函数列与函数项级数

§3.2 函数列与函数项级数
一、主要知识点和方法
1、基本概念
函数列 收敛域 极限函数
设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列
{()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。

所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。

{()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为
极限函数，记为()f x 。

于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞
=，或记为
()()D
n f x f x −−→，称{()}
n f x 在D 上收敛于()f x 。

函数列一致收敛性
若0ε∀>，N ∃，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，
则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()D
n f x f x −−−→一致。

函数列一致有界性
若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()}
n f x 在D 上一致有界。

函数项级数 和函数
设{()}n u x 是E 上的函数列，称
1
()n n u x ∞
=∑为E 上的函数项级数。

若其
部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1
()
n n u x ∞
=∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为
1
()()n n u x S x ∞
==
∑。

函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是
1
()n
n u x ∞
=∑的部分和函数列，若()()D
n
S x S x −−−
→一致
，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。

柯西一致收敛准则
{()}n f x 在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当
,m n N >时，对任意x D ∈都有()()n m f x f x ε-<。

1
()n n u x ∞
=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当
m n N ≥>时，对任意x D ∈都有
()m
k k n
u x ε=<∑。

1
()n
n u x ∞
=∑在D 上一致收敛的必要条件：()0D
n
u x −−−
→一致。

一致收敛确界判别法
()()D
n f x f x −−−→一致
的充要条件是limsup ()()0n n x D
f x f x →∞∈-=。

1
()n n u x ∞
=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是l i m s u p ()0n
n x D
R
x →∞∈=（其中
1
()()n k
k n R x u
x +∞
=+=
∑称为余和）。

函数项级数一致收敛M 判别法
若存在数列{}n M ，使得对任意x D ∈都有()n n u x M ≤（1,2,n = ），并且
1
n
n M
∞
=∑收敛，则
1
()n n u x ∞
=∑在D 上一致收敛。

函数项级数一致收敛狄利克雷判别法 若部分和函数列1
{
()}n
k k u x =∑在D 上一致有界；对每个固定的x D ∈，
{()}n v x 为单调数列，并且()0D
n v x −−−→一致。

则()()n
n
u x v
x ∑在D 上一致收
敛。

函数项级数一致收敛阿贝尔判别法 若
1
()k
k u x ∞
=∑在D 上一致收敛；对每个固定的x D ∈，{()}n
v x 为单调
数列，函数列{()}n v x 在D 上一致有界。

则
()()n
n
u x v x ∑在D 上一致收敛。

连续性定理 可积性定理
若()n f x 在D 上连续（1,2,n = ），并且()()D
n f x f x −−−→一致
，则极限函数()f x 在D 上连续。

若()n u x 在D 上连续（1,2,n = ），并且
1
()n n u x ∞
=∑在D 上一致收敛于
()S x ，则和函数()S x 在D 上连续。

当D 为闭区间[,]a b 时，在上述条件下成立等式：
lim ()d lim ()d ()d b b b
n n a a a
n n f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰（积分与极限可交换）。

11()d ()d b
b n n a n n a u x x u x x ∞∞==⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
⎛⎜⎠∑∑⎰（可逐项积分）。

关于逐项积分的条件可稍作减弱（范例27） 可微性定理
若1()[,]n f x C a b ∈（1,2,n = ）
，{()}n f x 在[,]a b 上收敛于()f x ，{()}n f x '在[,]a b 上一致收敛，则极限函数()f x 可微并且
()lim ()lim ()n n n n f x f x f x →∞→∞
'
⎡⎤''==⎣⎦（求导与极限可交换）
若1
()[,]n u x C a b ∈（1,2,n = ），
1
()n
n u x ∞=∑在[,]a b 收敛于()S x ，1
()
n
n u x ∞
='∑在[,]a b 一致收敛，则和函数()S x 可微并且
11
()()()n n n n S x u x u x ∞∞
=='⎛⎫''== ⎪⎝⎭∑∑（可逐项求导）。

二、范例分析
1、讨论{()}{}nx
n f x n xe α
-=在[0,1]的收敛性和一致收敛性。

解：对任意实数
α都有l
i m ()0()n n f x f x →∞
== [0,1]x ∈，即对任意实数
α，{()}{}nx n f x n xe α-=在[0,1]都收敛，极限函数为()0f x ≡。

由于1
1[0,1][0,]
1s u p ()()m a x ()()n n n x x e f x f x f x f n n α--∈∈-===，所以由确界判别法，当1α≥时{}nx n xe α-在[0,1]收敛但不一致收敛，当1α<时{}nx n xe α-在[0,1]
一致收敛。

