源于课本 高于课本

源于课本高于课本
【摘要】本文对2011年高考全国一卷第21题进行探源，并对结论进行了推广、引申.
【关键词】四点共圆；高考试题；高中数学
近期看到2011年高考全国卷一第21题突有感悟，笔者对它进行探源，并对结论进行了推广、引申.
1 试题再现
已知o为坐标原点，f为椭圆c：x■+■=1在y轴正半轴上的焦点，过f且斜率为-■的直线l与c交于a、b两点，点p满足■+■+■=■.
（ⅰ）证明：点p在c上；
（ⅱ）设点p关于原点o的对称点为q，证明：a、p、b、q四点在同一圆上.
解：（ⅰ）（略）
（ⅱ）由（ⅰ）和题设知p-■，-1，q■，1，所以pq的垂直平分线l■的方程为：
y=-■x①
设ab的中点为m，则m■，■，ab的垂直平分线l■的方程为：y=■x+■②
由①②得l■、l■的交点为n-■，■.
由两点间距离公式得：
np=■=■.
由弦长公式得：ab=■·x■-x■=■.所以am=■ab=■.
由两点间距离公式得：
mn=■=■.
据勾股定理有：na=■=■.
故np=na.
又np=nq，na=nb，所以na=np=nb=nq.由此知a、p、b、q四点在以n为圆心，na为半径的圆上，即在圆x+■■+y-■■=■上.
2 试题探源
要研究这题，先一起来看看人教版选修4-4 p38例4：
已知ab、cd是椭圆■+■=1（a>b>0）的两条相交弦，交点为p，且它们的倾斜角互补，求证pa·pb=pc·pd.
该结论等价于四点a、b、c、d共圆.可以说该题是源于课本.能否通过这题得到一般性的结论呢？
3 引出定理
四点共圆的一个定理：ab和cd是圆锥曲线的两条相交弦，且ab 与cd交于点px■，y■，则四点a、b、c、d共圆的充要条件是：k ■+k■=0（或者是说直线ab与直线cd的倾斜角互补）.
证明：不妨设圆锥曲线方程为：1-e■x■+y■-2pe■x-e■p■=0，其中e，p是正的常数.
设ab的参数方程为：x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数），代入圆锥曲线方程整理后得：1-e■cos■αt■+2cosα1-e■x■+y ■sinα-pe■cosαt+1-e■x■■+y■■-2pe■x■-e■p■=0
据韦达定理有：t■t■=■.同理把直线cd的参数方程代入椭圆方程有：t■t■=■.根据圆幂定理，a、b、c、d四点共圆的充要条件ap·pb=cp·pd有：1-e■cos■α=1-e■cos■β，整理得：cos2α=cos2β，又因为α≠β，α、β∈（0，π）所以α+β=π，即k■+k■=0即四点a、b、c、d共圆的充要条件是k■+k■=0.
4 定理应用
通过上述的研究，2011年高考全国卷一第21题若能用四点共圆的定理来做，就变得简单易懂了.
解：由（ⅰ）可知p-■，-1，q■，1，从而k■=■=■，k■=-■.所以k■+k■=0，由四点共圆的充要条件得a、p、b、q四点在同一圆上.
上述定理也可以用来简洁的解决近几年的高考：
（2005年湖北卷）设a、b是椭圆3x■+y■=λ上的两点，点n （1，3）是线段ab的中点，线段ab的垂直平分线与椭圆相交于c、d两点.
（ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线ab的方程；
（ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得a、b、c、d四点在同一个圆上？并说明理由.
显然，2005年的湖北卷也可用这个定理来解答.其实在几何证明选讲中也常有四点共圆的问题，如2009年宁夏卷第22题，2010年天津卷第14题，2011年海南卷第22题等.
5 引申拓展
已知ab与cd是圆锥曲线的两条弦，若四点a、b、c、d共圆，如何求该四点共圆的圆的方程.
分析：
解法一：先找出圆心，即两弦的垂直平分线的交点，再求出半径（见本文全国卷的解法）.
解法二：用二次曲线系方程.下面不妨以椭圆为例，用二次曲线系方程求四点共圆的圆的方程.
已知椭圆■+■=1（a>b>0），ab与cd是圆锥曲线的两条弦，若四点a、b、c、d共圆，求过a、b、c、d四点的圆的方程.
解：设直线ab的方程：kx-y+m=0，直线cd的方程：kx+y-n=0，则过 a、b、c、d的二次曲线系方程为：
（kx-y+m）（kx+y-n）+λb■x■+a■y■-a■b■=0（λ为参数）.展开整理得：
k■+λb■x■+λa■-1y■+k（m-n）x+（m+n）y-mn-λa■b■=0③
当k■+λb■=λa■-1即λ=■时，③式表示过a、b、c、d四点的圆，即圆的方程为：
x■+y■+■x+■y-■=0 λ=■.
6 教学感悟
课本中的例题、习题是众多教材编写者智慧的结晶.每年的高考试题中都有一些以课本上的例题、习题为“根”而生成的.因此教学或是复习中要重视课本例题、习题.对这些题目进行一题多解、
加强或削弱条件和结论、延伸与拓展等，真正达到对例题、习题的使用“源于课本，又高于课本”.同时尽量让课本例题、习题与高考试题有效链接，不仅提高习题的研究价值，又真正体现高考试题植根于课本，着眼于提高.总之，在课本中寻找高考题的“影子”，在高考题中寻找课本题的原型，是有效教学的基本策略，也是教师提高自身专业水平的途径.
【参考文献】
[1]人民教育出版社课程教材研究所，等，编.普通高中课程标准试验科教书：数学选修4-4 a版坐标系与参数方程[m].2版.北京：人民教育出版社，1978，1.
[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中课程标准：实验[m].北京：人民教育出版社， 2004.
[3]续铁权.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[j].数学通讯，1998（11）.
[4]崔宝法.圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论[j].数学通讯，2007（11）.
[责任编辑：王迎迎]。