高等代数论文

有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论
聂晓柳
(数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏)
摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向.
关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性
Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future.
Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility
0、符号说明及引言
幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明.
用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。

假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。

设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。

假设,n n
m
A C
A A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设
2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。

假设
,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =,
m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦,
m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。

假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵；
,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位
子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍.
Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献
[1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵
的换位子的秩等式. 左可正在文献[2]中分别得出了幂等矩阵的换位子与对合矩阵的换位子的可逆性的等价条件,至此根本上很少人涉及过幂等矩阵P 和对合矩阵A 的差P A -，和P A +，
换位子PA AP -的秩等式，及其可逆性等一些相关性质. 本文就从这里开始研究,因为研究换位子的秩等式有很强的概括性，当()0r AB BA -=，那么说明AB BA =，说明它们
可以同时对角化；假设()r AB BA n -=，那么说明换位子AB BA -两条研究思路：①“求同存异〞，即把不同的两类矩阵化成同一类矩阵，从而便于研究讨论，在此利用根本工具对对合矩阵和幂等矩阵进行相互转化；②直接考虑一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和，换位子的秩等式，利用分块矩阵的高斯消元法直接进行研究讨论.文章在第三局部还对研究内容进行了延伸，讨论了其它几种特殊类型的矩阵换位子的相应性质,并提出了以后的研究方向.
1、预备定理
我们首先引入本论文用到的根本工具: 引理 1 (见[20],200P ),n n A B C ⨯∈,如果
1
(),2A B E =+那么2A A =当且仅当2B E =.
引理 2 ,n n A B C ⨯∈,如果1
(),2A E B =-那么
2A A =当且仅当2B E =. 证明 ""⇒的证明
由
22211
()(2)
44
A E
B E B B =-=-+,
1
(),2
A E
B =-且2A A =,那么当且仅当2B E
=时才成立. ""⇐的证明
由1
(),2
A E
B =-得2B E A =-,那么
222(2)44B E A E A A E =-=-+=,那么当且
仅当2A A =成立时才可以. 引理 3 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q E P =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.
证明 ""⇒的证明
222(2)44Q E P E P P E =-=-+=当且仅当2P P =成立.
""⇐的证明
由2Q E P =-,得1
()2P E Q =-,由
2211
(2),(),
42
P E Q Q P E Q =-+=-根
据
2P P =,得到2Q E =.
引理 4 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q P E =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.
证明 与引理3的证明类似,因此在此省略.
引理 5 (见[1],103P ) 假设,,n n
P Q C
⨯∈且都为幂等矩阵,那么有
(,)()(),r P Q r P r Q PQ =+- () (,)()()r P Q r Q r P QP =+- () ()()P r r P r Q QP Q ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
() ()()P r r Q r P PQ Q ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
() 引理6 〔见[1]〕 设P ，Q 是复数域上的两个
n 阶幂等矩阵，那么有以下秩等式:
()
(,)()()
r P Q P r r P Q r P r Q Q -⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
()
()()r P PQ r PQ Q =-+- () ()()r P QP r QP Q =-+- ()
引理7 (见[1]，推论)假设,,n n P Q C ⨯∈且都为幂等矩阵,那么有以下秩等式:
()r E P Q --()()()()r PQ r QP r P r Q n =+--+
)
()()r E P Q PQ r PQ =--++ ) ()()r E P Q QP r QP =--++ )
更进一步,有
()0a P Q E PQ QP +=⇔==且
()()()r P Q r P r Q n +=+=
()b E P Q --是非奇异的当且仅当 ()()()()r PQ r QP r P r Q ===.