注：当极限函数容易求得时，通常可用确界法判断一致收敛性。

2、设()f x 在[0,1]上连续。

求证：{()}n x f x 在[0,1]一致收敛的充要
条件是(1)0f =。

证：显然[0,1]x ∀∈有0
01()(1)1n
n x x f x f x →∞≤<⎧→⎨=⎩
，因此当(1)0f ≠时极
限函数在[0,1]不连续，由连续性定理可知{()}n x f x 在[0,1]不一致收敛。

必要性得证。

设(1)0f =，由连续性0ε∀>，0δ∃>，当11x δ-<≤时1n ∀≥都有
()()n x f x f x ε≤<。

设[0,1]
max ()x M f x ∈=，则对任意[0,1]x δ∈-
有()(1)n n x f x M δ≤-，所以{()}n x f x 在[0,1]δ-上一致收敛于0。

即N ∃，当n N >时[0,1]x δ∀∈-有
()n x f x ε<。

综上可知0ε∀>，N ∃，当n N >时[0,1]x ∀∈有()n
x f x ε<，即
{()}n x f x 在[0,1]一致收敛。

充分性得证。

3、设()n f x 可微（1,2,n = ），{()}n f x
在[,]a b 收敛，{()}n f x '在
[,]a b 一致有界。

求证：{()}n f x 在[,]a b 一致收敛。

证：设()(1[,])n f x M n x a b '≤∀≥∈、。

0ε∀>，作[,]a b 的分割01l a x x x b =<<<= 使13k k x x M
ε
--<
，依条
件知N ∃，当,m n N >时，对每个(0)k x k l ≤≤有()()3n k m k f x f x ε
-<
（柯
西准则）。

[,]x a b ∀∈，(1)k k l ∃≤≤使1[,]k k x x x -∈，于是当,m n N >时
()()()()()()()()
m n m m k m k n k n k n f x f x f x f x f x f x f x f x -≤-+-+-123
k k M x x ε
ε-≤-+
=（微分中值定理）。

即证。

注：柯西准则的优点是无须关注极限函数的具体形式和性质，直接由函数列本身作出一致收敛性判断。

本题也可用反证法证明。

4、设{()}n f x 在(,)a b 一致收敛，lim ()n n x b
f x β-
→=（1,2,n = ）。

则lim n
n β→∞
存在，并且lim ()lim n n x b
f x β-→∞
→=，或即lim lim ()lim lim ()n n n n x b x b
f x f x -
-→∞
→∞→→=。

证：0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，(,)x a b ∀∈有()()n m f x f x ε-<，令x b -
→得到
n m ββε-≤。

所以lim
n n β→∞存在，记lim n n ββ→∞
=。

存在充分大的0n 使得0()()3
n
f x f x ε
-<（(,)x a b ∀∈），03
n ε
ββ-<。

而对0n 存在0δ>，当b x b δ-<<时00()3
n n f x ε
β-<。

因此有
0000()()()()n n n n f x f x f x f x ββββε-≤-+-+-< （b x b δ-<<）。

注：本题的一个推论：若(,]n f C a b ∈，(,)
()()a b n f x f x −−−→一致
，则{()}n f b 收敛于(0)
()f b f b -=。

因此{()}n f x 在(,]a b 一致收敛于连续函数()f x 。

5、判
断在(0,)π的收敛性和一致收敛性。

解：
1(0,)
()0n x f x x ππ∈⎧==⎨
=⎩
在(0,]π不连续
，()n f x =(0,]π都连续（1,2,n = ），由连续性定理
，在(0,]π收敛但不一
致收敛，因此在(0,)π不一致收敛。

注：若{()}n f x 在0D D 上收敛但不一致收敛，0D 是有限集，则
或等价地，若{()}n f x 在0D D 上收敛，在D 上一致收敛，0D 是有限集，则{()}n f x 在0D D 上一致收敛。

6、设()f x 在(,)-∞+∞处处连续，0x ≠时()f x x <，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=（1n ≥）。

求证：对任意0A >，{()}n f x 在[,]A A -上一致收敛。

证：显然(0)0f =，x ∀∈ 有()f x x ≤，其中等号仅当0x =时成立。

0ε∀>，由于
()
f x x
在有界闭集x A ε≤≤上连续，所以存在01q ε≤<，使当
x A ε≤≤时
()
f x q x
ε≤，即()f x q x ε≤。

而当x ε≤时()f x x ε≤≤。

故在[,]A A -上()max{,}f x q x εε≤。

设()max{,}n
n f x q x εε≤（[,]x A A ∈-）
，考察1()n f x +：若()n f x ε≤，则1()(())()n n n f x f f x f x ε+=≤≤；若()n f x ε>，此时必有()n
n f x q x ε≤，于是11()(())
()n n n n
f x f f x q
f x q x
ε
ε++=
≤≤。

