离散数学 - 第三章：集合的基本概念和运算

2015/11/17
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3.1 集合的基本概念——特殊集合
定义3.4 空集 不含任何元素的集合，称为空集 (empty set) ，记作。 空集的符号化形式为： ={x| x x } 如：A = {x | x R x2+1=0} = 定理3.1 空集是一切集合的子集。 推论 空集是唯一的。 例：确定下列命题是否为真
定义3.10 集合的补集(Complement) 全集E与A的差集 称为A的余集或补集： ~A＝ E-A＝{x|xE xA} 特别地：~E＝ ，~ ＝ E E 补集的 文氏图 A
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罗素悖论
第三次数学危机：1874年，康托尔创立了集合论， 很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到 19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之 上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛 盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反 映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学 的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危 机”。 通过对集合定义加以限制来排除悖论：不存在以自 身为元素的集合。
B
交集的 文氏图
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A∩B
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3.2 集合的基本运算
并集和交集的推广： 设A1，A2，…，An …是可数多个集合，则：

A1∪A2∪…∪An … ，简记为 A1∩A2∩…∩An … ，简记为
i 1
Ai
i 1
Ai
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3.1 集合的基本概念
集合的表示法——文氏图(Venn Diagram) 用一个大的矩形表示全集(最大的集合——所涉及的全 部集合都是这个集合的子集)，在矩形内画一些圆或其 它的几何图形来表示集合，有时也用一些点来表示集 合中的特定元素。 例如：集合V={a,i,u}，用文氏图表示如下：
定义3.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个 集合的子集，则称这个集合为全集，记作E(或U)
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3.1 集合的基本概念
集合之间的关系 定义3.2 集合相等 设A和B为两个集合，若A B且 B A，则称A与B相等，记作A ＝ B；若A与B不 相等，记做A B。 集合A与B相等的符号化形式为：
3.1 集合的基本概念
集合的表示法 列举法 将集合中的元素一一列举，或列出足够多 的元素以反映集合中元素的特征。 例如：V={a,e,i,o,u} 或B={1,4,9,16,25,36……}。 显式表示法 优点：具有透明性。 缺点：在表示具有某种特性的集合或元素过多时 受到一定的局限。而且，从计算机的角度看，显 式法是一种“静态”表示法，若一下子将这么多 数据“输入”计算机，将占据大量内存。
A=B A B B A
例：设A={x| x是偶数，且0<x<10}，B={2,4,6,8}， 则A=B。
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实例3.1
判断A＝B？ 1.

2. {1,2,4}和{1,2,2,4}
3. {1,2,4}和{1,4,2} 4. {{1,2},4}和{1,4,2}
5. {1,3,5,…}和{x|x是正奇数}

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3.1 集合的基本概念
集合之间的关系 定义3.3 若AB，且AB，则称A是B的真子集 (proper subset)，也称B真包含A，或A真包含于B， 记为A B，或B A 。 事实上， A={0,1,2}，B={0,1}，则： BA 判断：{0,1}、{1,3}、{0,1,2}是{0,1,2}的真子集吗？
a i
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u
E
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3.1 集合的基本概念
集合中元素的表示
元素a属于集合A，记作a A。 元素a不属于集合A ，记作a A
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3.1 集合的基本概念
集合的特征 确定性：任何一个对象，或者是这个集合的元素， 或者不是，二者必居其一。 例如：A={x| x N x<100}
C30 C31 C32 C33
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3.1 集合的基本概念——集合之间的关系
集合A的幂集的符号化形式为：
P(A)={B| B A}
幂集的性质： 若A为有穷集，A有n个元素，则A的幂集P(A)所含元 素的个数为： Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 BP(A)当且仅当B A。 设A、B是两个集合，AB当且仅当 P(A)P(B)。 P(A)实际上是一个集合簇，或集合类。
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3.1 集合的基本概念
归纳法 通过归纳定义集合，主要由下面三部分构成：
基础：指出某些最基本的元素属于某集合；
归纳：指出由某些元素造出新元素的方法； 极小性：指出给集合的界限。 例如：命题公式的定义 ： （1）单个命题常项或变项p, q, r, … pi, qi, ri, …, 0, 1是命 题公式；
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3.1 集合的基本概念
集合的元素(element)
集合内的对象或单元称为元素。
集合的表示
集合通常用大写英文字母表示。例如，N代表自 然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有 理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。
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并集的 文氏图
A
B
A∪B
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3.2 集合的基本运算
定义3.8 集合的交集(Intersection) A∩B定义为：A∩B={x| xA xB} 例如，令A={a, b, c, d}，B={c, d, e, f}，于是 A ∩B={c, d }。
A
康托的古典/朴素集合论 策梅洛-弗兰克尔公理化集合论
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3.2 集合的基本运算
定义3.7集合的并集(Union) A∪B定义为：A∪B={x| xA xB} 例如，令A={a, b, c, d}，B={c, d, e, f}，于是 A∪B={a, b, c, d, e, f}。
解：设C={x| x为不给自己刮脸的人}，b为理发师。 若：理发师不给他自己刮脸 bC bC 理发师给他自己刮脸 bC bC
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罗素悖论
将集合分为两类： 集合A本身是集合A的元素，即AA 集合A本身不是集合A的元素，即AA 构造集合P= {A | A A} 问题：P P是否成立？ 若P P ，因集合P中每个元素A均不属于自身， 不满足P的性质，因此必须有P P 若P P，因集合P中每个元素A均不属于本身， 满足P的性质，因此必须有P P
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3.1 集合的基本概念
集合之间的关系 定义3.1 子集(subset) 设A，B是两个集合，若A的元素 都是B的元素，则称A是B的子集，也称B包含A，或A 包含于B，记作A B，或B A （否则记为B A ） 例：A={0,1,2}，B={0,1}，C={1,2}，则B A， C A， 子集的符号化形式为： A B x (x A x B)， 特别地，对任意集合S，均有：S S
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3.1 集合的基本概念
集合的基本概念 把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体， 就形成一个集合(set) 。 由确定的相互区别的一些对象组成的整体称为集 合。 确定的可分辨的事物构成的整体。
例：北京邮电大学的学生、图书馆的藏书、全国的 高等学校、自然数的全体、直线上的点、26个英文 字母
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3.1 集合的基本概念
描述法 通过描述集合中元素的共同特征来表示集 合。例如： V= {x| x是元音字母} B= {x| x=a2 , a是自然数}
C= {x| x Z 3<x6}，即C={4,5,6}
突出优点：原则上不要求列出集合中全部元素， 而只要给出该集合中元素的特性即可。

