第七章莫尔条纹

t)
m1
m2
2
v1 d1
t
q
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
m1 m2
等和条纹以二倍条纹速度移动，而等差条纹保持不变。
因此，同时移动两块光栅将使等和线由于对时间的平均作用而
平滑 ，容易将等差线单独分离出来，只看到等差线。一般说
来，莫尔条纹都是指等差条纹。
当 v1 v2
d1 d2
即条纹序数的变化速度相同时，有
查阅莫尔现象 及其应用文献
第七章 莫尔现象及其应用
莫尔一词来自法文的“Moire”,其原来的含义是波动 的，或起波纹的。在古代，人们就已经发现当两块薄 的丝绸织物叠在一起时，可以看到一种不规则的花纹 。后来人们将两组条纹叠加在一起所产生的图形称为 莫尔条纹。现在莫尔条纹广泛用于科学研究和工程技 术之中，莫尔条纹作为精密计量手段可用于测角、测 长、测振等领域。从70年代开始，莫尔条纹又广泛用 于三维物体的表面轮廓测量。
二、全息与莫尔
由于全息现象和莫尔现象之间存在某些共同之处,所以它们也具有一些 相似的规律.
例如,在莫尔现象中两个动态的光栅可以产生一组静态的莫尔条纹; 而在全 息术中,两个行波产生一个驻波,驻波条纹就是全息图.一个行波与一个驻波 条纹相遇产生另一个行波,这就是全息图的再现。
白光照明
乳胶
片基 参考光
m1 x1 m2 x2
dm1 dt
dx dt
1
v1 d1
dm2 dt
dx dt
2
v2 d2
T1( x)
1 1
2
cos21( x0
v1t )
1 1
2
cos2 (m1
1v1t )
1 2
1
cos2 (m1
v1 d1
s2
2
(
x0
v2t )
1 2
1
cos2
(
下面以两组等间距的同心圆为例，说明如何通过初级条纹方程
求出次级条纹方程。设两组同心圆间距为a，中心相距为2l,则初
级条纹的方程为
( x l )2 y2 (m1a)2 (x l)2 y2 (m2a)2
代入序数方程得等和线方程和等差线方程
x2
y2
1
ap ap l 2
2 2
x2
y2
7.4 莫尔轮廓术
莫尔轮廓术（又称莫尔等高法）是一种非接触的三维物体面 形测量方法。1970年，H.Takasaki首次提出这种三维面形测量 方法。现在，莫尔轮廓术已发展成为一种计量新技术，其基本 原理 是利用一个基准光栅与投影到三维物体表面上并受到表面 高度调制的变形光栅叠合形成莫尔条纹。莫尔条纹等高线计量 是一种非接触的三维测量，特别适合于医学上的人体检测，以 及汽车等的立体曲面测量。
7.1莫尔现象的基本规律
一、莫尔条纹的形成
考虑两块一维的余弦光栅相叠合的情况，假设两块光栅在x 方向上的周期分别为d1和d2，或空间频率为
其透射率可记为
1
1 d1
2
1 d2
T1 (
x)
1 2
1
cos(21 x)
T2 ( x)
1 2
1
cos(2
2
x)
当用单位强度的平面波照射这样两块重叠的光栅时，其透射 的强度为
而在双曝光全息干涉图中表示位移、变形、振动或折射率变 化的粗条纹均是二级条纹.由于莫尔图形和全息干涉图形都 是二级条纹,可以有理由认为,这两种现象之间存在某些有用 的相似性.我们既可以将全息干涉图形看成再现的原始波面 与变形波面干涉的结果,也可以理解为是两次曝光所形成的 两组全息图形所产生的莫尔现象。
这一特点可以用于制作计量光栅。
由前面知道，两块光栅叠合时，其等差条纹为
2 y sin q
d
当两光栅刻线之间的夹角很小时，设 2sin 2 则
y dq 因为很小，莫尔条纹间距 d d
因此对位移具有明显的放大作用。
7.2干涉、全息与莫尔现象
一、 干涉条纹的莫尔模拟
如果将一相干平面波分成两束,并使两光束以某一角度相交,这样就可以产
如果用以A为球心的同心球面表示向外传播的球面波阵面,而用以B为球 心的同心球面表示向内传播的球面波阵面,则椭球面,在空间保持静止,而 双曲面以kb的速度做横向运动.最后,如果光束向A,B会聚,则静止的干涉曲 面成为一组双曲面.