因此0ε∀>，当[,]x A A ∈-时()max{,}max{,}n n n f x q x q A εεεε≤≤。

由
于01q ε≤<，故可取N ，当n N >时n
q A εε<。

所以只要n N >，对任意
[,]x A A ∈-都有()n f x ε≤，即{()}n f x 在[,]A A -上一致收敛于0。

7、设()f x 在(,)-∞+∞处处连续，1
01()()n n k k
f x f x n
n -==+∑。

求证：{()}n f x 在[,]a b 一致收敛。

证：显然[,]x a b ∀∈有1
lim ()()d n n f x f x t t →∞
=
+⎰。

1
1
1
01()()d ()()d k n n
k n k n k f x f x t t f x f x t t n n +-=⎡⎤-+=+-+⎢⎥⎣⎦
∑⎰
⎰
1
1
0()()d k n n
k
k n
k f x f x t t n +-=⎡⎤
=+-+⎢⎥⎣⎦⎛⎜⎠∑，
由()f x 在[,1]a b +的一致连续性，0ε∀>，N ∃，当n N >时，[,]x a b ∀∈，
1[,]k k t n n +∈(0)k n ≤≤都有()()k f x f x t n
ε+-+<。

因此，当n N >时
[,]x a b ∀∈有1
1
()()d n n k f x f x t t n
ε
ε-=-+<=∑
⎰，即{()}
n f x 在[,]a b 一致收敛。

8、设()(1,2,)n f x n = 和()f x 在[,]a b 可积，2
l i m
()()d 0
b
n a
n f x f x x →∞-=⎰。

求证：对[,]a b 上
任意可积函数()g x ，()()d x
n a
f t
g t t ⎰
在[,]a b 一致收敛于
()()d x
a
f t
g t t ⎰。

证：
()()d ()()d [()()]()d
x
x x
n n a
a
a
f t
g t t f t g t t f t f t g t t -=-⎰
⎰⎰
()()
1
12
2
2
2
()()()d ()()d ()d x
x
x
n n a
a
a
f t f t
g t t f t f t t
g t t ≤-≤
-⎰⎰
⎰
()()
112
2
2
2
()()d ()d 0b
b
n a
a
n f t f t t
g t t
→∞
≤
-→⎰
⎰
，即证。

注：若x D ∀∈，()()0n n n f x f x α→∞
-≤→（其中
n α与x 无关）
，则{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x 。

9、设{()}n f x 是[,]a b 的连续函数列，在[,]a b 上收敛于连续函数
()f x ，[,]x a b ∀∈，数列{()}n f x 单调。

求证：{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛
于()f x 。

证：0ε∀>，[,]x a b ∀∈，x n ∃，使()()
x n f x f x ε-<，由x n f 的连续性，0x δ∃>，当(,)x x x x x δδ'∈-+时()()x n f x f x ε''-<。

又因{()}n f x '单调趋于()f x '，故当x n n >时()()n f x f x ε''-<（(,)x x x x x δδ'∈-+）。

由于[,
]
[,](,)x x x a b a b
x x δδ∈⊂-+ ，故存在m 个正整数k n 和开区间
(,)k k k k x x δδ-+(1)k m ≤≤，使得1[,](,)k k k k k m
a b x x δδ≤≤⊂-+ ，并且当k
n n ≥时在(,)k k k k x x δδ-+内有()()n f x f x ε-<(1)k m ≤≤。

0ε∀>，取1max{}k k m
N n ≤≤=，考察n N >：[,]x a b ∀∈，可取k {1,2,,}
m ∈ 使(,)k k k k x x x δδ∈-+，于是由k n N n >≥得到()()n f x f x ε-<。

注：上述命题称为狄尼定理。

相应于函数项级数情形的狄尼定理
叙述如下：设()n u x 在[,]a b 连续且非负（1,2,n = ），
()n
u x ∑在[,]a b 收
敛于连续函数。

则
()n
u x ∑在[,]a b 一致收敛。

10、证明：在任何闭区间[,]a b 上{(1)}n
x n
+一致收敛于x
e 。

证：当max{,0}n a >-时，[,]x a b ∀∈有
10x
n
+>，所以成立不等式1
1
11111111n n n n x n x x x n n n n n ++⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎝⎭⎢
⎥
+=⋅+≤=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

又l i m 1n
x n x e n →+∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
所以n →+∞时1n
x x e n ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭。

1n
x n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
、x
e 在[,]a b 连续，再由狄尼定理即证。

11、讨论
1
nx
n xn e
α∞
-=∑在(0,)+∞的收敛和一致收敛性。

解：设()nx
n u x xn e α-=。

易知01x p ∀>>、，当n →∞时()0p n n u x →，
所以
1
nx
n xn e
α∞
-=∑在(0,)+∞收敛。

1
110()n n e
u x u n n
α--⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭，
所以当0α<时，由M 判别法可知1
nx
n xn e
α∞
-=∑在(0,)+∞一致收敛。