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3.1 集合的基本概念
特殊集合 定义3.5 幂集(power set) 设A是集合，A的所有子集构 成的集合称为A的幂集，记以P(A)。 例3.2 A={a,b,c} ，则： P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
第三章 集合的基本概念和运算
第三章 集合的基本概念和运算
德国数学家，19世纪数学伟大成就之一 ——集合论的创立人 柏林大学求学期间，受魏尔斯特拉斯的影 响，对纯粹数学非常感兴趣 引入了无穷集合的概念：基数、势、序数 证明了有理数集合的可数性和实数集的不 可数性，建立了实数连续性公理，被称为 “Cantor公理”（1874年） 证明了一条线段上的点能够和正方形上的 点建立一一对应，从而证明了直线上，平面 上，三维空间乃至高维空间的所有点的集合， 都有相同的势 （ 1877年） 康托 患了精神分裂症（1884年），最后死于精 (Cantor，1845-1918) 神病院
（2）若A、B是合式公式，则A、A B、A B、AB、 A↔B也是命题公式；
（3）只有有限次地应用（1）—（2）组成的符号串才是命 题公式。
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3.1 集合的基本概念
递归法 通过计算法则来定义集合中的元素。 例如： V= {xn| x0=1, xn+1=2xn+1} BNF范式法(Backus Normal Form) ：常常用来定 义高级程序设计语言的标识符或表达式集合。
C={x | x是北京邮电大学电子工程学院11级本科生}
互异性：集合中任何两个元素都是不同的，即集合 中不允许出现重复的元素。 例如： 集合A={a,b,c,c,b,d}，应该是A={a,b,c,d}
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3.1 集合的基本概念
集合的特征 无序性：集合与其中的元素的顺序无关。 例如： 集合{a,b,c,d,e}，{d,c,e,a,b}，{e,c,d,b,a}都 是表示同一个集合。 多样性：集合中的元素可以是任意的对象，相互 独立，不要求一定要具备明显的共同特征。 例如：A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车},地球}
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实
例
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3.1 集合的基本概念
例3.4 著名的罗素悖论：在某个城市中有一位理发师，他 的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，我将 为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。 我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自 然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，理发师从 镜子里看见自己的胡子长了，他能不能给他自己刮脸呢？
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3.2 集合的基本运算
定义3.9 集合的差集(Subtraction) 定义为： A-B={x|xA xB} 例：A={a, b, c, d}，B={c, d, e, f}，则： A-B={a, b} E 差集的 文氏图 A B A-B
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3.2 集合的基本运算
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第三章 集合的基本概念和运算

3.1 集合的基本概念
集合、元素、集合的表示法、子集、包含、 集合相等、真子集、空集、幂集、全集
律 3.3 集合中元素的计数 基数、有（无）穷集、包含排斥原理 3.2 集合的基本运算 并集、交集、补集、对称差、文氏图、运算