引理8 (见[1],定理) 设m n A C ⨯∈且是任意选取的,,,m m n n P C Q C ⨯⨯∈∈且22,P P Q Q ==,那么
()r PA AQ -(,)()()PA r r AQ P r P r Q Q ⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
)
()()r PA PAQ r PAQ AQ =-+- ) 假设0PAQ =，那么
()r PA AQ -()()r PA r AQ =+ . ) 引理9 (见[1],推论2.20),P Q 是复数域上n 阶幂等矩阵，那么
[](),2()PQ r PQ QP r r QP P r P P ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦
)
[],2()QP r r PQ Q r Q Q ⎡⎤
=+-⎢⎥⎣⎦ )
()()r PQ PQP r PQP QP =-+-)()()r QP QPQ r QPQ PQ =-+- )
()r QP PQ =-. 引理10 (见[1],定理2.11) ,P Q 是复数域上n 阶幂等矩阵，那么PQ QP +和满足以下4个秩等式: ()()()r PQ QP r P Q r E P Q n +=++---
) ()()()()()r P Q r PQ r QP r P r Q =+++--
)
()()()()r P PQ QP QPQ r PQ r QP r P =--+++-
() ()()()()
r Q PQ QP PQP r PQ r QP r Q =--+++- )
引理11 (见[1],110P ] ),P Q 都是
S -矩阵,,μλ是复数域上任意的数,那么有以下秩等式成立: []()
,()()r P Q P r r P Q r P r Q Q μλ-⎡⎤
=+--⎢⎥⎣⎦ ) ()()0P Q r P Q r r Q Q μλ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
()0Q P r r P P ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭ )
()
()()()()r E P Q r PQ r QP r P r Q λμμλ--=+-- )
()
()()r PQ QP r P Q r E P Q n
μλλμμλ-=-+---
) ()
()()r PQ QP r P Q r E P Q n
μλλμμλ+=++---
) 引理12 (见[11],499P ) 设A 为n 阶矩阵，
()r A r =,那么A 为幂等矩阵的充要条件是存
在可逆矩阵T ,使000r E A T T -⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 引理13 (见[11],504P ) 设A 为n 阶矩阵，那
么下面三个命题是等价的： 1〕2A E =；
2〕存在可逆矩阵T ，使得1
00r n r E T AT E --⎛⎫= ⎪-⎝⎭；
3〕()()r E A r E A n -++= 2、主要结果
由于本文主要研究的是幂等矩阵与对合矩阵的换位子的秩,利用的根本工具是引理1中的幂等矩阵与对合矩阵的相互转化公式,所以
首先把幂等矩阵与对合矩阵的关系进行详细分类.
2.1、幂等矩阵与对合矩阵相互转化
之后秩的分类情况
由引理1,引理2可知:一个对合矩阵可以
产生两个幂等矩阵:假设 12,,,n n
B B A C
⨯∈且
2A E =,令11(),2B E A =+21
(),2B E A =-那么
211B B =,222B B =,且有1221B B B B =和12()()r B r B n +=.
因为由引理13,可知存在可逆矩阵T ,使得 00r
n r E
T AT E --⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
, 那么00
r
n r E
A T T E -
-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 所以有 0
002n r E A T T
E --⎛⎫-= ⎪-⎝
⎭200
0r
E
E A T T -
⎛⎫+= ⎪⎝⎭
, 那么
()(),
r E A r E A n ++-=即
12()()r B r B n +=成立.
定理 2.1.1 两个对合矩阵的差与和的秩可以表示成两个幂等矩阵之差的秩. 证明 设,P A 是对合矩阵，令
121211(),(),22
11
(),()
22
P E P P E P A E A A E A =
+=-=+=-
由引理1,引理2,可知1212,,,P P A A 都是幂等矩阵,且相对应地有: 12
122222P P E E P A A E E A =-=-=-=-
那么
1122()()()r P A r P A r A P -=-=- (.1) 1212()()()r P A r P A r A P +=-=- (.2)
即两个对合矩阵的差与和的秩转化为两个幂等矩阵之差的秩. 定理 2.1.2 两个幂等矩阵的差的秩可以表示成两个对合矩阵的差或和；两个幂等矩阵和的秩可以表示成两个对合矩阵的和的秩. 证明 设22,P P Q Q ==,令
122,2P E P P P E =-=-； 122,2Q E Q Q Q E =-=-
由引理3,引理4可知1212,,,P P Q Q 都是对合矩阵，那么
1211()()()r P Q r P Q r Q P -=+=- 2122()()
r P Q r P Q =+=-(2.1.3)
1112
()(2)
1111
[()()]2222
r P Q r E P Q r E P E Q +=--=-++ ()
又有引理1,引理2,可知 1122E P -,211
22
E Q +
都是幂等矩阵.
