 的值代回到“设”的关系式 y=kx+b 中） ；第四步，写（写出函数关系式）. 知识点 11 一次函数与一次方程（组） 、不等式的关系（从数形结合角度理解） 解一次方程（组）与 不等式问题 解一元一次方程 kx＋b=0 解一元一次方程 kx＋b=c 一 次 函 数 问 题 从“数”的角度 当一次函数 y=kx＋b 的函数值（y 值）等于 0 时求自变量 x 的值 当一次函数 y=kx＋b 的函数值（y 值）等于 c 时求自变量 x 的值 从“形”的角度 当直线 y=kx＋b 上点的纵坐标为 0 时， 求这个点的横坐标是什么？（即求直线 与 x 轴的交点坐标） 当直线 y=kx＋b 上点的纵坐标为 c 时， 求这个点的横坐标是什么？
y=-x 都是正比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次” 意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当 b=0，k≠0 时，y=b 仍是一次函数. （4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数. 探究交流 有人说： “正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别． ” 点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当 b=0 时，一 次函数才能成为正比例函数． 知识点 2 确定一次函数的关系式 根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式， 实质是先列出一个方程， 再用含 x 的代 数式表示 y． 知识点 3 函数的图象 把一个函数的自变量 x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点， 所 有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点 4 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一 般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交点（0，b） ，直线与 x 轴的交点（-
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④如图 11－18（4）所示，当 k﹤O，b﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限） ． （5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角， 因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x＋1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平 移一个单位得到的． 知识点 6 正比例函数 y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点； （2）当 k＞0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大； （3）当 k＜0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小． 知识点 7 点 P（x0，y0）与直线 y=kx+b 的图象的关系 （1）如果点 P（x0，y0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0 的值必满足解析式 y=kx+b； （2）如果 x0，y0 是满足函数解析式的一对对应值，那么以 x0，y0 为坐标的点 P（x0，y0）必在函数的图象上． 例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时，y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P′（2， 1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时，y=3，所以点 P′（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上． 知识点 8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 （1）由于正比例函数 y=kx（k≠0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对 x，y 的值或一个点） 就可求得 k 的值． （2）由于一次函数 y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数 k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方 程，求得 k，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x，y 的值． 知识点 9 待定系数法（重点） 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数） ，再根据条件列出方程（或方程组） ，求出未知系数，从而 得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数 y=kx+b 中，k，b 就是待定系 数． 知识点 10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为 y=kx+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组） ； （3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式． 例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为 y＝kx+b（k≠0） ， 由题意可知，
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解一元一次不等式 kx＋b﹥0（或﹤0）
当直线 y=kx＋b 上的点的纵坐标大于 0 当一次函数 y=kx＋b 的函数值（y （或小于 0）时，求这些点的横坐标在 值）大于 0（或小于 0）时求自变 什么范围？（即求直线与 x 轴的交点坐 量 x 的值 标的上方（或下方）的部分直线的横坐 标的范围） 当一次函数 y=kx＋b 的函数值（y 当直线 y=kx＋b 上的点的纵坐标大于 m 值）大于 m（或小于 m）时求自变 （或小于 m）时，求这些点的横坐标在 量 x 的值 什么范围？ 当一次函数 y=kx＋b 的值大于 mx ＋n 的值时， 对应的自变量 x 的范 围是多少？ 当一次函数 y=kx＋b 与 y=mx＋n 的值相等时，对应的自变量 x 的 值是多少？这个函数值是多少？ 在相同横坐标的情况下,当直线 y=kx＋ b 上的点的纵坐标大于直线 y=mx＋n 上 的点的纵坐标时，求这些点的横坐标在 什么范围？ 当直线 y=kx＋b 与直线 y=mx＋n 相交时 求交点坐标
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②
k1 k 2 ； y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2） b1 b2 k1 k 2 , y1 与 y2 平行； b1 b2 k1 k 2 , y1 与 y2 重合 b1 b2
③
④
典
型
例
பைடு நூலகம்
题
例题 1 已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x=4 时，求 y 的值； （3）当 y=4 时，求 x 的值． 练习 1：已知 y 与 x+1 成正比例，当 x=5 时，y=12，则 y 关于 x 的函数关系式是 .
b ＞0 时，直线与 x 轴正半轴相交； k
b =0 时，直线经过原点； k b 当 k，b 同号时，即- ﹤0 时，直线与 x 轴负半轴相交． k
③当 b＞O，b＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当 k＞0，b=0 时，图象经过第一、三象限； 当 b＞O，b＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当 k﹤O，b＞0 时，图象经过第一、二、四象限； 当 k﹤O，b=0 时，图象经过第二、四象限； 当 b＜O，b＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线 y=kx+b（k≠0）与直线 y=kx(k≠0)的位置关系． 直线 y=kx+b(k≠0)平行于直线 y=kx(k≠0) 当 b＞0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b； 当 b﹤O 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b． （3）直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2 y1 与 y2 相交；
解一元一次不等式 kx＋b﹥m（或﹤m）
解一元一次不等式 kx＋b﹥mx＋n 解二元一次方程组
y kx b y mx n
思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的 方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问 题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 （1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当 b＞0 时，直线与 y 轴的正半轴相交； 当 b=0 时，直线经过原点； 当 b﹤0 时，直线与 y 轴的负半轴相交． ②当 k，b 异号时，即当 b=0 时，即-
一次函数
知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量） ， 特别地， 当 b=0 时， 称 y 是 x 的正比例函数.例如： y=2x+3， y=-x+2， y=
1 1 x 等都是一次函数， y= x， 2 2