第七章莫尔条纹

而在双曝光全息干涉图中表示位移、变形、振动或折射率变 化的粗条纹均是二级条纹.由于莫尔图形和全息干涉图形都 是二级条纹,可以有理由认为,这两种现象之间存在某些有用 的相似性.我们既可以将全息干涉图形看成再现的原始波面 与变形波面干涉的结果,也可以理解为是两次曝光所形成的 两组全息图形所产生的莫尔现象。
这一特点可以用于制作计量光栅。
由前面知道，两块光栅叠合时，其等差条纹为
2 y sin q
d
当两光栅刻线之间的夹角很小时，设 2sin 2 则
y dq 因为很小，莫尔条纹间距 d d
因此对位移具有明显的放大作用。
7.2干涉、全息与莫尔现象
一、 干涉条纹的莫尔模拟
如果将一相干平面波分成两束,并使两光束以某一角度相交,这样就可以产
p
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
m1
m2
2
v1 d1
t
q
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
m1
m2
（2）如果两个光栅之一移动，则等和条纹和等差条纹均发生
移动，而且这种移动是完全同步的。也就是说，当光栅移动
一个条纹时，等和条纹和等差条纹也各自移动一个条纹。由
于光栅条纹间距与等和或等差条纹的间距是完全不相同的，
一、阴影莫尔法
h2
2dh l 2d
图7.4.1阴影莫尔等高原理图
一、阴影莫尔法
将基准光栅放置在物体的上面,用光源照明,在物体表面形 成阴影光栅,阴影光栅受到物体表面高度的调制发生变形.如 果从另一方向透过基准光栅观察物体时,基准光栅与变形的 阴影光栅重叠形成莫尔条纹.图7.4.1给出了这种方法的原理. 图中S是照明点光源,P是观察系统入瞳中心,基准光栅的周期 为d.透过基准光栅的照射光线用从S点发出的实线族表示,透 过光栅的观察光线用会聚于P点的虚线族表示,两族线在物体
照明光
Ut
物体 照明光
全息图
在各项透射光波中，我们关心的是
Ut ( x, y) O0r02 exp( j0 ) (tb O02 )O0 exp( j0)
O0r02 exp( j0 )
原参考光波再现的原始标准波，在原位 置产生一个虚像。
(tb O02 )O0 exp( j0)
物体由于加热、加载等因素产生微小 位移或变形后的光波前（假定振幅不 变），它在通过全息图受到衰减。
m2
2v2t)
1 2
1
cos2
(m2
v2 d2
t )
T ( x) T1 ( x)T2 ( x)
其中等和条纹和等差条纹的序数方程为
p
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
q
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
当 v1 v2
d1 d2
即条纹序数的变化速度相同时，有
p
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
查阅莫尔现象 及其应用文献
第七章 莫尔现象及其应用
莫尔一词来自法文的“Moire”,其原来的含义是波动 的，或起波纹的。在古代，人们就已经发现当两块薄 的丝绸织物叠在一起时，可以看到一种不规则的花纹 。后来人们将两组条纹叠加在一起所产生的图形称为 莫尔条纹。现在莫尔条纹广泛用于科学研究和工程技 术之中，莫尔条纹作为精密计量手段可用于测角、测 长、测振等领域。从70年代开始，莫尔条纹又广泛用 于三维物体的表面轮廓测量。
单色反射光
物
虚像
白光照明
单色反射光 实像
三、全息干涉条纹的莫尔模拟
任何两组条纹，把它们结合在一起若能产生一组新的条 纹，则原有的两组条纹就称为初级条纹，新的一组条纹 就称为二级条纹。两组二级条纹结合在一起,又可能产生 另一组新的条纹,称为三级条纹,等等.
在全息干涉计量中（参见下面），我们在同一张全息 图记录了两组干涉条纹,一组是原始波面参考光干涉形成 的条纹,另一组是第二次曝光时所记录的变形波面与参考 光干涉形成的条纹.这两组能再现原始波面和变形波面的 条纹是初级条纹.
7.3 莫尔计量术
将两块相近的光栅重叠时,能产生莫尔条纹.由于莫尔条纹 的特殊性质,莫尔计量方法在长度、角度、振动、变形等测 量中得到广泛的应用,成为现代光学计量领域中的一种重要 方法.
一、长度的测量
在长度计量中，通常采用两块栅距相等，栅线夹角为的 光栅重叠，其中一块是固定的，另一块是可移动的。当一 块光栅移动一个栅距时，莫尔条纹移动一个节距。当两光 栅刻线之间的夹角很小时，莫尔条纹的节距为
如果用以A为球心的同心球面表示向外传播的球面波阵面,而用以B为球 心的同心球面表示向内传播的球面波阵面,则椭球面,在空间保持静止,而 双曲面以kb的速度做横向运动.最后,如果光束向A,B会聚,则静止的干涉曲 面成为一组双曲面.