即两个幂等矩阵的差的秩能转化为两个对合矩阵的差或和的秩；两个幂等矩阵的和的秩
转化为两个对合矩阵的和的秩。

定理 2.1.3 一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和的秩可以表示成两个幂等矩阵的和的秩.
证明 设22,P P A E ==,
令1211
(),()22B E A B E A =+=-,相应地有
122,2A B E A E B =-=-;
令122,2Q E P Q P E =-=-，
那么1211
(),()22P E Q P E Q =-=+，由引理1,
引理2可知12,B B 都是幂等矩阵,由引理3,引理4可知,12,Q Q 都是对合矩阵.
22()(2)[()2)]r P A r E P B r E P B -=--=--
()
11()(2)[()2]r P A r E P B r E P B +=--=--
()
因为当P 是幂等矩
阵
时,E P -22B -,12B -都是S -矩阵. 推论1 假设,n n P A C ⨯∈,22,P P A E ==,那么 []222222222(),()()
()()()()E P r P A r r E P B B r E P r B r E P B PB r PB r E P B B P r B P -⎡⎤
-=+--⎢⎥⎣⎦
--=---+=---+ []111111111(),()()
()()()()
E P r P A r r E P B B r E P r B r E P B PB r PB r E P B B P r B P -⎡⎤
+=+--⎢⎥⎣⎦
--=---+=---+ 其中1211
(),()22
B E A B E A =+=-.
证明 由定理2.1.3和引理6可以得到.
、 一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差，和的秩
在这里我首先给出了一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和的新的秩等式,然后用新的方法得到了两个对合矩阵的差与和的秩等式,并且得到了几个推论.之前Tian 与Styan 在[1]中只对两个幂等矩阵与两个对合矩阵的秩等式进行了研究,没有涉及过一个幂等矩阵与一个
对合矩阵的差与和的秩,我以下给出了新的秩等式.
定理 假设2,,,n n P Q C P P ⨯∈=2Q E =,那么 ()()()()r P Q r QP E r QP r P -=-+- () ()()()()r P Q r QP E r QP r P +=++- ()
证明 利用分块矩阵的高斯消元法和幂等矩阵
与对合矩阵的性质,首先有
000P P Q Q P Q -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)(3)00r Q r P QP E P Q Q P Q +•-+⎛⎫ ⎪
−−−−
−→ ⎪ ⎪⎝⎭ (3)(1)
00r Q r P QP E
P Q Q QP QP -•-+⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭
(1)(3)
00p p QP E P Q Q Q QP +⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭
(1)(2)(3)(2)
(1)(3)
00000000000p p p p r Q r QP E E
P Q Q QP QP E E P E Q QP QP E E E Q QP --+•-⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪
⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪
⎪-⎝⎭ (1)(3)(1)(3)
0000
00p p r r QP E E Q QP QP E QP E Q QP QP ---⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝
⎭
(3)(1)00000p p E QP E Q QP +-⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
(1)(2)
000000r Q r QP E Q QP -•-⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
因为分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,所
以有
000000000P P QP E r Q Q r Q P Q QP --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()r QP E r Q r QP =-++ ()
又因为
000P P Q Q P Q -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)(1)000r r P P Q Q Q P +-⎛⎫ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
(3)(1)
(3)(2)
(3)(2)000000
000p p r r p p P
Q Q Q P P P Q P Q +---⎛⎫
⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
-⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭
(3)(1)0
00000p p P Q
P Q +-⎛⎫
⎪−−−−→ ⎪ ⎪-⎝
⎭
同样根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,有
00
0000000P P P r Q Q r Q P Q P Q --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()()r P Q r P r Q =-++ (2.)
