第五章平面向量总复习题及答案

平面向量总复习题

一、选择题

1.下列说法中正确的是( )

A.向量a 与向量b 共线，向量b 与向量c 共线，则向量a 与向量c 共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点

C.向量a 与b 不共线，则a 与b 的夹角为锐角

D.始点相同的两个非零向量平行 答案：D

2.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要 答案：B

3.当｜a ｜＝｜b ｜≠0且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等

解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝｜a ｜2－｜b ｜2

＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b ). 答案：B

4.下面有五个命题：

①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a ，b 满足｜a ｜＞ ｜b ｜且a 与b 同向，则a ＞b ；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a ，b ，必有｜a ＋b ｜≤｜a ｜＋｜b ｜

其中正确的命题序号为( )

A.①②③

B.⑤

C.③⑤

D.①⑤

解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误； ②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误； ③两向量不能比较大小，故命题③错误； ④0与任意向量平行，故命题④错误； ⑤命题⑤正确. 答案：B

5.下列四式中不能．．

化简为的是( ) A.)(BQ PA AB ++ B.)()(QC BA PC AB -++ C.+- D.-+ 解析：A 选项中，PQ AQ PA PA AQ AQ BQ AB =+=+=+,

B 选项中，-=+=0，+=+=-,0=

C 选项中，QC QC CQ QC -=+=0，QP -+0=PQ +0=PQ

D 选项中，)(,=+≠-=+ 答案：D

6.已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( )

＋2 C. 2 2

解析：∵AC BC AB =+，∴a ＋b ＝c ，∴a ＋b ＋c ＝2c ，∴｜2c ｜＝22. 答案：D

7.如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中不正．．确．

的是( ) A.FA DA FD =+ =++EF DE FD C.EC DA DE =+ D.FD DE DA =+

答案：D

8.已知a ，b 为非零向量，｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜成立的充要条件是( ) ∥b ，b 有共同的起点 与b 的长度相等 ⊥b

解析：｜a ＋b ｜＝|a －b ｜⇔｜a ＋b ｜2＝｜a －b ｜2⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a 2

＋2a ·b ＋b 2⇔a 2－2a ·b ＋b 2

⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b

答案：D

9.下面有五个命题：

①｜a ｜2

＝a 2

；②

a b

a

b a =⋅2

；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0其中正确命题的序号是( )

A.①②③

B.①④

C.②④

D.②⑤

解析：②a b

a b a

b a a b a ≠⋅=⋅⋅=⋅ααcos cos 2

2 ③(a ·b )2

＝(｜a ｜·｜b ｜cos α)2

＝｜a ｜2

｜b ｜2

cos 2

α，a 2

·b 2

＝｜a ｜2

·｜b ｜2

，∴(a ·b )2

≠a 2

·b 2

⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b 且a ≠0，b ≠0. 答案：B

10.若点P 分有向线段21P P 成定比为3∶1，则点P 1分有向线段P P 2所成的比为( )

A.－

34

B.－32

C.－21

D.－2

3 解析：∵

34

12-=P

P ，则点P 1分有向线段P P 2所成的比为－34.

答案：A

11.若｜a ｜＝｜b ｜＝1，a ⊥b ，且2a ＋3b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－6 .6 C D.－3

解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又∵(2a ＋3b )⊥(ｋa －4b )，∴(2a ＋3b )(ｋa －4b )＝2ｋa 2－12b 2

＋(3ｋ－8)a ·b ＝－2ｋ－12＝0

解得ｋ＝6 答案：B

12.已知点A (x ,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ,y )到原点的距离是( )

B.13

C. 15

D. 17 解析：由中点坐标公式可得

y x =-=-2

3

5,122 解得x ＝4，ｙ＝1，再由两点间距离公式得17142222=+=+y x .

答案：D

13.将点(a ,b )按向量a ＝(h ,k )平移后，得到点的坐标为( ) A.(a －ｈ，b ＋ｋ) B.(a －ｈ，b －ｋ) C.(a ＋ｈ，b －ｋ) D.(a ＋ｈ，b ＋ｋ)

解析：设平移后点的坐标为(x ′，ｙ′)，则根据平移公式可得

⎩⎨⎧+='+='∴⎩⎨

⎧=-'=-'k

b y h

a x k

b y h a x , 答案：D

14.点A (2，0)，B (4，2)，若｜AB ｜＝2｜AC ｜，则点C 坐标为( ) A.(－1，1) B.(－1，1)或(5，－1) C.(－1，1)或(1，3) D.无数多个 解析：由题意｜AB ｜＝222)24(2

2

=+-，

∴｜AC ｜＝

22

=AB .

故点C 分布在以点A 为圆心，半径为2的圆上，故点C 坐标有无数多个. 答案：D

15.将曲线f (x ，ｙ)＝0按向量a ＝(ｈ，ｋ)平移后，得到的曲线的方程为( ) (x －ｈ，ｙ＋ｋ)＝0 (x －ｈ，ｙ－ｋ)＝0 (x ＋ｈ，ｙ－ｋ)＝0 (x ＋ｈ，ｙ＋ｋ)＝0

解析：设平移后曲线上任意一点坐标为(x ′，ｙ′)，则根据平移公式可得,⎩⎨⎧=-'=-'k y y h

x x

⎩⎨

⎧-'=-'=∴k

y y h

x x 又f (x ，ｙ)＝0，∴f (x ′－ｈ，ｙ′－ｋ)＝0

即f (x －ｈ，ｙ－ｋ)为平移后曲线方程. 答案：B

16.设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是M (－1，2)，则｜PQ ｜等于( )

2 B.25 10

解析：由题意设P (x ，0)，Q (0，ｙ)，由中点坐标公式可得22

,12=-=y

x 解得x ＝－2，ｙ＝4， ∴｜PQ ｜＝52204)2(2

2

==+-.