航空航天飞行器材料的优化设计

公式为：
xs
xx xmax xmin
• 得到回归方程的实际方程为：
yˆ 788.51 39.789xA 112.05xB 95.854xC 35.857xD 242.83xE 55.261xF 49.624xG
分析已试验的试验结果
• 仅考虑材料强度大小，则只用对其平均数 加以分析即可。得出第6组数据为最佳工艺 条件点。
模型的假设检验
• 对假设强度数值服从正态分布进行检验 通过SPSS Statistics软件对强度值y的数值进行
分析，得到图如下：
• 对假设f(xA,xB,xC,xD,xE,xF,xG)是线性函数进行检验
假设：
H0 j : j 0 j 1, 2L m
当H0成立时由残差平方和分解式定义的SSR,SSE 满足:
• C对于B、D、E影响较小，暂不考虑。 • B、D 和 E三个因素对ŷ影响大小顺序为E＞B＞D。
结论：
在发生冲突时，四因素组合B1、C3、D1、E3为最 优解，即，组合A2、B2、C3、D1、E3、F1、G1为最优 解，强度值为1043.5。
问题三
• 模型的假设检验 • 模型残差分析和拟合优度分析 • 模型改进
SSR
F SSE m : F m, n m 1 n m 1
经检验，拒绝H0。说明自变量与因变量之间存 在线性关系。
模型残差分析和拟合优度分析
• 残差分析
对残差的样本均值、样本方差、无偏估计量 进行分析，得到：
Se
MSE
1 n2
n i 1
ei2
98.49102
当Se越小时，拟合值与观测值越接近，残差ei 值的变异程度越小。
• 拟合优度分析
对原始数据y 的总变异平方和、拟合曲线的 变异平方和、残差平方和、拟合优度R2进行分 析，得到：
R2 SSR (1 SSE ) 0.643436
SST
SST
R=0.8021
可以看出，0.8021比较接近1，所以拟合优度 比较好。
模型改进
• 强度方差的多元线性回归模型
在第一个模型中，因变量为强度值y，未考虑 稳定度，为综合考察两方面因素对材料的评价， 现使方差d为因变量代入模型求解。
b11xC2
b22 xE2
用MATLAB对模型求解，得出回归方程：
需要解决的问题
• 问题一：根据附录表1中的试验测量数据， 建立合理的数学模型，并对试验结果进行 分析；
• 问题二：寻找使得强度最大的最优工艺条 件；
• 问题三：对所建立的模型进行误差分析并 做出评价；
• 问题四：对本设计提出一种更合理的试验 设计计划及试验结果的分析方法
问题一
• 多元线性回归模型的建立及求解 • 分析已试验的试验结果
建立方程：
d1
O'
' A
x1A
' B
x1B
L
d2
O'
ห้องสมุดไป่ตู้
' A
x2
A
' B
x2
B
L
L
G' x1G G' x2G
d18
O'
' A
x18
A
' B
x18B
L
G x18G
得到回归方程 的实际方程为： yˆ 5767.1 705.83xA 1039.8xB 2352.2xC 4140xD +6495.4xE +1602.7xF +318.46xG
L b(m1)m xm1xm b11x12 b22x22 K bmm xm2
~ N(0, 2)
对数据进行逐步回归分析可知，C、E对于强 度影响最大。因此，仅考虑C、E两个因素时，得 到多元二项式回归模型如下：
y
~
b0 b1xC
N (0, 2 )
b2 xE
b12 xC xE
冲突条件下的最优工艺条件
• 已知： B——四种添加剂的含量 C——添加剂1的含量 D——添加剂2与添加剂3的含量之比 E——添加剂2与添加剂4的含量之比
• 假设添加剂2含量为 n ，则：
B C+n+ n n DE
分析：
• 在公式中，B和E系数为负,C、D为正，故B、E应该 取小， C、 D取大。
航空、航天飞行器材料的优化设 计问题
问题背景
• 现已知，某材料的工艺过程通常与下面七 个因素有关：四种添加剂的总含量；添加 剂1的含量；添加剂2与添加剂3的含量之 比；添加剂2与添加剂4的含量之比；煅烧 温度和煅烧时间。在此，结合影响强度问 题的各因素对航空航天飞行器材料工艺的 优化设计进行讨论。
y2
O
A x2A
B x2B
L
L
G x2G ε
y18 O Ax18A B x18B L G x18G ε
• 标准化
由于各因素的水平值大小相差较大，而一个因
素的各个水平值之间关系用原数据无法较好表示，
因此，为突出各因素对强度影响，在对方程进行
求解前，对各因素的水平值进行标准化，标准化
通过穷举得到1458组组合，结合强度作图如下：
• 部分因素的多元二项式回归模型
由于在建立多元线性回归模型中假设各因素 相互独立，而实际上，各因素之间联合对强度作 用，因此，分别建立两个因素的多元二项式回归 模型和三个因素的多元二项式回归模型求解并分 析。
建立多元二项式回归模型：
y b0 b1x1 b2x2 L bmxm b12x1x2 b13x1x3
理想条件下的最优工艺条件
• 由问题一知：
yˆ 788.51 39.789xA 112.05xB 95.854xC 35.857xD 242.83xE 55.261xF 49.624xG
• 穷举因素A、B、C、D、E、F、G的各水平值，
得到强度最大组：A2、B1、C3、D1、E3、 F1、G1 • 此时强度最大估值可达1099.5
• 对于航空航天飞行器材料性能的测评，应 追求性能的最优值和稳定程度，因此可讨 论数据的平均值和方差两个属性。
方 1600 差
1400
1200
1000
800
600
400
200
0 0
系列1
200
400
600
800
1000
1200
平均值
平均值-方差散点图
问题二
• 理想条件下的最优工艺条件 • 冲突条件下的最优工艺条件
多元线性回归模型的建立及求解
• 分析
回归分析是研究一个变量与另一个（些）变量 的具体依赖关系的计算方法和理论，根据得到的 若干有关变量的 一组数据，寻找因变量与自变量 之间的一个函数，使这个函数对那组数 据拟合得
最好。
`
• 建立方程组：
y1 O Ax1A B x1B L G x1G ε