两平面垂直的判定方法

在三维空间中，平面是我们经常接触到的一种基本几何图形，而判断两个平面是否垂直则是几何学中的一个基本问题。本文将介绍几种判断两平面垂直的方法。

方法一：向量法

向量法是判断两个平面垂直的一种常用方法，其基本思想是通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。具体做法如下：

1. 分别求出两个平面的法向量，记为n1和n2；

2. 计算n1与n2的点积，若点积等于0，则两个平面垂直。

点积等于0表明两个向量垂直，因此两个平面也垂直。需要注意的是，如果两个平面交于一条直线，则它们不垂直。

方法二：法向量法

法向量法是一种比较直观的方法，其基本思想是通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。具体做法如下：

1. 分别求出两个平面的法向量，记为n1和n2；

2. 求n1与n2的内积，若内积等于0，则两个平面垂直。

内积等于0表明两个向量垂直，因此两个平面也垂直。需要注意的是，如果两个平面交于一条直线，则它们不垂直。

方法三：截距法

截距法是一种比较简单的方法，其基本思想是通过两个平面的截距来判断它们是否垂直。具体做法如下：

1. 分别求出两个平面的截距，记为a1、b1、c1和a2、b2、c2；

2. 求a1a2+b1b2+c1c2的值，若该值等于0，则两个平面垂直。

需要注意的是，在使用截距法时，要保证两个平面不平行，否则无法判断它们是否垂直。

方法四：交线法

交线法是一种比较直观的方法，其基本思想是通过两个平面的交线来判断它们是否垂直。具体做法如下：

1. 分别求出两个平面的交线；

2. 求出这两条直线的夹角，若夹角等于90度，则两个平面垂直。

需要注意的是，在使用交线法时，要保证两个平面不平行，否则无法判断它们是否垂直。

综上所述，判断两个平面是否垂直有多种方法，其中向量法、法向量法、截距法和交线法是比较常用的方法。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来判断两个平面是否垂直。

证明两个平面垂直的条件

证明两个平面垂直的条件证明两个平面垂直的条件在空间几何中，平面是一个基本的概念。平面由无数个点组成，可以用向量、点、法线等多种方式表示。平面可以相互平行、相互垂直，这些关系都有着重要的意义。本文将探讨一下如何证明两个平面垂直的条件。一、两个平面垂直的定义在空间几何中，两个平面垂直可以解释为：两个平面的法线互相垂直。即两个平面所包含的直线互相垂直，则可称之为两个平面垂直。这是飞利浦公理中的基本假设之一。需要注意的是，两个不平行的平面可能会形成一条直线，这条直线称为二者的交线。如果两个平面的交线和两个平面的法线之一垂直，我们认为这两个平面垂直。二、垂直平面的性质 1.相互平行的平面垂直于同一直线如果两个平面相互平行，则垂直于其中一面的法线同时也会垂直于第二个平面，因此这两个平面垂直于同一条直线。 2.连接两个平面交线上任意一点的直线垂直于两个平面

当两个不平行的平面相交时，它们会在一条直线上相遇。我们可以通过连接这个交线上的任意一个点，然后确定一个垂直于两个平面的向量，这个向量同时也是这个点的法线。如果这个向量垂直于直线，则两个平面垂直。三、证明两个平面垂直的条件 1.使用向量去证明两个平面垂直，则它们的法线也垂直。我们可以通过向量的点积计算它们的法线是否垂直。设两个平面的法线分别为 a 和 b ，则两个平面垂直的条件为： a·b=0 其中，·表示向量的点积。例如，已知平面 P ：ax+by+cz=d 和平面 Q ： lx+my+nz=p ，它们的法线向量分别为 a =(a,b,c) 和 b =(l,m,n)。这两个向量垂直当且仅当： a·b=0 即 a·b=al+bm+cn=0 这是一个简单的线性方程组，可以运用高中代数的方法解出。如果解出的结果为 0 ，那么两个平面垂直。 2.使用距离公式去证明另一种证明两个平面垂直的方法是采用距离公式。首先，我们可以定义两个平面分别为 P ：ax+by+cz=d 和