由()和(2.),我们有
()()()()r P Q r QP E r QP r P -=-+-；
因为当Q 对合矩阵时,那么Q -也是对合矩阵,用Q -代替Q 即有
()()()()r P Q r QP E r QP r P +=++-.
因为当P 是幂等矩阵时，那么E P -，
*P 也是；当Q 是对合矩阵时，那么*Q 也是对合矩阵，那么有以下推论.
推论 1 假设P 是复数域上的n 阶幂等矩阵,Q 是复数域上的n 阶对合矩阵,那么有 ()()()()r E P Q r Q QP E r Q QP r E P --=--+--- 〔〕 ()()()()
r E P Q r Q QP E r Q QP r P -+=-++-- 〔〕
*******()()()()r P Q r Q P E r Q P r P -=-+-*******()()()()r P Q r Q P E r Q P r P +=++-***()()()()r P Q r Q P E r Q P r P -=-+-
***()()()()r P Q r Q P E r Q P r P +=++-
() 证明 假设P 是幂等矩阵，那么*,E P P -分别也是幂等矩阵，Q 是对合矩阵时，那么*Q 也是对合矩阵。

用*,E P P -代替P ，*Q 代替Q ，就
可以得到秩等式以上的所有秩等式. 推论 2 假设P 是复数域上的n 阶幂等矩阵,Q 是复数域上的n 阶对合矩阵，那么以下
几个命题等价: (a) P Q -可逆；
(b) ()()()r QP E r QP r P n -+=+ 证明由〔〕，显然易得。

推论3 假设P 是复数域上的n 阶幂等矩阵,Q 是复数域上的n 阶对合矩阵，那么以下几个命题等价:
(a) P Q +可逆；
(b) ()()()r QP E r QP r P n ++=+ 证明 由〔〕，显然易得.
推论4 假设22,,,n n A P C A E P P ⨯∈==,那么 [](2)
,()()r P E A P r r P E A r P r E A E A -+⎡⎤
=+----⎢⎥-⎣⎦ () ()()r P PA r P PA E A =++--+ () ()()r P AP r P AP E A =++--+ ()
证明 1
(2)[()]2
r P E A r P E A -+=--
令1
()2
Q E A =-,那么根据引理2,可知2Q Q =,
那么根据引理6,即可得证.
推论5 假设22,,,n n A P C A E P P ⨯∈==,那么 [](2)
,()()r P E A P r r P E A r P r E A E A --⎡⎤
=++--+⎢⎥+⎣⎦
()
()()r P PA r P PA E A =-++--
()
()()r P AP r P AP E A =-++-- (2.2.13)
证明 1
(2)[()]2
r P E A r P E A --=--
令1
()2
Q E A =+,那么根据引理1,可知2Q Q =,
那么根据引理6,即可得证.
