第01讲 集合(学生版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第1讲集合

思维导图

知识梳理

1．集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：

确定性、无序性、互异性

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.

(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B 的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.

(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.

(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.

3．集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪

B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．

(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．

核心素养分析在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。

能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。掌握集合的基本关系与基本运算在数学表达中的作用。

重点提升数学抽象和数学运算素养。

题型归纳题型1 集合的基本概念

【例1-1】（2020•东湖区校级模拟）设集合{2A =，1a -，22}a a -+，若4A ∈，则(a = )

A ．3-或1-或2

B ．3-或1-

C ．3-或2

D ．1-或2

【例1-2】（2020·山东校级模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

【跟踪训练1-1】（2019秋•徐汇区校级期末）已知复数a ，b 满足集合{a -，

2}{b a =，1}b +，则ab = . 【跟踪训练1-2】（2020•大连模拟）设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【跟踪训练1-3】（2020•徐汇区校级模拟）已知实数集合{1，2，3，}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x = ．

【名师指导】

与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．

(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

题型2 集合的基本关系

【例2-1】（2020•成都模拟）已知集合{0A =，}x ，{0B =，2，4}，若A B ⊆，则实数x 的值为( )

A ．0或2

B ．0或4

C ．2或4

D ．0或2或4

【例2-2】（2020春•金凤区校级期中）已知集合22{|340A x x ax a =-->，(0)}a >，{|2}B x x =>，

若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．

【例2-3】已知集合A ＝{x |－1

【跟踪训练2-1】（多选）（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( )

A ．3-

B ．1

C ．2

D ．5

【跟踪训练2-2】（2020春•海淀区校级期中）设集合{|||1A x x a =-<，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，若A B ，则a 的取值范围为 ．

【跟踪训练2-3】已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．

【名师指导】

根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；

(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．

题型3 集合的基本运算

【例3-1】2020•新课标Ⅱ）已知集合U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}， 则∁U （A ∪B ）＝（ ）

A ．{﹣2，3}

B ．{﹣2，2，3）

C ．{﹣2，﹣1，0，3}

D ．{﹣2，﹣1，0，2，3}

【例3-2】（2020•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

【例3-3】（2019•巢湖市一模）已知集合{|3}A x x =<，{|}B x x a =>，若A

B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )

A ．[3，)+∞

B ．(3,)+∞

C ．(,3)-∞

D ．(-∞，3]

【例3-4】定义集合的商集运算为A B ＝,,m x x m A n B n ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭

丨，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝⎛⎭⎫B A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【跟踪训练3-1】（2020•新课标Ⅰ）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＜0}，B ＝{﹣4，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ）

A ．{﹣4，1}

B ．{1，5}

C ．{3，5}

D ．{1，3}

【跟踪训练3-2】（2020•海南）设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ）

A ．{x |2＜x ≤3}

B ．{x |2≤x ≤3}

C ．{x |1≤x ＜4}

D ．{x |1＜x ＜4}

【跟踪训练3-3】（2020•新课标Ⅰ）设集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}，B ＝{x |2x +a ≤0}，且A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，

则a ＝（ ）

A ．﹣4

B ．﹣2

C ．2

D ．4

【跟踪训练3-4】（2020•毕节市模拟）已知全集U R =，集合{1A =，2，3，4，5}，{|(3)}B x R y lg x =∈=-，则图中阴影部分表示的集合为( )