两个平面垂直

两个平面垂直 1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面． 4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°．求证：平面ABC ⊥平面BSC ．证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ； ⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小．证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ，又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB (2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60° 例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求： (1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角．答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10 3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点．（1）证明：平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值．（1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°， ∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ． ∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ， ∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ． C A S D B A S B C

平面与平面垂直的性质和判定

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的判定方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是 ②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥ 平面与平面垂直的性质一、选择题： 1、下列命题中，不正确的是（） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论： ①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。其中真命题是：（） A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 8 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题： ①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（） A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）

面面垂直的判定定理公式

面面垂直的判定定理公式定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β 证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β ∵a⊂α，P∈a ∴P∈α 即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点 ∴P∈b 过P在β内作c⊥b ∵b⊂β，a⊥β ∴a⊥b，垂足为P 又c⊥b，垂足为P ∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角 ∵c⊂β ∴a⊥c，即∠aPc=90° 根据面面垂直的定义，α⊥β 扩展资料：

性质定理：定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α 求证：OP⊥β。证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。 ∵α⊥β ∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β ∴OP⊥β 定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB⊂α 证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）当A在α和β的交线外时，则B是垂足

∵AB⊥β于B ∴B∈β 设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α 连接AC ∵AC⊂α ∴AC⊥BC 但AB⊥β，BC⊂β ∴AB⊥BC 即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。当A在α和β的交线上时，A是垂足。设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β 但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾 ∴假设不成立，AB⊂α 定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ 证明：设α∩γ=a，β∩γ=b

平面与平面的垂直判定

平面与平面垂直的判定 [新知初探] 1．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q. (2)二面角的平面角： ①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． ②直二面角：平面角是直角的二面角． [点睛]二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 2．平面与平面垂直 (1)面面垂直的定义 ①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法：记作：α⊥β. (2)两平面垂直的判定定理： ①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． ②图形语言：如图． ③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β. [点睛]定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直() (2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°()

答案：(1)√(2)√ 2．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是() A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 答案：D 3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C. 面面垂直的判定 [典例]如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE ＝2DF，AE⊥EC. 证明：平面AEC⊥平面AFC. [证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝ 2 2. 在Rt△FDG中，可得FG＝ 6 2. 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝ 2 2，可得EF＝32 2. 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC. 因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.

平面与平面垂直的判定定理

2023年度：平面与平面垂直的判定定理一、定义在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。二、定理两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。证明：设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。则有： cosα = n1·n2 / |n1||n2| 其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。当两个平面垂直时，α=90°，则有：

cos90°=0 即： n1·n2 = 0 即两个平面的法向量互相垂直。反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0 即： cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0 即两个平面的夹角为90度，证毕。三、应用该定理可以用来解决以下问题：

1. 判断两个平面是否垂直。给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。 2. 求两个平面的交线。对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。 3. 求一个平面在另一个平面上的投影。将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。 4. 计算两个平面的夹角。给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。总结

1. 本文档所涉及简要注释如下： - 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。 - 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。 - 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。 2. 本文档所涉及的法律名词及注释： - 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。 - 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。 - 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。 - 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。 3. 本文档执行过程中可能出现的纠纷问题及解决方案： 1. 如何处理平面法向量计算错误的问题？解决方案：应当检查计算步骤是否正确，如有必要可以请数学专业人员协助。 2. 如何处理平面的法向量不唯一的问题？解决方案：应当通过平面上的一些确定点来求解法向量，确保法向量的唯一性。 3. 如何处理平面交线不存在的问题？解决方案：如果两个平面不相交，则它们没有交线。 4. 如何处理平面交线无限延长的问题？