定理 假设2,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么以下秩等式成立: [][](2)
()()r E A P r P P A r P A P +-=-+-
()()r P r E A n
---+()
[][]()()r E A P P A r P P A =+-++-
() [][]()()r E A P A P r P A P =+-++-
() 更进一步,有
a 20A E P PA AP +=⇔==（）且
(2)()()r P E A r P r E A n +-=+-=；
()2b E A P +-是非奇异的
[][]()()()()
r P P A r P A P r P r E A ⇔-=-==-
证明 假设2A A =，那么1
(),2Q E A =-
2Q Q =，把2A E Q =-代入引理2，有 (2)(22)()
()()()()()()()()
r E A P r E E Q P r E P Q r PQ r QP r P r Q n r E P Q PQ r PQ r E P Q QP r QP +-=+--=--=+--+=--++=--++ [][]
[][][][]()()()()()()()()r P P A r P A P r P r E A n r E A P P A r P P A r E A P A P r P A P =-+----+=+-++-=+-++- 定理 假设,,n n P A C ⨯∈2A E =,P 是S -矩
阵,λ是任意实数,那么有以下秩等式成立:
()(,)P r P E A r r P E A E A λλ⎡⎤
-+=+--⎢⎥-⎣⎦()()
r P r E A --()
()0P E A r P E A r E A λλ-⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭()r E A --
()
0E A P r r P P -⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
()
()()()r E P Q r P PA r P AP λλ--=-+-()()
r P r E A ---
(2.2.19)
()()()r PA AP r P E A r A P n λλλ-=-++--
()
(2)()r P PA AP r P E A λλ--=+-+
()r A P n
λ-- ()
(2)()r E P PA r E P A λλλ-+=-+
()
证明 因为P 是S -矩阵,那么2,0,P P λλ=≠那么
P λ
是幂等矩阵,因为
222111
()P P P λλλ
==,在引理13中,令
1μ=,21
(),2Q E A Q Q =-=,把引理11中的Q 用1
()2
Q E A =-来代替,那么得到上述秩等式.
2.3、 研究幂等矩阵与对合矩阵的
换位子的秩及其可逆性
定理2. 假设2,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么 ()(2)(2)r PA AP r E A P r E A P n -=+-+---
()
证明 设换位子的形式为
()()PA AP aP bA cE dP eA fE -=++++ 利用待定系数法,可以计算出
1111
()()2222PA AP P E A P E A -=-+--
根据()0E B r AB r n A ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,可有
()
1111()()2222r PA AP r P E A P E A -⎡
⎤=-+--⎢⎥
⎣⎦ 112211022E P E A r n P E A ⎛
⎫-- ⎪
=- ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭
2220E P E A r n P E A --⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
又因为
(1)(2)
(2)(1)
222022202242p p r r E P E A P E A P E A P E A P E A P E A P E A P P E A ++--⎛⎫ ⎪
-+⎝⎭
+---⎛⎫
−−−−→ ⎪-+⎝⎭+---⎛⎫−−−−→ ⎪
--⎝
⎭ (1)(2)()
(2)2(1)
202222002p p E A r P r E A P P PA P E A E A P P E A -•-+•--⎛⎫
−−−−−−→ ⎪+--⎝⎭
--⎛⎫−−−−−→ ⎪
--⎝
⎭
根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,得到
2220E P E A r P E A --⎛⎫= ⎪-+⎝⎭
(2)(2)r E A P r E A P =+-+-- 所以 ()r PA AP - (2)(2)r E A P r E A P n =+-+---
推论 1 22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,假设
1211
(),()22B E A B E A =+=-,那么
12()()()r PA AP r B P r B P n -=-+--, ()
111222[,]()2()[,]()B r r B P r B r P P B r r B P r B n P ⎡⎤
=+--⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
++--⎢⎥⎣⎦ ()
111222()()()()
r B B P r B P P r B B P r B P P =-+-+-+-
(2.) 111()()r B PB r PB P =-+-+
222()()r B PB r PB P -+-
(2. )
且有12210,B B B B ==12()()r B r B n +=.