0α≥时，()nx
n u x xe
-≥，1
()()1
nx nx
n x k n x R x xe e r x e +∞
--=+≥
=
=-∑
，
故当n →∞时101sup ()0n x R x r e n ->⎛⎫
≥→≠ ⎪⎝⎭
，由确界判别法可知
1
nx
n xn e
α∞
-=∑在(0,)+∞非一
致收敛。

12、设[,]x a b ∀∈，数列{()}n u x 单调递减收敛于0；1n ∀≥，()n u x 是
[,]a b 上单调函数。

求证：
1
(1)()n
n
n u x ∞
=-∑在[,]a b 一致收敛。

证：设max{(),()}n n n w u a u b =，则0n w →且[,]x a b ∀∈有0()n n u x w ≤≤，故[,]
()0a b n u x −−−→一致
，又{()}n u x 单
调，1
(1)n
k
k =-∑在[,]a b 一致有界，所以由狄
利克雷判别法，
1
(1)()n
n
n u x ∞
=-∑在[,]a b 一致收敛。

注：()n u x 在[,]a b 上的单调性保证了函数列{()}n u x 收敛的一致性。

13、设0a >，判断1
(1)(12)(1)n nx
x x nx ∞
=+++∑ 在(0,)a 与(,)a +∞的一致收敛性。

解：由比式判别法可知，0x ∀>，
1
(1)(12)(1)n nx
x x nx ∞
=+++∑ 收敛。

1()(1)(12)(1)
n k n kx
R x x x kx ∞
=+=
+++∑ 111
(1)(12)(1(1))(1)(12)(1)k n x x k x x x kx ∞
=+⎡⎤=
-⎢⎥+++-+++⎣⎦
∑
1
(1)(12)(1)x x nx =+++ 。

当n →∞时0sup ()10n x a
R x <<=→，sup ()()0n n a x R x R a <<+∞
=→。

所以在(0,)a
不一致收敛，在(,)a +∞一致收敛。

注：上面的求和方法称为连锁消去法。

14、判断s i n
n
x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑在(0,)π的收敛性和一致收敛性。

解：(0,)x π
∀∈有sin 01x
x
<<，所以sin n
x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑在(0,)π收敛。

由Ta ylo r 公式，22s i n 1()6x x o x x =-+。

取n x =，则(0,)n x π∈并且1
62s i n 111()06n
n
n n n x o e x n
n -→∞⎛⎫⎛⎫
=-
+→≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通项s i n
n
x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在(0,)π不一致收敛于0，所以sin n
x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
∑在(0,)π不一致收敛。

注：若存在{}n x D ⊂使得()0n n f x →，则{()}n f x 在D 上不一致收敛于0（参见习题8）。

15、判断221
1
1n n n x x +∞
+=+∑在[0,)+∞的一致收敛性。

解：设221()1n
n n x
u x x +=
+，则21
21
21
0(2)
sup ()(2)12n
n n n n x n u x u n n ++≥⎛⎫==
⎪+⎝
⎭
1
21
(2)
10112n n n
-
+=
→≠+()n →+∞，通项在[0,)+∞不
一致收敛于0，所以级数在[0,)+∞不一致收敛。

16、讨论2
21
1
(1)n n x x +∞
-=+∑在(,)-∞+∞的一致收敛性。

解：221
1200()10
(1)(1)n k k n n x x R x x x x +∞
-=+=⎧⎪
==⎨≠+⎪+⎩
∑
11sup ()011n n n n x R x R e n →∞
-∞<<+∞
≥=→≠⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
所以2
21
1
(1)n n x x +∞
-=+∑在(,)-∞+∞的不一致收敛。

注：易知通项2(,)21
()0(1)
n n x u x x -∞+∞-=−−−−→+一致，可见通项一致收敛于0，只是级数一致收敛的必要条件，不是充分条件。

17、证明(1)s i n n
x x nx +∞
-∑在[0,1]一致收敛。

证：在1[0,]2上，211()12n n
n n n
x u x x x x -≤≤≤+++ ，由M 判别法，级数在1[0,]2
上
一致收敛。

在1[,1]2上，1
{s i n }n
k kx =∑一致有界，221
(1)11n n
n n x x x x x x --=-+++ 一致收敛于0（极限函数为0，对固定的x 单调，满足狄尼定理条件）。

由狄利克雷判别法，级数在1
[,1]2
上一致收敛。

综上可知21
(1)sin 1n
n
n x x nx x +∞
=--∑在[0,1]一致收敛。

注：1
121()s i n (c o s c o s )222sin
2
n
n k x n S x kx x x
=+=
=
-∑
，2()21n n S n →∞
→∞+，可见1
{
sin }n
k kx =∑在[0,1]不是一致有界。

