高等代数论文

有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论

聂晓柳

(数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏)

摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向.

关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性

Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future.

Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility

0、符号说明及引言

幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明.

用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。假设,n n

m

A C

A A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设

2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。假设

,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =,

m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦,

m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵；

,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位

子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍.

Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献

[1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵

的换位子的秩等式. 左可正在文献[2]中分别得出了幂等矩阵的换位子与对合矩阵的换位子的可逆性的等价条件,至此根本上很少人涉及过幂等矩阵P 和对合矩阵A 的差P A -，和P A +，

换位子PA AP -的秩等式，及其可逆性等一些相关性质. 本文就从这里开始研究,因为研究换位子的秩等式有很强的概括性，当()0r AB BA -=，那么说明AB BA =，说明它们

可以同时对角化；假设()r AB BA n -=，那么说明换位子AB BA -两条研究思路：①“求同存异〞，即把不同的两类矩阵化成同一类矩阵，从而便于研究讨论，在此利用根本工具对对合矩阵和幂等矩阵进行相互转化；②直接考虑一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和，换位子的秩等式，利用分块矩阵的高斯消元法直接进行研究讨论.文章在第三局部还对研究内容进行了延伸，讨论了其它几种特殊类型的矩阵换位子的相应性质,并提出了以后的研究方向.

1、预备定理

我们首先引入本论文用到的根本工具: 引理 1 (见[20],200P ),n n A B C ⨯∈,如果

1

(),2A B E =+那么2A A =当且仅当2B E =.

引理 2 ,n n A B C ⨯∈,如果1

(),2A E B =-那么

2A A =当且仅当2B E =. 证明 ""⇒的证明

由

22211

()(2)

44

A E

B E B B =-=-+,

1

(),2

A E

B =-且2A A =,那么当且仅当2B E

=时才成立. ""⇐的证明

由1

(),2

A E

B =-得2B E A =-,那么

222(2)44B E A E A A E =-=-+=,那么当且

仅当2A A =成立时才可以. 引理 3 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q E P =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.

证明 ""⇒的证明

222(2)44Q E P E P P E =-=-+=当且仅当2P P =成立.

""⇐的证明

由2Q E P =-,得1

()2P E Q =-,由

2211

(2),(),

42

P E Q Q P E Q =-+=-根

据

2P P =,得到2Q E =.

引理 4 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q P E =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.

证明 与引理3的证明类似,因此在此省略.

引理 5 (见[1],103P ) 假设,,n n

P Q C

⨯∈且都为幂等矩阵,那么有

(,)()(),r P Q r P r Q PQ =+- () (,)()()r P Q r Q r P QP =+- () ()()P r r P r Q QP Q ⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

() ()()P r r Q r P PQ Q ⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

() 引理6 〔见[1]〕 设P ，Q 是复数域上的两个

n 阶幂等矩阵，那么有以下秩等式:

()

(,)()()

r P Q P r r P Q r P r Q Q -⎛⎫

=+-- ⎪⎝⎭

()

()()r P PQ r PQ Q =-+- () ()()r P QP r QP Q =-+- ()

引理7 (见[1]，推论)假设,,n n P Q C ⨯∈且都为幂等矩阵,那么有以下秩等式:

()r E P Q --()()()()r PQ r QP r P r Q n =+--+

)