论文：大数定律及其应用

大数定律及其应用
学生姓名：徐转学号：20110401266
数学与计算机科学系数学与应用数学专业
指导教师：任园园职称：讲师
摘要:本文介绍了几个常见的大数定律及其在生活中应用,具体包括在数学分析中定积分以及在保险业中等方面的应用,进一步说明了大数定律在各分支学科中的重要作用和应用价值.
关键词：大数定律；保险；应用
Abstract : we introduce several common law of large numbers and often used in our daily life, including the integration and application of medium in the insurance industry in terms of mathematical analysis, we obvious the important function and application value on the law of large numbers in various branches.
Key Words：the law of large numbers；insurance；a ppl ication
前言
大数定律是概率历史上第一个极限定理.常见的大数定律有伯努利大数定律，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律等.
一方面，大数定律是一种解决方案,一个新的双积分的收敛条件的思想，另一方面,大数定律在国内外的市场上都得到了很好的应用,尤其是在实际生活中的应用.很多研究者在这个领域都取得了很大的成果.所以继续研究大数定律是一个非常有价值的方向,通过这些问题的研究,不仅仅可以让人们更加的了解大数定律，而且很多数学问题以及生活问题都可以得到解决.
1.大数定律
1.1大数定律的发展史
1733年，德莫佛--拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限是正态分布.接着拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广成了更一般的分布.1900年,李雅普诺夫也进一步促进他们的结论,并对特征函数法进行创造,把它命名为“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨是中心极限定理
成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情况下的显著进展. 1.2 几个常见的大数定律
（伯努利大数定律） 如果n S 为n 重伯努利试验中的事件A 发生的次数,p 为每次试验中A 出现的频率,那么对任意的0>ε，有
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<-∞→εp n S P n n lim （切比雪夫大数定律） 如果{}n X 为一列两两不相关的随机变量序列,若每个
i X 的方差存在,且有共同的上界,即(),,2,1, =≤i c X Var i 则{}i X 服从大数定律,那么对任意的0>ε,下式成立.
()111lim 11=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i n
i i i n X E n X n P （马尔科夫大数定律）有随机变量序列{}n X ,如果0112→⎪⎭⎫
⎝⎛∑=n i i X Var n 成立,那
么{}n X 服从大数定律,所以对任意的0>ε,则
()111lim 11=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i n
i i i n X E n X n P 成立.
（辛钦大数定律） 如果{}n X 为一独立同分布的随机变量序列,假设i X 的数学期望存在,那么{}n X 服从大数定律,所以对任意的0>ε,有
()111lim 11=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i n
i i i n X E n X n P （泊松大数定律）如果n S 为n 次独立分布试验中的,事件A 出现的次数,而事件A 在第i 次试验时出现的概率为i p ， ,,,2,1n i =,所以对任意的0>ε,有
11lim 1=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<-∑=∞→εn i i n n p n n S P
2.大数定律在数学分析中的一些应用
2.1大数定律在收敛问题中的应用
例1 设()x f 为区间[]b a ,上的连续函数,则存在多项式序列(){}x N n ,于[]b a ,上一致收敛于()x f .
证明 先从区间[]1,0上证明,也可以变量变换：()a t a b x +-=,可将[]b a ,化为
[]1,0,[].1,0∈t 令
()()
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=∑n k f x x C x N k
n k
n
k k n n 10 显然有()()()(),11,00f N f N n n ==故当0=x 或1=x 时的收敛问题解决.现只考虑()1,0∈x 时的收敛问题.
设μ～()()1,0,1,,∈≥x n x n B 则
()()x N x x C n k f n f E n k
n k k n n k n =-⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑10μ 有
()()()()k
n k k n n
k n x x C x f n k f x f x N -=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∑10
所以
()()()()k n k
k n n
k n x x C x f n k f x f x N -=--⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑10
因为()x f 在上[]1,0连续,所以()x f 在[]1,0上有界，设()k x f ≤，且()x f 在[]1,0上一致连续,那么对任意的0>ε,存在0>δ,使得当
δ<-x n
k
时，就有
()2ε<-⎪⎭
⎫
⎝⎛x f n k f .
由伯努里大数定律，得
x n
p
n
−→−μ，所以对0>δ，存在0>N ，使得当N n >时
就有k
x n P n 4ε
δμ<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-.