因此把[0,1]拆分成1[0,]2和1
[,1]2，再分别进行讨论。

若函数列{()}n f x 或函数项级数()n
u x ∑在1
D 和2
D 上都一致收敛，
则在12D D 上也一致收敛。

18、设0()f x 在D 上有界11
{()()}n
k k k f x f x +=-∑
在D 上一致有界。

求证：
如果级数
1
n
n b
+∞
=∑收敛，则
1
()n
n n b
f x ∞
=∑在D 上一致收敛。

证：设1
n i
i k
k n S b
+=+=
∑，则0ε∀>，N ∃，当n N >时有1
n i
i k
k n S b
ε+=+=
<∑
(1,2,)i = 。

通过阿贝尔变换可得：
1
11
1()()()()n p n p k
k k k k p n p k n k n b
f x S f x f x S f x ++-++=+=+≤
-+∑∑
1
11()()()n p k k n p k n f x f x f x ε
ε+-++=+≤-+∑。

而1011
()()()()n p n p k k k n f x f x f x f x +-++=+≤+
-∑
，0()f x 有界，11{()()}
n
k k k f x f x +=-∑一致有界，所以由柯西准则即证。

19、证明
1
sin n nx
n ∞
=∑在点0的任何邻域内非一致收敛。

证： n +∀∈ ，当3(
,
)48x n n ππ
∈、2n k n <≤时，3244nx kx nx ππ
<<≤≤，
sin kx ≥所
以
221
1sin 1n
n k n k n kx k k =+=+≥>∑∑由柯西准则即证。

20、证明：22
1
(1)n
n x n
n +∞
=+-∑在任何有限区间[,]a b 上一致收敛，而在任何一点都不绝对收敛。

证：[,]x a b ∀∈，22
1
(1)n
n x n
n +∞
=+-∑为莱布尼兹型级数，因此收敛，并且当n →+∞时222222
1
11
()(1)0(1)(1)n
n k n x k x n M n R x k n n ∞
=++++++=-≤≤→++∑（其中m a x (,)M a b =），即余和一致收敛于0，所以级数在[,]a b 一致收敛。

由于22l i m 1n x n
n n
→∞+⋅=，1n ∑发散，故22x n
n +∑发散，即
221
(1)n
n x n n +∞
=+-∑不绝对收敛。

21、设()f x 在(,)-∞+∞存在任意阶导数，()()()n n F x f x =，在任何有限区间上{()}n F x 一致收敛于()x ϕ。

求证：
()x x ce ϕ=。

证：(1)1()()()n n n F x f x F x ++'==，所以{()}n F x '一
致收敛于()x ϕ，并且由可微性定理得到1()lim ()lim ()()n n n n x F x F x x ϕϕ+→∞
→∞
''===。

于是[()]0x
e x ϕ-'=，
因此()x
e
x c ϕ-=，即()x x ce ϕ=。

22、设0()f x 在[,]a b 连续，1()()d x
n n a
f x f t t -=⎰
（1n ≥）
，求证： [,]x a b ∀∈有
01
()()d x
x t n a
n f x f t e t ∞
-==∑⎰。

证：设0()f x M ≤，由归纳法易证()()()!!
n n n M M
f x x a b a n n ≤
-≤-，
()!n M
b a n -∑收敛，由M 判别法知
1
()n
n f
x +∞
=∑在[,]a b 一致收敛，和函数记
为()g x 。

由于
10
1
1
1()()()()
()
()n n n
n n n f x f x f x f x f x g x +∞
+∞
+∞
-==='==
+=+∑∑
∑
，所以
1
()
n n f x +∞
='∑在[,]a b 一致收敛，且0
1
()()()()n n g x f x f x g x +∞
=''==+∑，即0[()]()x
x e
g x e f x --'=。

所以0()()
[()]d ()d x
x
x a
t t
a
a
e g x e g a e g t t e
f t t ----'-==⎰
⎰，注
意到()0g a =，所以01
()()()d x
x t n a
n g x f x f t e t ∞
-===∑⎰。

23、证明
2
1
()
n n x +∞
=-∞-∑当x ∉ 时收敛，和函数()f x 以1为周期，并且当x ∉ 时()f x 连续。

证：222
10111
()()()
n n n n x n x n x +∞
+∞+∞
=-∞===+----∑∑∑， 当x ∉ 时级数中各项都有意义，并且
22
11
()()n x n x ---、都与21n 同阶，所以x ∉ 时级数收敛，
即()f x 有定义。

222
111
(1)()((1))(1)()
n n n f x f x n x n x n x +∞
+∞+∞
=-∞=-∞=-∞+====-+---∑∑∑，对任何x ∉ 成立，即()f x 以1为周期。