对于复杂波面的两列相干光波的叠加,光波的干涉条纹与两列光波的等相 位面构成的线族所形成的莫尔条纹 具有同样的规律。
m1 x1 m2 x2
dm1 dt
dx dt
1
v1 d1
dm2 dt
dx dt
2
v2 d2
T1( x)
1 1
2
cos21( x0
v1t )
1 1
2
cos2 (m1
1v1t )
1 2
1
cos2 (m1
v1 d1
t )
T2 ( x)
1 2
1
cos2
2
(
x0
v2t )
1 2
1
cos2
(
1
ap ap l 2
2 2
等和线方程：椭圆 等差线方程：双曲线
P198莫尔条纹图
二、莫尔条纹的基本性质
两块初级条纹光栅叠合后，在透射光场中最重要的两项是 等和条纹和等差条纹，它们具有以下几个特点：
（1）如果两块光栅同时移动，并且保持m1和m2的变化速度 相 同，即单位时间内移过的条纹数相同，则等和条纹将以 二倍的速度运动，而等差条纹将保持不动。 假定相对空间坐标第一块光栅的移动速度为v1，第二块光栅 移动速度为v2，则条纹移动速度可由下式求得
t)
m1
m2
2
v1 d1
t
q
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
m1 m2
等和条纹以二倍条纹速度移动，而等差条纹保持不变。
因此，同时移动两块光栅将使等和线由于对时间的平均作用而
平滑 ，容易将等差线单独分离出来，只看到等差线。一般说
来，莫尔条纹都是指等差条纹。
当 v1 v2
d1 d2
即条纹序数的变化速度相同时，有
cos(2m2
)
1 2
cos
2
(m1
m2
)
1 2
cos
2
(m1
m2
)
p (m1 m2 ) q (m1 m2 )
对应的条纹称等和条纹 对应的条纹称等差条纹
序数方程
考虑下面两块周期相同光栅的叠合产生的条纹
m1 0 1
23
等差线
1
q0
x
-1
-2
p1 2 3 4 5 6
m2 0 1 23
等和线
x cos
d
y sin
T2( x,
y)
1 2
1
cos 2
x cos
d
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y sin
两块光栅的线条方程
x cos y sin
d
m1
x cos
d
y sin
m2
将两块光栅叠合，用单位强度的平面波连续通过这块光栅，
其透射光场中的等和条纹方程和等差条纹方程分别为
2x cos p
d
2 y sin q
二、全息与莫尔
由于全息现象和莫尔现象之间存在某些共同之处,所以它们也具有一些 相似的规律.
例如,在莫尔现象中两个动态的光栅可以产生一组静态的莫尔条纹; 而在全 息术中,两个行波产生一个驻波,驻波条纹就是全息图.一个行波与一个驻波 条纹相遇产生另一个行波,这就是全息图的再现。
白光照明
乳胶
片基 参考光
T(x)
T1( x)T2( x)
1 2
1
cos(2 2
x)
1 2
1
cos
(2
1
x)
1 4
1
cos(21 x)
cos(2 2 x)
cos(21 x)cos(2 2 x)
1 4
1
cos(21 x)
cos(2 2 x)
1 2
cos
2
(1
2 )x
1 2
cos
2
(1
2
)
x
在大多数应用中，两块光栅的频率是较接近的，因而上述 第五项具有较低的空间频率。我们可以采用空间滤波等方 法，容易地将差频从其它各项中分离出来。而差频项常常 携带了我们感兴趣的信息，这也是人们广泛应用莫尔现象 的重要原因之一。
上述二项在同一方向传播，将产生干涉，干涉条纹的强度分布为
It (x,
y)
UtUt
O0
2
2r0
4
c2
2 r02c cos(0
0 )
其中 c tb O02
只要记录时参考角选择适当，其它各项衍射光波不会影响干涉场的观察。 当物体表面变化时，干涉图随之变化，因而可以实时地研究物体在不同时 刻下的状态，观察到所谓的“活”的条纹。也可以更换被测物体，所以又 称为实时法。这种方法的缺点是全息图的复位误差以及照相乳胶的绉缩都 会使再现的标准波前引入误差，影响测量精度。由于相干涉的两束光的振 幅不大相同，干涉条纹的对比度不好。
二 、用于应力应变测量P203
上图给出了一个用莫尔条纹法进行应力分析的实例.图 (a)是吊钩试件,在 试件A-A剖面处贴上50线/mm的试件光栅.在试件加载前,将基准光栅(50 线/mm)重叠在试件光栅上,基准栅线与试件栅线之间有一小的夹角,则得 到空载时的莫尔条纹图,如图 (b)所示.加载后,试件栅与试件一起变形,而 基准栅保持不变(可适当调整基准栅的方向,使莫尔条纹便于计量),得到加 载后的莫尔条纹,如图 (c)所示.由试件受力情况和莫尔条纹图形,就可以计 算出应力分布.