线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系 1线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ___________________________ ，那么这条直线垂直于这个平面。推理模式： _______________________ 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 ________ 。 2. 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 ______________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直) 如果 ____________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。推理模式： _______________________ 两平面垂直的性质定理：(面面垂直线面垂直) 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ___________ 的直线垂直于另一个平面。一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明. 例题：1.如图，AB 是圆0的直径，C 是圆周上一点，P 从平面ABC (1) 求证：平面 PACL 平面PBC (2) 若D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 2、如图，棱柱ABC A1BC 1的侧面BCC i B i 是菱形，BC AB 证明：平面AB i C 平面ABC i 3、如图所示，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1 AA=2, M 是棱CC 的中点 (I)求异面直线AM 和GD 所成的角的正切值； (U)证明：平面ABML 平面A 1B 1M 4、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA 平面ABC 若AE L PC ，E 为垂足，F 是PB 上任意一点，求证：平面 AEF L 平面PBC 5、如图，直三棱柱 ABC — A B1C 1 中，AC = BC = 1，/ ACB = 90°，AA = ?- 2 ， D 是A 1B 1中点.(1)求证GD 丄平面A 1B ； (2)当点F 在BB 上什么位置时，会使为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,

两平面垂直的判定方法

两平面垂直的判定方法在三维空间中，平面是我们经常接触到的一种基本几何图形，而判断两个平面是否垂直则是几何学中的一个基本问题。本文将介绍几种判断两平面垂直的方法。方法一：向量法向量法是判断两个平面垂直的一种常用方法，其基本思想是通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的法向量，记为n1和n2； 2. 计算n1与n2的点积，若点积等于0，则两个平面垂直。点积等于0表明两个向量垂直，因此两个平面也垂直。需要注意的是，如果两个平面交于一条直线，则它们不垂直。方法二：法向量法法向量法是一种比较直观的方法，其基本思想是通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的法向量，记为n1和n2； 2. 求n1与n2的内积，若内积等于0，则两个平面垂直。内积等于0表明两个向量垂直，因此两个平面也垂直。需要注意的是，如果两个平面交于一条直线，则它们不垂直。方法三：截距法截距法是一种比较简单的方法，其基本思想是通过两个平面的截距来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的截距，记为a1、b1、c1和a2、b2、c2；

2. 求a1a2+b1b2+c1c2的值，若该值等于0，则两个平面垂直。需要注意的是，在使用截距法时，要保证两个平面不平行，否则无法判断它们是否垂直。方法四：交线法交线法是一种比较直观的方法，其基本思想是通过两个平面的交线来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的交线； 2. 求出这两条直线的夹角，若夹角等于90度，则两个平面垂直。需要注意的是，在使用交线法时，要保证两个平面不平行，否则无法判断它们是否垂直。综上所述，判断两个平面是否垂直有多种方法，其中向量法、法向量法、截距法和交线法是比较常用的方法。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来判断两个平面是否垂直。

面面垂直的判定5个条件

面面垂直的判定5个条件一、引言在几何学中，垂直是一个重要的概念。当平面或直线与另一平面或直线垂直时，它们被称为面面垂直或线面垂直。面面垂直的判断条件可以帮助我们解决几何学问题，并深入理解空间中不同几何对象之间的关系。二、面面垂直的定义面面垂直是指两个平面之间的垂直关系。当两个平面的法线向量垂直时，这两个平面被认为是面面垂直的。两个平面的法线向量的点积为0时，即可判定两个平面垂直。三、面面垂直的判定条件判定两个平面是否面面垂直，我们可以根据以下五个条件进行判断： 1.条件一：两个平面互相垂直的法线向量 –按一定方法找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量之间的点积； –若点积为0，则两个平面面面垂直。 2.条件二：直线与平面垂直的法线向量 –首先找出直线上的两个点； –找出直线的方向向量； –找出所给平面的法线向量； –计算直线的方向向量和平面的法线向量的点积； –若点积为0，则直线与平面垂直。 3.条件三：两个平面的法线与直线垂直 –首先找出直线上的一点； –找出直线的方向向量； –找出两个平面的法线向量； –分别计算直线的方向向量和两个平面法线向量的点积； –若两个点积都为0，则两个平面的法线与直线垂直。 4.条件四：两个平面的夹角为直角