由周期性只须考察()f x 在(0,1)内的连续性。

(0,1)x ∀∈，
当1n >时22110()(1)n x n ≤≤--、22
11
0()n x n ≤≤--，所以
2
1
()n n x +∞
=-∞
-∑在(0,1)一致收敛，各项
2
1
()
n x -在(0,1)都连续，所以()f x 在(0,1)连续，再由周期性知x ∉ 时()f x 连续。

24、设{}(0,1)n x ⊂，i j ≠时i j x x ≠，1
sgn()
()2n n
n x x f x +∞
=-=∑。

讨论()f x 在(0,1)的连续性。

解；(0,1)x ∀∈，1
()2
n n u x ≤，所以
1
sgn()
2n n
n x x +∞
=-∑在(0,1)一致收敛。

对每个1n ≥，sgn()
()2n n n
x x u x -=
，仅在点n x 不连续，所以0(0,1)x ∀∈，
当0n x x ≠(1,2,)n = 时，每个()n u x 都在点0x 连续，又1
()n n u x +∞
=∑在点0
x
的
邻域内一致收敛，所以()f x 在点0x 连续。

当0{}k n x x x =∈时，只有()k u x 在点0x 不连续，其余的()n u x 都在点0
x 连续()n k ≠，所以()()()n
k n k
f x u
x u x ≠=
+∑在点0x 不连续。

综上可知，()f x 只在点列{}n x 中的点处不连续，而在(0,1)内其他的点处都连续。

注：{}n x 是有界点列，因此必有聚点，本题说明间断点集的聚点可以是连续点。

例如，11{}{}(0,1)22n x n =+
⊂+，则1
(0,1)2
n x →∈，按本题构造的函数()f x 在每点n x 间断，但在点
1
2
连续。

25、设(1)0
1()10n
n nx x x x e
x ϕ⎧-≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩，()f x 在[1,1]-可积。

（1）求l i m
()n n x ϕ→∞
，并讨论()n x ϕ在[1,1]-的一致收敛性；
（2）求1
1
l i m
()()d n
n f x x x ϕ-→∞⎰
； （3）若()f x 还在点0连续，求证1
1
lim
()()d (0)2n n n f x x x f ϕ-→∞=⎰。

解：（1）001
()lim ()10
n n x x x x ϕϕ→∞
⎧<≤⎪==⎨
=⎪⎩，由于()n x ϕ连续，()x ϕ不连
续（或1
1
sup ()()sup ()(0)10n n n x x x x x ϕϕϕϕ≤≤-===→），所以{()}n x ϕ在[1,1]-收
敛但不一致收敛。

（2）0δ∀>，1
sup
()max{,(1)}0n n n n x x e δδϕδ-→∞
≤≤≤-→，故1
()0x n x δϕ≤≤−−−→一致
，1
1lim
()()d [lim ()()]d 0n n n n x x f x x x f x x x δ
δ
ϕϕ→∞
→∞
≤≤≤≤=
=⎰⎰，又
()()d 2n
x f x x x M δϕδ
≤
≤⎰（其中()f x M ≤），所以1
1
l i m
()()d n
n f x x x ϕ-→∞⎰
=0。

（3）因11lim ()d 12n n n x x ϕ-→∞=⎰，故只须证1
1
lim [()(0)]()d 02n n n f x f x x ϕ-→∞-=⎰。

由于()f x 在点0连续，所以0ε∀>，0δ∃>，当x δ<时()(0)f x f ε-<。

由于1
s u p
()m a x {,(1)}
022
n n n n x n n x e δ
δϕδ-→∞
≤≤≤-→
，即1
()02
x n n x δϕ≤≤−−−→一致。

所以11
lim
[()(0)]()d [lim (()(0))()]d 022n n n n x x n n
f x f x x f x f x x δδϕϕ→∞→∞≤≤≤≤-=-=⎰⎰。

再由11()()()()(0)d d d 222n n n
x x n x n x n x f x f
x x x δ
δ
ϕϕϕεε-≤≤-≤≤⎰
⎰⎰，11()lim d 12n
n n x x ϕ-→∞=⎰以及
ε的任意性，得到1
1l
i m [()(0)]()d 02
n n n f x f x x ϕ-→∞
-=
⎰。

26、设{}n a 是(0,1)内任一数列，各项互不相同，证明级数
1
2n n
n x a ∞
=-∑
在(0,1)内确定了一个连续函数()f x ，()f x 只在点n x a =（1,2,n = ）处不可微，而在(0,1)的其它点处都可微。

证：设()n n
n n n n
x a x a u x x a a x x a ->⎧=-=⎨
-≤⎩，则()n u x 在(0,1)处处连续，只
在点n a 处不可微在(0,1)的其它点处都可微，并且当(0,1)x ∈时()2n u x ≤（1,2,n = ）。

