函数列与函数项级数

§3.2 函数列与函数项级数

一、主要知识点和方法

1、基本概念

函数列 收敛域 极限函数

设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列

{()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。 {()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为

极限函数，记为()f x 。于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞

=，或记为

()()D

n f x f x −−→，称{()}

n f x 在D 上收敛于()f x 。 函数列一致收敛性

若0ε∀>，N ∃，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，

则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()D

n f x f x −−−→一致。

函数列一致有界性

若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()}

n f x 在D 上一致有界。 函数项级数 和函数

设{()}n u x 是E 上的函数列，称

1

()n n u x ∞

=∑为E 上的函数项级数。 若其

部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1

()

n n u x ∞

=∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为

1

()()n n u x S x ∞

==

∑。

函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是

1

()n

n u x ∞

=∑的部分和函数列，若()()D

n

S x S x −−−

→一致

，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。

柯西一致收敛准则

{()}n f x 在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当

,m n N >时，对任意x D ∈都有()()n m f x f x ε-<。

1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当

m n N ≥>时，对任意x D ∈都有

()m

k k n

u x ε=<∑。

1

()n

n u x ∞

=∑在D 上一致收敛的必要条件：()0D

n

u x −−−

→一致

。 一致收敛确界判别法

()()D

n f x f x −−−→一致

的充要条件是limsup ()()0n n x D

f x f x →∞∈-=。 1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是l i m s u p ()0n

n x D

R

x →∞∈=（其中

1

()()n k

k n R x u

x +∞

=+=

∑称为余和）

。 函数项级数一致收敛M 判别法

若存在数列{}n M ，使得对任意x D ∈都有()n n u x M ≤（1,2,n = ），并且

1

n

n M

∞

=∑收敛，则

1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛。

函数项级数一致收敛狄利克雷判别法 若部分和函数列1

{

()}n

k k u x =∑在D 上一致有界；对每个固定的x D ∈，

{()}n v x 为单调数列，并且()0D

n v x −−−→一致

。则()()n

n

u x v

x ∑在D 上一致收

敛。

函数项级数一致收敛阿贝尔判别法 若

1

()k

k u x ∞

=∑在D 上一致收敛；对每个固定的x D ∈，{()}n

v x 为单调

数列，函数列{()}n v x 在D 上一致有界。则

()()n

n

u x v x ∑在D 上一致收敛。

连续性定理 可积性定理

若()n f x 在D 上连续（1,2,n = ），并且()()D

n f x f x −−−→一致

，则极限函数()f x 在D 上连续。

若()n u x 在D 上连续（1,2,n = ），并且

1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛于

()S x ，则和函数()S x 在D 上连续。

当D 为闭区间[,]a b 时，在上述条件下成立等式：

lim ()d lim ()d ()d b b b

n n a a a

n n f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰（积分与极限可交换）

。 11()d ()d b

b n n a n n a u x x u x x ∞∞==⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

⎛⎜⎠∑∑⎰（可逐项积分）

。 关于逐项积分的条件可稍作减弱（范例27） 可微性定理

若1()[,]n f x C a b ∈（1,2,n = ）

，{()}n f x 在[,]a b 上收敛于()f x ，{()}n f x '在[,]a b 上一致收敛，则极限函数()f x 可微并且

()lim ()lim ()n n n n f x f x f x →∞→∞

'

⎡⎤''==⎣⎦（求导与极限可交换）

若1

()[,]n u x C a b ∈（1,2,n = ），

1

()n

n u x ∞=∑在[,]a b 收敛于()S x ，1

()

n

n u x ∞

='∑在[,]a b 一致收敛，则和函数()S x 可微并且

11

()()()n n n n S x u x u x ∞∞

=='⎛⎫''== ⎪⎝⎭∑∑（可逐项求导）。

二、范例分析

1、讨论{()}{}nx

n f x n xe α

-=在[0,1]的收敛性和一致收敛性。

解：对任意实数

α都有l

i m ()0()n n f x f x →∞

== [0,1]x ∈，即对任意实数