对于复杂波面的两列相干光波的叠加,光波的干涉条纹与两列光波的等相 位面构成的线族所形成的莫尔条纹 具有同样的规律。
设光栅线条的序数为m,则有
x md
x
m x x
d
d
m, x
T1( x)
1 2
1
cos
(2
1
x
)
1 2
1
cos(2m1 )
T2( x)
1 2
1
cos
(2
2
x
)
1 1
2
cos(2m2 )
T(
x)
T1 (
x)T2
(x)
1 2
1
cos(2m1
)
1 2
1
cos
(2m
2
)
1 4
1
cos(2m1
)
1
ap ap l 2
2 2
等和线方程：椭圆 等差线方程：双曲线
P198莫尔条纹图
二、莫尔条纹的基本性质
两块初级条纹光栅叠合后，在透射光场中最重要的两项是 等和条纹和等差条纹，它们具有以下几个特点：
（1）如果两块光栅同时移动，并且保持m1和m2的变化速度 相 同，即单位时间内移过的条纹数相同，则等和条纹将以 二倍的速度运动，而等差条纹将保持不动。 假定相对空间坐标第一块光栅的移动速度为v1，第二块光栅 移动速度为v2，则条纹移动速度可由下式求得
二 、用于应力应变测量P203
上图给出了一个用莫尔条纹法进行应力分析的实例.图 (a)是吊钩试件,在 试件A-A剖面处贴上50线/mm的试件光栅.在试件加载前,将基准光栅(50 线/mm)重叠在试件光栅上,基准栅线与试件栅线之间有一小的夹角,则得 到空载时的莫尔条纹图,如图 (b)所示.加载后,试件栅与试件一起变形,而 基准栅保持不变(可适当调整基准栅的方向,使莫尔条纹便于计量),得到加 载后的莫尔条纹,如图 (c)所示.由试件受力情况和莫尔条纹图形,就可以计 算出应力分布.
一、阴影莫尔法
h2
2dh l 2d
图7.4.1阴影莫尔等高原理图
一、阴影莫尔法
将基准光栅放置在物体的上面,用光源照明,在物体表面形 成阴影光栅,阴影光栅受到物体表面高度的调制发生变形.如 果从另一方向透过基准光栅观察物体时,基准光栅与变形的 阴影光栅重叠形成莫尔条纹.图7.4.1给出了这种方法的原理. 图中S是照明点光源,P是观察系统入瞳中心,基准光栅的周期 为d.透过基准光栅的照射光线用从S点发出的实线族表示,透 过光栅的观察光线用会聚于P点的虚线族表示,两族线在物体
cos(2m2
)
1 2
cos
2
(m1
m2
)
1 2
cos
2
(m1
m2
)
p (m1 m2 ) q (m1 m2 )
对应的条纹称等和条纹 对应的条纹称等差条纹
序数方程
考虑下面两块周期相同光栅的叠合产生的条纹
m1 0 1
23
等差线
1
q0
x
-1
-2
p1 2 3 4 5 6
m2 0 1 23
等和线
P197
m1 0 1
23
等差线
1
q0
x
-1
-2 p1 2 3 4 5 6
m2 0 1 23
等和线
两块光栅的透过率为
T1( x,
y)
1 2
1
cos 2
1 x
1
y
1
cos d
T2( x,
y)
1 2
1
cos 2
2 x
2
y
2
cos d
1
sin d
2
sin d
T1( x,
y)
1 2
1
cos 2
生干涉条纹,下图示出了这种现象的莫尔模拟.两光束分别由A射向D和由B射 向C, 波阵面由间距相等并与光束方向垂直的各直线表示,一条暗线加一条亮
线代表一个波长.如果把间距为波长的等相位面看成一种线族,干涉条纹就是
这种线族产生的莫尔条纹.因此,干涉现象可以用莫尔条纹来模拟,这时莫尔条
纹就等价于干涉条纹。
m2
2v2t)
1 2
1
cos2
(m2
v2 d2
t )
T ( x) T1 ( x)T2 ( x)
其中等和条纹和等差条纹的序数方程为
p
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
q
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
当 v1 v2
d1 d2
即条纹序数的变化速度相同时，有
p
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
上述二项在同一方向传播，将产生干涉，干涉条纹的强度分布为
It (x,
y)
UtUt
O0
2
2r0
4
c2
2 r02c cos(0
0 )
其中 c tb O02
只要记录时参考角选择适当，其它各项衍射光波不会影响干涉场的观察。 当物体表面变化时，干涉图随之变化，因而可以实时地研究物体在不同时 刻下的状态，观察到所谓的“活”的条纹。也可以更换被测物体，所以又 称为实时法。这种方法的缺点是全息图的复位误差以及照相乳胶的绉缩都 会使再现的标准波前引入误差，影响测量精度。由于相干涉的两束光的振 幅不大相同，干涉条纹的对比度不好。
单色反射光
物
虚像
白光照明
单色反射光 实像
三、全息干涉条纹的莫尔模拟
任何两组条纹，把它们结合在一起若能产生一组新的条 纹，则原有的两组条纹就称为初级条纹，新的一组条纹 就称为二级条纹。两组二级条纹结合在一起,又可能产生 另一组新的条纹,称为三级条纹,等等.