从而当N n >时,所以()1,0∈x 有
()()()()k n k
k n x n
k
n x x C x f n k f x f x N -<---⎪⎭⎫ ⎝⎛≤
-∑
1δ
+
()()k n k k n x n
k
x x C x f n k f -≥---⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑
1δ <
()
k
n k x n
k
k n x x C k
-≥--+∑122
δε
=
εε
εδμε
=+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+2
222x n kP n . 证毕.
2.2大数定律在定积分方面的应用
例2 有0()1f x ≤≤,求()x f 在区间[]1,0上的积分值.
=
J dx x f ⎰
1
)(
解 二维随机变量()Y X ,服从正方形{}10,10≤≤≤≤y x 上的均匀分布,则可知
X 服从[]1,0上的均匀分布,Y 也服从[]1,0上的均匀分布,且X 与Y 独立.又记事件
(){}X f Y A ≤=
则A 的概率为
()()X f Y P p ≤==⎰
⎰
10)
(0
x f dydx =dx x f ⎰1
)(=J
即定积分的值J 就是事件A 的概率p .即将()Y X ,看成是向正方形
{},10,10≤≤≤≤Y X 内的随机投的点，用随机点落在区域(){}x f y ≤中的频率作为定
积分的近似值.
下面用蒙特卡罗方法得到A 出现的频率：
（1）先用计算机产生[]1,0上均匀分布的n 2个随机数,组成n 对随机数
(),,1,2,
,i i x y i n =,这里的n 可以很大,譬如n =410,甚至510=n .
图1：关于随机投点法的图
（2）n 对数据（i x ，i y ），1,2,,i n =记录满足如下不等式i y ≤)(i x f 的次数，
这就是事件A 发生的频率
n S n ,则≈J n
S
n 譬如计算
dx
e x
π21
2
2
⎰
-,其精确值和在5410,10==n n 时的模拟值如下：
表1：关于模拟值的表
精确度
410=n 510=n
341344.0 340698.0 341355.0
注意,对于一般区间[]b a ,上的定积分
'J =dx
x g b
a ⎰)(
作线性变换)()(a b a x y --=,即可化成[]1,0,区间上的积分,进一步若
d x g c ≤≤)(,
]))(([1
)
(c y a b a g c
d y f --+- 则1)(0≤≤y f .此时有
1
00
'()()()b a
J g x dx S f y dy c b a ⋅=⋅+-⎰⎰
其实))((0c d a b S --=.这说明以上用蒙特卡洛方法计算定积分方法带有普遍意义.
3.大数定律在实际中的应用
3.1大数定律在保险业中的应用
例3有一家保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为006.0，死亡时，家属可以向保险公司领1000元.试问：家庭的平均支付9.5元赔偿1.6元的概率？保险公司的概率有多大？损失钱吗？
解 如果用
∑
=10000
1
i 表示保险公司给家属的赔偿金,那么，
()()16, 5.9641,2,
,
1000010000i i E X D X i ⎛
⎫
=== ⎪⎝
⎭
,诸i X 相互独立. 则∑==
10000
1
i i
X
X 表示保险公司赔给每家的钱
()()410964.5,5-⨯==X D X E
由中心定理,X ～()20244.0,6N
{}
()99996.0109.420245.061.60245.069.51.69.5=-Φ=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<<X P
保险公司亏本,也就是赔偿金额大于12万元左右,即死亡人数大于100人的概率.设死亡人数为Y ,则Y ～()()()64.59,60,006.0,10000==Y D Y E B ,Y 近似服从正态分布()64,59.60N ，那么
{}{}()777.71201120=Φ-=≤-=>Y P Y P
则
{}()9952.059.264.59608080=Φ=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=<Y P
在保险市场的竞争，一是减少5元的保险费,另一个是提高1000元的赔偿,对于保险公司来说,收益是一样的,采用提高赔偿金比例降低5元保险费更能吸引投保户.
