牛顿第二定律力与加速度

第三章

牛頓第二定律─力與加速度

●牛頓運動定律

●運動方程式

●自由體圖與運動力圖

●力與加速度之分析及應用

§3-1引言§

•依牛頓之慣性定律，質點或剛體若不受力或在靜力平衡狀況下將維持運動狀態不變。•若質點或剛體產生運動狀態的改變，則必定是受到來自系統以外的力量作用。

•牛頓在1687年所提出之第二定律，可以建立物體所受外力與所產生加速度之間的關係。

•牛頓第二定律為整個動力學理論的基礎。Dynamics Chap. 32

Dynamics Chap. 33

§3-2牛頓第二定律§

•牛頓第二定律是基於實驗之結果所歸納而得到之自然界的現象。

•牛頓第二定律：

若作用於質點之外力或其合力不為零，則此質點之加速度大小與外力大小成正比，而加速度之方向為沿外力或合力之方向。以方程式來表示，則為

a m F

=∑

◆單位與特例◆

•力的公制單位為牛頓(N)，因此使質量為1公斤的物體產生1m/s2加速度之力為1牛頓。力的英制單位為磅(lb)。

•根據牛頓第二定律，若物體不受力或所受外力之合力為零，則加速度為零，亦即物體之運動狀態保持不變。上述之狀況為牛頓第一定律，故牛頓第一定律可說是牛頓第二定律之特例。

Dynamics Chap. 34

§3-3牛頓參考座標§

•使用牛頓第二定律分析物體之受力必須使用牛頓參考座標(Newtonian frame of reference)或慣性參考座標(Inertial frame of reference)系統。

•此種座標系統其原點為固定不動或以等速度移動，而座標軸亦不隨時間旋轉。依照如此的定義，可以保證在兩個不同的牛頓參考座標上的觀察者所測量到的加速度都是相同的。

Dynamics Chap. 35

◆所謂的〝固定座標系〞◆

•一般在分析力學問題時所慣用之固定座標系，也就是固定於地球表面之座標系統，嚴格說來並非真正之牛頓座標系統，因為地球本身自轉以及對太陽公轉的緣故，使得此類座標系並非真正的固定，且其座標軸的方向亦隨時間而轉動。

•使用上述之非牛頓座標系之固定座標系統所測量或計算而得之加速度本身即會產生誤差，此種誤差若是發生於一般日常應用問題或是對於精確度要求不高之情況，將可視為是〝工程〞本身所容許之誤差，並無損於其結果之參考性或正確性，且此類固定座標系因使用的方便性等因素，仍將廣泛地被使用。但是若所遇到問題之精確度要求較高，則仍應採用符合牛頓座標系統定義的座標系。

Dynamics Chap. 36

Dynamics Chap. 37

§3-4運動方程式§

•牛頓第二定律是用來建立質點所受外力與所產生加速度之間的關係，而這個關係以數學方程式的形式表示出來便是運動方程式(Equation of Motion)。•運動方程式的基本形式即是，而其真正的純量方程式形式則必須視所採用的座標系統來決定。

ma F =∑

§3-5力與加速度之分析及應用§•動力學與靜力學問題之分析力圖最主要之不同點在於靜力學問題其平衡方程式等號右側為零，因此基本上只需自由體圖(Free-Body Diagram)即可產生對應之平衡方程式；然而動力學問題其運動方程式等號右側不為零，故除了原本代表運動方程式等號左側之自由體圖外，尚需代表等號右側之運動力圖(Kinetic Diagram)方能完整描述質點之受力狀況。

•依照各種不同座標系統之運動方程式，再配合繪製適當之分析力圖，即是求解動力學問題之不二法門。

Dynamics Chap. 38

Dynamics Chap. 39

◆力與加速度之分析圖◆

1F

2

F

3

F

●●

自由體圖─選擇適當之座標系並標示所有作用於質點之外力運動力圖─沿著所選擇之座標系之各個座標軸方向標示a m ∑F =a m a m

=

Dynamics Chap. 310◆直角座標運動方程式◆∑x

F ∑y

F ∑z

F O Y

X

Z

O Y X Z ma x ma y ma z =∑F

=a m P P

Dynamics Chap. 311

◆直角座標運動方程式(續)◆

z m ma F y m ma F x m ma F z

z y y x x ======∑∑∑

Dynamics

Chap. 3

12

◆曲線座標運動方程式◆

∑n

F

∑t

F 0

=∑b

F

ma n

ma t

=∑

F =

a

m

t

n

b

b

P

P

Dynamics

Chap. 3

14

◆圓柱座標運動方程式◆

∑θF ∑r

F

∑z

F

O

θma r

ma θma z

=

∑

F =

a

m

r

z

O

θ

r

z

P P

Dynamics Chap. 315

◆圓柱座標運動方程式(續)◆

z m ma F r r m ma F r r m ma F z

z r r

==+==-==∑∑∑)2()(2θθθθ

θ