在全息干涉计量中（参见下面），我们在同一张全息 图记录了两组干涉条纹,一组是原始波面参考光干涉形成 的条纹,另一组是第二次曝光时所记录的变形波面与参考 光干涉形成的条纹.这两组能再现原始波面和变形波面的 条纹是初级条纹.
2
A
C
2
B
D
如果考虑相距 l 的两个相干点源产生的两组球面波的干涉,其干涉条纹 可用以相距l 的A,B两点为圆心的两组等间距圆产生的莫尔条纹来模拟.这
时,等和条纹是椭圆,等差条纹是双曲线.在三维情况下,圆变成了球面,椭圆 变成了椭球面,双曲线变成了双曲面.
如果用以A,B为球心的球面来表示从两个相干光源向外移动的光波波阵 面,则双曲面在空间保持静止,然而椭球面将以kc的速度向外运动(c是光速 ,K是一个与该点空间位置有关的一个常量。
x cos
d
y sin
T2( x,
y)
1 2
1
cos 2
x cos
d
y sin
两块光栅的线条方程
x cos y sin
d
m1
x cos
d
y sin
m2
将两块光栅叠合，用单位强度的平面波连续通过这块光栅，
其透射光场中的等和条纹方程和等差条纹方程分别为
2x cos p
d
2 y sin q
7.3 莫尔计量术
将两块相近的光栅重叠时,能产生莫尔条纹.由于莫尔条纹 的特殊性质,莫尔计量方法在长度、角度、振动、变形等测 量中得到广泛的应用,成为现代光学计量领域中的一种重要 方法.
一、长度的测量
在长度计量中，通常采用两块栅距相等，栅线夹角为的 光栅重叠，其中一块是固定的，另一块是可移动的。当一 块光栅移动一个栅距时，莫尔条纹移动一个节距。当两光 栅刻线之间的夹角很小时，莫尔条纹的节距为
T(x)
T1( x)T2( x)
1 2
1
cos(2 2
x)
1 2
1
cos
(2
1
x)
1 4
1
cos(21 x)
cos(2 2 x)
cos(21 x)cos(2 2 x)
1 4
1
cos(21 x)
cos(2 2 x)
1 2
cos
2
(1
2 )x
1 2
cos
2
(1
2
)
x
在大多数应用中，两块光栅的频率是较接近的，因而上述 第五项具有较低的空间频率。我们可以采用空间滤波等方 法，容易地将差频从其它各项中分离出来。而差频项常常 携带了我们感兴趣的信息，这也是人们广泛应用莫尔现象 的重要原因之一。
照明光
Ut
物体 照明光
全息图
在各项透射光波中，我们关心的是
Ut ( x, y) O0r02 exp( j0 ) (tb O02 )O0 exp( j0)
O0r02 exp( j0 )
原参考光波再现的原始标准波，在原位 置产生一个虚像。
(tb O02 )O0 exp( j0)
物体由于加热、加载等因素产生微小 位移或变形后的光波前（假定振幅不 变），它在通过全息图受到衰减。
p
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
m1
m2
2
v1 d1
t
q
(m1
v1 d1
t
m2
v2 d2
t)
m1
m2
（2）如果两个光栅之一移动，则等和条纹和等差条纹均发生
移动，而且这种移动是完全同步的。也就是说，当光栅移动
一个条纹时，等和条纹和等差条纹也各自移动一个条纹。由
于光栅条纹间距与等和或等差条纹的间距是完全不相同的，
d
d m
由于光栅的移动与莫尔条纹的移动是同步的,如果测出莫尔
条纹移动的数量为n,被测长度 l 就等于光栅的移动量,即
l =nd
计量光栅的栅距一般都很小,因此测量精度可以达到很高. 在对莫尔条纹计数时,利用电子处理技术中对条纹的细分处 理,可以准确到一个条纹的若干分之一,这又进一步提高了测 量精度.
d
平行于y轴的一族直线 平行于x轴的一族直线
对于一般的条纹图形，如果两组初级条纹的方程已知，就很容易 求出次级条纹的方程。设初级条纹方程为
F1( x, y, z) m1
F2( x, y, z) m2
则次级等和条纹与等差条纹方程为
F1( x, y, z) F2( x, y, z) p
F1( x, y, z) F2( x, y, z) q