由M 判别法可知级数在(0,1)一致收敛，所以和函数()f x 在(0,1)连续。

当0{}n x a ∉时，每个()n u x 都在点0x 可微（1,2,n = ），考察级数
00001
()()2n n
n
n x h a x a f x h f x h h ∞=+---+-=∑，由于00n n x h a x a h +---≤，故此级数关于h 一致收敛（M 判别法），因此可以逐项取极限，既有
0000000011
()()()()lim lim 22n n n
n n h h n n x h a x a f x h f x u x f x h h ∞∞
→→==+---'+-'===∑∑。

当0{}k n x a a =∈时，()
()()2n k n n k
u x f x u x ≠=+∑，其中第一项在k a 处可微，
而第二项在k a 处不可微，所以()f x 在点k a 处不可微。

注：由于级数1
()2n
n
n u x ∞
='∑在(0,1)的一个无限子集{}n a 上没有定义（更谈不上在这些点处收敛），因此不能应用逐项求导定理。

27、设{()}n f x 是[,]a b 上连续函数列，在[,)a b 上内闭一致收敛于
()f x ，又
[,]
()d ()x
a b n a
f t t
g x −−−→⎰
一致。

求证：lim ()d ()()d b b
n a a
n f t t g b f t t →∞==⎰⎰。

证：[,)x a b ∀∈，{()}n f t 在[,]a x 一致收敛，极限与积分运算可换，既()lim
()d lim ()d ()d x
x x
n n a
a a
n n g x f t t f t t f t t →∞→∞
===⎰
⎰⎰。

[,]
()d ()x
a b n a
f t t
g x −−−→⎰
一致
，()d x
n a
f t t ⎰
在[,]a b 连续(1,2
,)n = ，故()g x 在[,]a b 连续，从而l i m ()d l i m ()()l i m x
b
n a
a
n x b
x b
f t t
g x g b f t t --
→∞→→===⎰
⎰，所以()d b
a
f t t
⎰
存在，并且
()d lim ()d b
b
n a
a
n f t t f t t →∞=⎰
⎰。

即证。

注：在级数
1
()n
n u x +∞
=∑情形，上述命题可叙述如下：{()}n
u x 是[,]a b 上
连续函数列，1
()n n u x +∞
=∑在[,)a b 上内闭一致收敛，1()d x
n a
n u t t ∞
=∑⎰在[,]a b 一致
收敛。

则
1
1
()d [()]d b
b
n n a
a
n n u t t u t t ∞
∞===∑∑⎰
⎰（理解为1
lim [()]d x
n a
x b
n u t t -∞
→=∑⎰
）。

28、求证：
（1）000
sin sin d (01)1x
x n
n t t t t dt x t ππ∞
==≤<-⎛⎜⎠∑⎰；
（2）
sin d x
n n t t t π∞
=∑⎰
在[0,1]一致收敛；
（3）1
1
000
sin sin d d n
n t
t t t t t ππ∞
==⎛⎜⎠∑⎰。

证：（1）显然
sin n
n t
t π∞
=∑在[0,]x 一致收敛，故积分与极限可交换。

（2）通过分部积分得
1
1
10
sin d sin d cos d 1x
n n n t t t t t t t t t n π
πππ+≤
=
+⎰
⎰
⎰
1
10
d 1(1)(2)
n t t n n n π
π
+≤
=
+++⎰
，由M 判别法即证。

（3）由（2）和（1）得到：
10001110000sin sin d lim sin d lim sin d lim d 1x
x x n
n
n
x x x n n n t t t t t t t t t t t t ππππ---∞
∞
∞
→→→======-⎛⎜⎠∑∑∑⎰⎰⎰ 11
100sin sin d d 1u t t u t u t u
ππ=-==-⎛⎛⎜⎜⎠⎠。

注：本题是范例27的特殊情形。

sin n
n t
t π∞
=∑在[0,1]不一致收敛（事
实上0101
s i n s i n 1s u p ()s u p (1)01n n n t t t n R t t t n e
n
π
ππ
≤≤≤<≥≥
-→≠-），所以范例27中的条
件比逐项积分定理中的条件要弱。