3.2大数定律在产品中的应用
例 4 有一大批无线电元件,合格品占
6
1
,从中任意选择6000个,试问把误差限ε定为多少时,才能保证频率与概率之差的绝对值不大于ε的概率为99.0？
解 设6000个电器元件中合格品为μμ,～()p n B ,，其中6
5
,61,6000===q p n ，
有大数定律得
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛<-<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-pq n npq
np
pq n P P εμεεμ61
6000 99.012=-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
Φ≈pq n ε
即995.0=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛Φpq n ε
,找查表的0124.0,58.26
5616000==⨯=εεεpq n ,把
0124.0=ε代入上式得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-0124.061
6000μP =()4.741000<-μP
=()99.04.10746.925=<<μP 就是说相应合格品的个数落在962个与1074个之间. 3.3大数定律在学校中的应用
例5 一所学校的900名学生的“高等数学”课程的教师6人,假设每个学生完全随机选择教师和教师之间的选择,同学们都是相互独立的.那么上课教室应该有
多少个座位,才能让学生不因为没有座位离去的概率小于%1.
解 设教师设i X 个座位，那么 i X =101,2,,900.{i i =，若第个学生选择教师甲，
，其他，
依题意，()(),6
5
0,611====i i X P X P 且900,,
,i i X X X 相互独立同分布.选择教
师甲的学生总数为.9001
∑==i i X X 为使学生不因缺少座位而离去,必须X M ≥,为此要
决定()(
)1515
,.0,1,2,,900,66636
6
i i E X D X i σ===
≠==
得 ()()⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-≤
⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤∑∑==55150653069001
9001M X P M X P M X P i i
i i %.9955150≥⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ≈M
查标准正态分布表得
.05.1765533.2150,33.25
5150
=⨯+≥≥-M M 因此取177=M 即可.
每个教师的上课教室应该设有177个座位才可保证因缺少座位而使学生离去的概率小于%1.
3.4大数定律在货运中的应用
例6 在一个生产车间中要把产品成箱包装，每箱的重量随机.如果每箱平均重量kg 50,标准差为kg 5.用最大载重量为5吨汽车承载，那么每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于977.0（().977.02=Φ其中()x Φ是标准正态分布函数）.
解 设i X ()n i ,,2,1 =是转运的第i 箱的重量（单位：千克），n 是所求箱数.12,,
,n X X X 可视为独立同分布随机变量,n 箱总量n n X X X T +++= 21，则
()()()().5,50,5,50n T D n T E X D X E i i i i ====
根据独立同分布定理得，n T 近似服从正态分布()n n N 25,50
()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤n n
n T P T P n n 550005505000
()2977.0101000Φ=>⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ≈n n
于是，
0199.98,2101000<>-n n
n
即最多可以装98箱. 4.小结
本文在理论上,我们介绍了几个常见的大数定律,利用大数定律在收敛和在定积分方面的应用,为我们以后在数学方面的研究提供了很好的参考；保险业等实际中的应用,更好的把数学应用到了生活中,合理的分配了数学与科学的区别,大数定律已经成了不可缺少的一部分.
在未来的社会发展中,大数定律将发挥不可替代的作用.甚至在航空航海方面都会得到很好的应用,它将大量促进人类社会和谐发展的规律,体现自己的价值.
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致谢词
四年的大学生活就快走到尾声，我们的校园生活就要画上句号，心中是无尽的难舍与眷恋..从这里走出去,对我的人生来说,就是她上一个新的征途,要把所学的知识应用到实际工作中去.
回首四年,取得了一定的成就,生活中有快乐也有艰辛.生活中有许多困难，感谢老师四年来对我的孜孜不倦的教导,对我成长的关心和爱护.也感谢340号房的姐妹,四年的风风雨雨,我们走在一起,充满了爱,给我留下了值得珍藏的最美好的记忆.
在我的十几年求学历程里,离不开父母的鼓励和支持,是他们辛勤的劳作,无私的付出,为我创造良好的学习条件,我才能顺利完成完成学业,感激他们一直以来对我的抚养与培育.
最后，我要特别感谢任园园老师.是她在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励,使我能够顺利完成毕业设计,在此表示衷心的感激.论文从课题选择、方案论证到具体设计和调试,无不凝聚着任老师的心血和汗水,任老师认真负责的工作态度,严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅.可以说,没有任老师的帮助就没有今天的这篇论文,无论遇到哪些问题她始终给予我细心的指导和不懈的支持都给与我很大的帮助,使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助.在此,向任老师表示我衷心的感谢.
11。