人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用讲解

选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》
§2.1.1 椭圆及其标准方程
【知识要点】
● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹．
● 标准方程：（1）()22
2210x y a b a b
+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；
（2）()22
2210y x a b a b
+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．
【例题精讲】
【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的
标准方程．
【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求椭圆的标准方程．
点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．
【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．
【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．
【基础达标】
1．椭圆22
1259
x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．10
2．椭圆22
11312
x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．213
3．已知 F 1，F 2是椭圆22
1259
x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）
A ．10
B ．16
C ．20
D ．32
4．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）
A ．
2212012x y += B ．22
140036
x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=
5．椭圆22
14
x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．16
6．椭圆
22
1169
x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点
(
)
533，-的椭圆方程是 ．
1～5 ADCCA
【能力提高】
8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．
9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．
10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为
2
2
的动点的轨迹方程．
§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）
【知识要点】
● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．
【例题精讲】
【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正
方形，且离心率为
2
2
，求椭圆的方程．
【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2
214
x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．
【例 3】椭圆22
110036
x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．
【例 4】设P 是椭圆()2
2211x y a a
+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大
值．
【基础达标】
1．已知P 是椭圆
22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345
，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．
165 B ．665 C ．758
D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为1
2
，则 m =（ ） A ．3 B ．
32 C ．83 D ．23
3．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为1
3
，则椭圆的方程是（ ）
A ．
22
1144128
x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()129
0PF PF a a a
+=+>，则点P 的轨迹是（ ）
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）
A ．
14 B ．22 C ．24 D ．1
2
6．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率1
2
e =
，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．
1～5 BBDDD
【能力提高】
8．求过点A（－1，－2）且与椭圆
22
1
69
x y
+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．
9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率
2
3
e=，短轴长为85，求椭圆的方程．
10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相
距m万千米和4
3
m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为
2
π
和
3
π
，求该卫星与
地球的最近距离．
§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】
●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．
【例题精讲】
【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()
22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、
B 两点，求线段AB 的中点坐标．
【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率25
5
e =
，求这个椭圆的方程．
【例 3】已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．
【例 4】如图，把椭圆
22
12516
x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F P F +45++P F P F
67+P F P F = ．
【基础达标】
1．椭圆22
110036
x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．8
2．已知椭圆()22
21525
x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长
为（ ）
A ．10
B ．20
C ．241
D ．441
3．椭圆221259
x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的 面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．8
4．椭圆22
1164
x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．10
5．如果椭圆22
1369
x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=0
6．与椭圆22
143
x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是 ． 7．离心率53e =
，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的椭圆的标准方程是 ． F
1～5 DDBAD 【能力提高】
8．已知椭圆
22
1
94
x y
+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐
标．
9．过椭圆
22
1
94
x y
+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．
10．椭圆
22
1
164
x y
+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为
1
4
-．求证22
OP OQ
+为
定值．
§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】
●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；
●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；
● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．
【例题精讲】
【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．
【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()
13,42P -、29
,54P
⎛⎫ ⎪⎝⎭
在此双曲线上，求双曲线的标准方程．
【例 3】点 A 位于双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心
G 的轨迹方程．
【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．
（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；
（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．
【基础达标】
1．双曲线22
22
1124x y m m
-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关
2．椭圆222+134x y n =和双曲线22
2116
x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（ ） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．9
3．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22
221x y a b
-=有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点
4．过双曲线22
1169
x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．12
5．设F 1，F 2是双曲线2
214
x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（ ）
A ．1
B ．
5
5
C ．2
D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是 ．
7．方程22
+111x y k k
=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是 ．
1～5 CBDAB
【能力提高】
8．求与双曲线
22
1164
x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．
9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．
10．已知点()3,0A -和(
)
3,0B
，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与
直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．
§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）
【知识要点】
● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．
【例题精讲】
【例 1】求双曲线2
2
14
y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．
【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．
【例 3】求与双曲线22
1169
x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．
【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =
1
2
sin A ，求点 A 的轨迹．
【基础达标】
1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．
221164x y -= B ．221416
x y -= C ．2212x y -= D ．22
12y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）
A ．
221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．22
1610
x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（ ）
A ．()0m n ±-，
B ．()0n m ±-，
C ．()0m n ±-，
D ．()
0n m ±-，
5．与双曲线
22
1916
x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．
7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．
1～5 AACBC
【能力提高】
8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．
9．求以椭圆
22
+1
6416
x y
=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为
5
6
π
的双曲线方程．
10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F
1和F
2
是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF
1
|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．
§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）