证明 由定理可知(2.3.2)式成立,再代入引理
6,可得(2.3.3),(2.3.4),(2.3.5)都成立. 推论2 22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,那么以下几个命题是等价的: ()a PA AP -可逆;
()2b E A P +-与2E A P --都可逆;
[](),()P c r r P E A r P E A ⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦
()r E A n
+-= 且()()()()r P PA r P AP r P r E A -=-==-. 证明 因为
4(2)(2)PA AP E A P E A P -=+--- 所以()()a b ⇔成立; ()()b c ⇒
22P P P E A r r r E A E A E A -+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因为2P E A -+可逆,所以 220P E A P E A r r n E A -+-+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
同理[,]r P E A n -=.又因为2P E A --可逆,2A E P +-也是可逆的,由定理的(b)式可知
()()()()r P PA r P AP r P r E A -=-==-成立. ()()c b ⇒因为由定理的推论4 [](2)
,()()r P E A P r r P E A r P r E A E A -+⎡⎤=+----⎢⎥-⎣⎦
和定理的(b)式可得 (2)r P E A n -+= 再由定理的(2.2.14)式可知
(2)r E P A n -+=.那么(b)成立. 推论3 22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,有以下秩等式成立: ()
r PA AP -
(2)()
()()()
r P E A r P PA r P AP r P r E A =-++-+---- ()
(,)()()2()2()
P r r P E A r P PA E A r P AP r P r E A ⎡⎤=+-+-+⎢⎥-⎣⎦
---- ()
()[()()]()()()()r P PA r P A E A r P PA r P AP r P R E A =+++-+
-+----
() ()[()()]()()()()
r P AP r E A P A r P PA r P AP r P r E A ++-++
-+----
() 证明 由定理2. 可知 ()r PA AP - (2)(2)r E A P r E A P n =+-+---,
由()式可以得到(2.3.6),由定理2.2.1的推论
4得到(2.3.8),由引理5,只要令1
()
2Q E A =-即可得到(2.3.9),(2.3.10).
推论 4 假设22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,那么以下几个命题是等价的:
();
()(2)(2);()(2)()()()();
a PA AP
b r P A E r E A P n
c r P A E r P r Q r P PA r P AP =+-++-=+-=+----()()()()
d r P PA r P r P PA +=--且
[()()]()();
r A P A E r E A r P PA +-=---()()()()e r P AP r P r P PA +=--且
[()()]()()
r E A P A r E A r P PA -+=---.
证明 ()()a b ⇔由定理 2. 的(2.3.1)式可以直接得到.
()()b c ⇔可以由定理得到. ()()d c ⇒显然易得.
()()c d ⇒ 根据Hartwig and Styan 在文献[7]中的定理:假设,,n n P Q C ⨯∈2,P P = 2Q Q =,那么
()()()r P Q r P r Q PQP Q -=-⇔=.
令1
()2Q E A =-,由引理2就可以得到2Q Q =,
再根据PA AP =,就可以证得.
()()d e ⇔ 因为PA AP =,那么()()d e ⇔显然
成立.
推论 5 假设22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,那么以下几个命题是等价的: ()()(2);()()()()()
a r PA AP r P A E
b r P PA r P AP r P r E A -=+--=-==-
()2c E A P +-是非奇异的.
证明 ()()a b ⇔假设(a) 成立,那么由推论3的 ()得到
()()()()r P PA r P AP r P r E A -+-=+-
即[()][()]()()r P P A r E A P r P r E A -+-=+- 又
因
为
[()](),[()]()r P P A r P r E A P r E A -≤-≤-那么
当且仅当(b)式成立时才可以. ()()a c ⇔由()式可以直接得到
.
定理 假设2,,,n n
P A C P P ⨯∈=2
A E =,那么以
下等式成立: []()
,2()r PA AP PA r r P AP r P P -⎡⎤
=+-⎢⎥⎣⎦ () 证明 首先利用分块矩阵的高斯消元法,又有以下结果成立:
00
000000000P PA AP PA P P P P P AP P AP PA P P AP -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的 秩,得到
00000000P PA PA r P P r P P AP P AP -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(,)PA r r AP P P ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
(2.) 然后再利用幂等矩阵和对合矩阵的性质有:
(1)(3)(1)(3)
(1)(2)
000000000p p A
r r r A r P PA P P P AP PA PA P P P AP P AP PA PA P P P AP P APA PA AP PA P P P AP +•+-•-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪
−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪−−−−→ ⎪
⎪⎝⎭--⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪
⎪⎝⎭
(3)(2)
(1)(2)(1)(3)
(3)(2)
(3)(1)
(1)(3)00000000000
0000000r A r p p A
r r p p r r p p A P APA PA AP P P P APA AP PA P P APA AP PA P P APA PA AP P PA P
PA AP -•-•--+-•--⎛⎫
⎪
−−−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎛⎫
⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭(3)(1)000
000
p p A P P PA AP +•-⎛⎫
⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝
⎭
同样的道理,
000000000P PA P r P P r P P AP PA AP --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
2()()r P r PA AP =+- (2.)
