论文：大数定律及其应用

大数定律及其应用

学生姓名：徐转学号：20110401266

数学与计算机科学系数学与应用数学专业

指导教师：任园园职称：讲师

摘要:本文介绍了几个常见的大数定律及其在生活中应用,具体包括在数学分析中定积分以及在保险业中等方面的应用,进一步说明了大数定律在各分支学科中的重要作用和应用价值.

关键词：大数定律；保险；应用

Abstract : we introduce several common law of large numbers and often used in our daily life, including the integration and application of medium in the insurance industry in terms of mathematical analysis, we obvious the important function and application value on the law of large numbers in various branches.

Key Words：the law of large numbers；insurance；a ppl ication

前言

大数定律是概率历史上第一个极限定理.常见的大数定律有伯努利大数定律，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律等.

一方面，大数定律是一种解决方案,一个新的双积分的收敛条件的思想，另一方面,大数定律在国内外的市场上都得到了很好的应用,尤其是在实际生活中的应用.很多研究者在这个领域都取得了很大的成果.所以继续研究大数定律是一个非常有价值的方向,通过这些问题的研究,不仅仅可以让人们更加的了解大数定律，而且很多数学问题以及生活问题都可以得到解决.

1.大数定律

1.1大数定律的发展史

1733年，德莫佛--拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限是正态分布.接着拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广成了更一般的分布.1900年,李雅普诺夫也进一步促进他们的结论,并对特征函数法进行创造,把它命名为“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨是中心极限定理

成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情况下的显著进展. 1.2 几个常见的大数定律

（伯努利大数定律） 如果n S 为n 重伯努利试验中的事件A 发生的次数,p 为每次试验中A 出现的频率,那么对任意的0>ε，有

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛<-∞→εp n S P n n lim （切比雪夫大数定律） 如果{}n X 为一列两两不相关的随机变量序列,若每个

i X 的方差存在,且有共同的上界,即(),,2,1, =≤i c X Var i 则{}i X 服从大数定律,那么对任意的0>ε,下式成立.

()111lim 11=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i n

i i i n X E n X n P （马尔科夫大数定律）有随机变量序列{}n X ,如果0112→⎪⎭⎫

⎝⎛∑=n i i X Var n 成立,那

么{}n X 服从大数定律,所以对任意的0>ε,则

()111lim 11=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i n

i i i n X E n X n P 成立.

（辛钦大数定律） 如果{}n X 为一独立同分布的随机变量序列,假设i X 的数学期望存在,那么{}n X 服从大数定律,所以对任意的0>ε,有

()111lim 11=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i n

i i i n X E n X n P （泊松大数定律）如果n S 为n 次独立分布试验中的,事件A 出现的次数,而事件A 在第i 次试验时出现的概率为i p ， ,,,2,1n i =,所以对任意的0>ε,有

11lim 1=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛<-∑=∞→εn i i n n p n n S P

2.大数定律在数学分析中的一些应用

2.1大数定律在收敛问题中的应用

例1 设()x f 为区间[]b a ,上的连续函数,则存在多项式序列(){}x N n ,于[]b a ,上一致收敛于()x f .

证明 先从区间[]1,0上证明,也可以变量变换：()a t a b x +-=,可将[]b a ,化为

[]1,0,[].1,0∈t 令

()()

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=∑n k f x x C x N k

n k

n

k k n n 10 显然有()()()(),11,00f N f N n n ==故当0=x 或1=x 时的收敛问题解决.现只考虑()1,0∈x 时的收敛问题.

设μ～()()1,0,1,,∈≥x n x n B 则

()()x N x x C n k f n f E n k

n k k n n k n =-⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑10μ 有

()()()()k

n k k n n

k n x x C x f n k f x f x N -=-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∑10

所以

()()()()k n k

k n n

k n x x C x f n k f x f x N -=--⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑10

因为()x f 在上[]1,0连续,所以()x f 在[]1,0上有界，设()k x f ≤，且()x f 在[]1,0上一致连续,那么对任意的0>ε,存在0>δ,使得当

δ<-x n

k

时，就有