下面以两组等间距的同心圆为例，说明如何通过初级条纹方程
求出次级条纹方程。设两组同心圆间距为a，中心相距为2l,则初
级条纹的方程为
( x l )2 y2 (m1a)2 (x l)2 y2 (m2a)2
代入序数方程得等和线方程和等差线方程
x2
y2
1
ap ap l 2
2 2
x2
y2
2
A
C
2
B
D
如果考虑相距 l 的两个相干点源产生的两组球面波的干涉,其干涉条纹 可用以相距l 的A,B两点为圆心的两组等间距圆产生的莫尔条纹来模拟.这
时,等和条纹是椭圆,等差条纹是双曲线.在三维情况下,圆变成了球面,椭圆 变成了椭球面,双曲线变成了双曲面.
如果用以A,B为球心的球面来表示从两个相干光源向外移动的光波波阵 面,则双曲面在空间保持静止,然而椭球面将以kc的速度向外运动(c是光速 ,K是一个与该点空间位置有关的一个常量。
设光栅线条的序数为m,则有
x md
x
m x x
d
d
m, x
T1( x)
1 2
1
cos
(2
1
x
)
1 2
1
cos(2m1 )
T2( x)
1 2
1
cos
(2
2
x
)
1 1
2
cos(2m2 )
T(
x)
T1 (
x)T2
(x)
1 2
1
cos(2m1
)
1 2
1
cos
(2m
2
)
1 4
1
cos(2m1
)
生干涉条纹,下图示出了这种现象的莫尔模拟.两光束分别由A射向D和由B射 向C, 波阵面由间距相等并与光束方向垂直的各直线表示,一条暗线加一条亮
线代表一个波长.如果把间距为波长的等相位面看成一种线族,干涉条纹就是
这种线族产生的莫尔条纹.因此,干涉现象可以用莫尔条纹来模拟,这时莫尔条
纹就等价于干涉条纹。
d
d m
由于光栅的移动与莫尔条纹的移动是同步的,如果测出莫尔
条纹移动的数量为n,被测长度 l 就等于光栅的移动量,即
l =nd
计量光栅的栅距一般都很小,因此测量精度可以达到很高. 在对莫尔条纹计数时,利用电子处理技术中对条纹的细分处 理,可以准确到一个条纹的若干分之一,这又进一步提高了测 量精度.
P197
m1 0 1
23
等差线
1
q0
x
-1
-2 p1 2 3 4 5 6
m2 0 1 23
等和线
两块光栅的透过率为
T1( x,
y)
1 2
1
cos 2
1 x
1
y
1
cos d
T2( x,
y)
1 2
1
cos 2
2 x
2
y
2
cos d
1
sin d
2
sin d
T1( x,
y)
1 2
1
cos 2
7.1莫尔现象的基本规律
一、莫尔条纹的形成
考虑两块一维的余弦光栅相叠合的情况，假设两块光栅在x 方向上的周期分别为d1和d2，或空间频率为
其透射率可记为
1
1 d1
2
1 d2
T1 (
x)
1 2
1
cos(21 x)
T2 ( x)
1 2
1
cos(2
2
x)
当用单位强度的平面波照射这样两块重叠的光栅时，其透射 的强度为
d
平行于y轴的一族直线 平行于x轴的一族直线
对于一般的条纹图形，如果两组初级条纹的方程已知，就很容易 求出次级条纹的方程。设初级条纹方程为
F1( x, y, z) m1
F2( x, y, z) m2
则次级等和条纹与等差条纹方程为
F1( x, y, z) F2( x, y, z) p
F1( x, y, z) F2( x, y, z) q
7.4 莫尔轮廓术
莫尔轮廓术（又称莫尔等高法）是一种非接触的三维物体面 形测量方法。1970年，H.Takasaki首次提出这种三维面形测量 方法。现在，莫尔轮廓术已发展成为一种计量新技术，其基本 原理 是利用一个基准光栅与投影到三维物体表面上并受到表面 高度调制的变形光栅叠合形成莫尔条纹。莫尔条纹等高线计量 是一种非接触的三维测量，特别适合于医学上的人体检测，以 及汽车等的立体曲面测量。