联立(2.)和(2.3.12)那么有秩等式
[](),2().PA r PA AP r r P PA r P P ⎡⎤
-=+-⎢⎥⎣⎦
定理2..22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==, ()
(,)2()r PA AP P PA r r P PA P r P P --⎡⎤
=+--⎢⎥⎣⎦
() (,)2()P AP r r P PA E A r E A E A -⎡⎤=+----⎢⎥-⎣⎦ (2.) ()()r PAP PA r AP PAP =-+-(2.)()()
r P AP PA APA r PA APA P AP =-+-++--
() ()r AP PA =-
证明 根据引理2,令1
(),2Q E A =-那么
2Q Q =,同时有 2A E Q =-,代入()r PA AP -,
得到()()r PA AP r PQ QP -=-,那么把
1
()2
Q E A =-直接代入引理9,就可以 得到以
上几个秩等式.
定理 2. 假设2
,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么
有以下秩等式成立:
(2)
(2)(2)r P PA AP r P E A r E A P n --=+-++--
(2.) (2)()()
()()
r P E A r P PA r P AP r P r E A =+-+-+----
(2.)
()()()()
r P PA AP APA r P PA r P AP r P =++++-+--
(2.)
()()()()
r E A P PA AP PAP r P PA r P AP r E A =--++-+-+---
(2.)
证明 由引理1,可令1
()2Q E A =-,那么
2Q Q =,再代入引理10,就可以得到以上的秩
等式.
定理2. 假设2,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么有以下秩等式成立:
()r PA AP -[2()][2()]r P A E r P A E =+---- [2()]r P PA AP +-+ (2.)
证明 由定理2.3.1的关于()r PA AP -的秩等式(2.3.1) ()(2)(2)r PA AP r E A P r E A P n
-=+-+---,
再联立秩等式(2.)
(2)
(2)(2)r P PA AP r P E A r E A P n --=+-++--
即可以得到定理2.的秩等式. 在引理[7]中研究这种情况的秩：设m n A C ⨯∈且是任意选取的,,,
m m n n P C Q C ⨯⨯∈∈且2
2
,P P Q Q ==,研究PA AQ -的秩，与我在本文中研究的一个幂等矩阵P 和一个对合矩
阵A 的换位子PA AP -形式不同。

但由引理7
可以得到几个特殊矩阵与一个任意的n 阶矩阵
的换位子的秩等式.
定理2. 假设2,,n n P A C P E ⨯∈=,A 是复数域上的任意矩阵,那么
()()[(),]2()
()()
E P A r PA AP r r A E P E P E P r E P r A PA AP PAP r AP PAP PA A -⎡⎤
-=+--⎢⎥-⎣⎦--=-+-++--证明 令1
()2
Q E P =-,那么2Q Q =，
()[(2)(2)]
()
r PA AP r E Q A A E Q r QA AQ -=---=-
即一个对合矩阵与任意一个矩阵的换位子的值等于一个幂等矩阵与任意一个矩阵的换位子的值.在引理8中,假设令m n =,P Q =,就可以得到一个幂等矩阵与任意一个n 阶矩阵的换位子: 假设2,,n n P A C P P ⨯∈=,A 是复数域上的任意矩阵,那么 0000000000000()
(,)2()
()()
r P A AP P A r r AP P r P P r P A P AP r P AP AP -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
=-+- (2.) (2.) 把1()2Q E P =-代入(),(2.3.27)就得到定
理2.3.6.
3、问题的延伸
本局部在原来研究的根底上再深入一些,下面研究几类特殊矩阵的换位子问题,然后推广到,m n 阶.