【例题精讲】
【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =
，那么
它的离心率是（ ）
A ．63
B ．4
C ．2
D ．3
【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4
πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB 的长．
【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小
值为1
3
-．求动点P 的轨迹方程．
【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．
【基础达标】
1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（ ） A ．
32 B ．3 C ．4
3
D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）
A B C D
6．双曲线
22
197
x y -=的右焦点到右顶点的距离为 ． 7．与椭圆22
+11625
x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为 ．
1～5 DDCBC
【能力提高】
8．设双曲线()22
2210x y a b a b
-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l
y
o
x y
o
x y
o
x y
o
x
的距离为
3
4
c ，求此双曲线的离心率．
9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2
214
x y -=的弦所在直线方程．
10．设双曲线 C 1的方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上
的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．
§2.3.1 抛物线及其标准方程
【知识要点】
● 掌握抛物线的定义．
● 标准方程的不同形式及其推导过程．
● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．
【例题精讲】
【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．
【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）
【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）
A．48 B．56 C．64 D．72
【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．
【基础达标】
1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是 （ ） A ．4a x =-
B ．4
a
x = C ．4a x =- D ．4a x =
2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（ ） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x
4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（ ）
A ．（0，－1）
B ．（0，1）
C ．（0，－2）
D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为
34
π
的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（ ） A ．42 B ．4 C ．8 D ．2
6．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是 ． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程 是 ．
1～5 AACBC
【能力提高】
8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．
9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．
10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?
§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）
【知识要点】
● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．
【例题精讲】
【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()
2,22M -，求它的
标准方程．
x
y O
【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．
【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0
p>上，求这个正三角形的边长．
【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．
【基础达标】
1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（ ）
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
2．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=
1
2
y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．4
5．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()
1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是 ．
7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 ．
1～5 BABAD
【能力提高】
8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实
轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，求二者的方程．
9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．
p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0
线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．
§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）
【例题精讲】
【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．
（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．
【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛 物线
的焦点 F 重合．
（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点 M 的坐标； （3）求 B C 所在直线的方程．
【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（ ）
A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3
【基础达标】
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方 程是（ ）
A ．y 2=16x
B ．x 2=－12y
C ．y 2=8x 或x 2=－6y
D ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()
5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（ ）
A ．正方形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．任意四边形
4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（ ）
A ．（2，2）
B ．（0，0）
C ．（－2，－2）
D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程 是 ．
7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．
1～5 DABBA
【能力提高】
8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．
9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．
10．已知抛物线C：y=x2+4x+7
2
，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若
C在点M的法线的斜率为
1
2
-，求点M的坐标（x0，y0）．
第二章圆锥曲线复习（一）
【知识要点】
●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．
●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．
●抛物线定义，抛物线的几何性质．
【例题精讲】
【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105
-，求椭圆方程．
【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
（Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；
（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．
【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22
+14
x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．
【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R
顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．
【基础达标】
1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（ ）
A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）
A．1
8
B．
1
32
C．2D．
3
16
3．椭圆
22
+1
259
x y
=上的点M到焦点F
1
的距离是2，N是M F
1
的中点，则ON为（）
A．4 B．2 C．8 D．3 2
4．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）
A．
3
2
B．
6
2
C．
3
2
D．2
5．椭圆
22
+1
259
x y
=的两焦点F
1
，F
2
，过F
2
引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF
1
的周长为（）
A．5 B．15 C．10 D．20
6．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．
7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．
1～5 BBACD
【能力提高】
8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．
9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．
10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．
第二章 圆锥曲线复习（二）
【例题精讲】
【例 1】已知直线 l 交椭圆
22
+12016
x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．
【例 2】已知倾斜角为
4
π
的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．
【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P
为FB 的中点．
（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； （Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．
【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．
【基础达标】
1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线左支
C ．一条射线
D ．双曲线右支
2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13
，则所得曲线的方程是（ ） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22
+1364
x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22
+1169
x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）
A ．3
B ．8
C ．13
D ．16
4．曲线()()22346225
x y x y ---+-=的离心率为（ ） A ．
110 B ．12
C ．2
D ．无法确定
5．抛物线y2=1
4
x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）
A．（1，0）B．
1
16
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，C．（0，1）D．
1
16
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．
7．以双曲线
22
1
45
x y
-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．
1～5 C CABD 【能力提高】
8．设F1，F2为双曲线
2
21
4
x
y
-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2
的面积．
9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
10．设椭圆
22
+1
62
x y
=和双曲线
2
21
3
x
y
-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求
cos∠F1PF2的值．。