–找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量的点积； –若点积为0，则两个平面的夹角为直角。 5.条件五：两个垂直平面的公共直线 –找出两个平面的法线向量； –求解两个法线向量的向量积，得到一条直线； –若该直线与两个平面都相交，则该直线为两个平面的公共直线，两个平面是垂直的。四、面面垂直的应用举例面面垂直的判断条件在几何学中有广泛的应用。下面将举例说明面面垂直的应用场景： 1.平面几何中的垂足定理在平面直角坐标系中，平面上的一个点到直线的距离最短当且仅当从该点到直线上的垂线段垂直于直线。 2.空间几何中的曲面垂直在三维空间中，两个曲面在某一点处的法线向量垂直，可以判定这两个曲面在该点处垂直。例如，球面和切平面在切点处垂直。 3.物理学中的力分析在物理学中，垂直方向的力可以分解为水平和垂直的力。通过判断两个力的方向是否垂直，可以更好地分析力的作用效果。 4.工程学中的三维模型重叠检测在工程学中，判定两个三维模型是否重叠是一个重要的问题。通过对两个模型的各个面进行面面垂直的判断，可以快速而准确地检测模型是否存在重叠。结论面面垂直是几何学中的一个重要概念，通过判定两个平面是否垂直，我们可以解决许多几何学问题。使用面面垂直的判定条件，我们可以确定平面与平面、直线与平面、平面与直线、平面与曲面之间的垂直关系。面面垂直的判断条件在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。通过深入理解面面垂直的概念和判定条件，我们可以更好地解决几何学问题，并且应用到实际生活中的工程和物理问题中。

平面垂直的判定及其性质

立体几何综合复习一、直线与平面垂直 1．定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直数学描述：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a b P =⇒l⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行数学描述：a b α α ⊥⎫ ⎬ ⊥⎭ ⇒a b ∥ 4．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．π [0,] 2 .

5．常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、平面与平面垂直 1．定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ ⊥. 2．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面垂直图形语言符号语言l⊥α，lβ ⊂⇒α⊥β 作用判断两平面垂直 3．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行图形语言 =l a a a l αβ αβ βα ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ ⎬ ⊂⎪ ⎪ ⊥⎭ ⊥ ⊥

两个平面垂直的定义(精)

1，两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. 2. 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 已知：直线ABu平面。，AB丄平面.，垂足为B =面面垂直） 3. 两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面• 已知：a 丄P ,a “0 = CD, ABU a , AB 丄CD

于点B , 求证：AB ~.（面面垂直=线面垂直）证明：在：内过B作BE - CD ,则由题意得ABE是-0^ 的平面角， ••• 知AB BE , 又••• AB- CD , ••• AB- 例1 .如图，已知AB是圆0的直径，PA 垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任一点，求证：平面PAC -平面PBC . . a f] P = o a丄了0 丄？ z r

例2.已知I I a, ，，求证：a . 例3.已知在一个60的二面角的棱长有两点A,B , AC,BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ,又知 AB = 4cm, AC = 6cm, BD = 8cm ，求 CD 的长. : ------------ •、［练习］ 1 .已知二面角：，点P 到 / , 1的距离分别为222, 4,472，求二面角的大小.

2、如图，正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线，分别交 AB、AC 于B1、C i .将AB1C1 沿 B i C i折起到°A i B i C i的位置，使点 A在平面BB i C i C上的射影恰是线段BC 的中点M .求：二面角 A i ~ Bi C i「M的大小 3、如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6 , PC=AB=10 , AC=8 , PB= 2\ 34 .F 是线段PB 上一点，CF = 、34, 点E在线段AB上，且EF丄PB.( (I)证明：平面PBC丄平面CEF ; j (n)求二面角B—CE —F 八—^K 的大小.