首先研究幂等矩阵,对合矩阵,三幂等矩阵三种矩阵的换位子问题:可以分为6类换位子:
①两个幂等;②两个对合矩阵;③一个幂等矩阵与一个对合矩阵;④两个三幂等矩阵;⑤一个幂等矩阵与一个三幂等矩阵;⑥一个三幂等矩阵与一个对合矩阵.①②已经有人研究了,我在本论文中也讨论了③④,这局部研究④⑤⑥换位子问题.
由于3,A A A -=存在2A E ⇔=,即一个对合矩阵是一个非奇异的三幂等矩阵,那么根据三幂等矩阵是否是非奇异的分两种情况讨论:
(1) 三幂等矩阵是非奇异的,那么三幂等矩阵是对合矩阵.④⑤⑥就相应地变为②③情况；
(2) 三幂等矩阵不是非奇异的. 那么首先讨论一个三幂等矩阵与一个对合
矩阵的换位子:
定理 3. 假设,n n A B C ⨯∈，且3A A =，2B E =，那么换位子AB BA -可以转化为两对
幂等矩阵与对合矩阵的换位子的代数差. 证明 因为3A A =，那么存在可逆矩阵T ，使得 000
000
0r s E A T E T -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
12
0000000000000000r s E T T T E A A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 通过简单的计算可以知道矩阵12,A A 都是幂等
矩阵.那么有:
1212()()AB BA A A B B A A -=---
1122()()A B BA A B BA =---
这类换位子的秩等式及可逆性作为以后的研究内容.
以下研究两个三幂等矩阵的换位子问题： 定理 3. 假设33,,,,n n A B C A A B B ⨯∈==那么根据以上的讨论，那么换位子AB BA -可以转化为四对幂等矩阵的换位子的代数和. 证明 由定理3.的分析,有
1212,A A A B B B =-=-，在这里1212,,,A A B B 都
是幂等矩阵，那么有 1212121211112112()()()()()()
AB BA
A A
B B B B A A A B B A B A A B -=-----=-+- 12212222()()B A A B A B B A +-+-
这类换位子的秩等式及其可逆性将作为以后的研究重点.
因为在矩阵是非奇异的情况下,m 阶幂等矩阵就是1m -阶的幂么矩阵.，而对于
2B E =，那么221,k k B E B B +==,对任意的正整
数k 都成立。

那么对于满足,m n A A B E ==的A ，B 的换位子AB BA -的各种相应性质如何，将是以后的研究内容.
利用对合矩阵A 的性质,由引理3,2A E =，可以化为两个幂等矩阵的差，即存在可逆阵T ,使得
1
10,
00
00()000r n r r n r E
T AT E E A T T E ----⎛⎫= ⎪-⎝
⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
12A A =-
1,2A A 分别是n 阶幂等矩阵，那么
12121122()()()()
PA AP P A A A A P PA A P PA A P -=+-+=-+-
那么研究的对象转化为研究两对幂等矩阵的换位子的代数和.这个作为以后的讨论重点.
结束语
本论文是在认真研究阅读George P.H. Styan 和 Yongge Tian 的文章〔文献[1]〕和左可正的文章〔文献[2]〕之后，查阅大量相关资料的根底上，提出了新的研究方向，即研究一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差，和，换位子等的秩等式，可逆性相关性质,研究秩等式有很强的概括性,在引言中已经简单说明过.本文不仅是在原来研究内容上的拓宽，研究程度上的深入,在研究方法上,所得结果都有创新之处。

最重要的是此研究课题是几乎没有人涉及到且提出了以后的研究方向,本文初步涉及了三阶幂等矩阵的换位子,三幂等矩阵与幂等矩阵和对合矩阵交叉项的换位子形式.还可以更深入地研究m 阶幂等矩阵与n 阶幂么矩阵的换
位子的相应性质。

这里有很大的研究空间。

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