三、习题
1、设(l n )
()n x
x n f x n α=(2)n ≥，讨论{()}n f x 在[0,)+∞的一致收敛性。

提示：先求极限函数，再用确界方法。

2、设1
()l n (1)nx n f x e n
-=
+，判断{()}n f x 在(,0)-∞的一致收敛性。

提示：ln(1)ln(1)nx nx e nx e -+=-++，极限函数()f x x =-，用确界方法讨论之。

3、设函数()f x 在(,)-∞+∞有连续的导数，数列{}n α收敛于0，
1
()[()()]n n n
f x f x f x αα=
+-。

求证：在任何有限区间[,]a b 上{()}n f x 一致
收敛于()f x '。

4、设()()D
n f x f x −−−→一致，求证：
（1）若()f x 在D 上有界，则至多除有限项外，{()}n f x 在D 上一致有界。

（2）若对每个n ，()n f x 在D 上有界，则()f x 在D 上有界，并且
{()}n f x 在D 上一致有界。

5、设{()}n f x 是(,)-∞+∞上一致连续的函数列，(,)()()n f x f x -∞+∞−−−−→一致。

求证：()f x 在(,)-∞+∞上一致连续。

6、设{()}n f x 是[,]a b 上连续函数列，[,]
()()a b n f x f x −−−→一致
，()g x 在(,)-∞+∞连续。

求证：[,]
(())(())a b n g f x g f x −−−→一致。

提示：()f x 、{()}n f x 在[,]a b 一致有界，()g x 在有限闭区间上一致连续。

7、设{()}n f x 是[,]a b 上连续函数列，[,]
()()a b n f x f x −−−→一致
，在[,]a b 上()0f x ≠。

求证：
[,]
11()()
a b n f x f x −−−→一致。

8、证明：()0D
n f x −−−→一致
的充分必要条件是：{}n x D ∀⊂都有lim ()0n n n f x →∞
=。

9、判断32
22
()1n n x
f x x n
=
+(1,2,)n = 在[0,1]的一致收敛性。

10、设{()}n f x 为[,]a b 上连续函数列，并且[,]
()()a b n f x f x −−−→一致。

求证：()[,]()
n f x a b f x e e −−−→一致。

提示：首先证明{()}n f x 在[,]a b 上一致有界，然后利用函数y
e 在任何有限区间上一致连续。

11、设1
1()cos()n
n k k
f x x n n ==+∑(1,2,)n = ，求证：{()}n
f x 在(,)-∞+∞上
一致收敛。

提示：极限函数为1
()cos()d f x x t t =
+⎰，又由周期性只须讨论
[0,2]x π∈的情形。

12、判断级
数
21
)n
n n x x ∞
-=+在数集122x ≤≤上的一致收敛性。

提示：把通项适当放大，用M 判别法。

13、求证：
(1)(1)n
n
n x x
+∞
=--∑在[0,1]上一致收敛；
(1)n
n x x
+∞
=-∑在[0,1]上
收敛但不一致收敛。

14、判断级数
21
1n
n n x n +∞
=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭∑
在(1,)+∞上收敛和一致收敛性。

15、判断
21
(1)n
n x
x ∞
=-∑在[0,1]的一致收敛性。

16、求证：
21
sin n
n x
x π∞
=∑在[0,1]一致收敛。

提示：只须考察级数在[0,1)上的一致收敛性。

用确界法证明余和
()n R x 一致趋于0。

注意s i n 1x x ππ≤-。

按本题的证法可以得到更一般的命题：若()x ϕ在[0,1]连续，且存在0M >、1α>，当1x -
→时()(1)x M x α
ϕ≤-。

则
()n n x x ϕ∞
=∑在[0,1]一致
收敛。

17、判断12
21
(1)(1)n n
n x x -∞
=-+∑在(,)-∞+∞的一致收敛性。

提示：应用狄利克雷判别法。

或直接利用莱布尼兹型级数的余和性质。

18、证明
1
cos n nx
n ∞
=∑在点0的任何邻域内非一致收敛。

19、证明：
11(1)x n n x e n n ∞
=⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦∑在(0,)+∞非一致收敛。

提示：x →+∞时通项不一致收敛于0。

20、设{()}n u x 是[,]a b 上可导函数列，1{
()}n
k k u x ='∑一
致有界。

求证：若
1
()n n u x +∞
=∑在[,]a b 收敛，则必为一致收敛。

提示：应用柯西准则，且111()()()d x
n p n p
n p k k k
k n k n k n x u x u x u t t +++=+=+=+'⎛⎫
''=+ ⎪⎝⎭
⎛⎜⎠∑∑∑ 21、证明：11n
n x n ∞
=⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭∑在(1,1)-收敛，和函数()S x 在(1,1)-连续。

提示：由根式判别法可知1x ∀<级数收敛。

然后再证明级数在
(1,1)-内闭一致收敛。

注意级数在(1,1)-上非一致收敛。

22、证明：
(1)1
(1)nx
n x n nxe
n xe +∞
--+=⎡⎤-+⎣⎦∑在[0,)+∞收敛，但对任意0A >，
级数在[0,]A 上不一致收敛；求出和函数()f x ；并问在[0,]A 上可否逐项积分？
提示：数列{}n a 与级数11()n n n a a ∞
+=-∑同敛散；1l n (1)n
n t t n
+∞
==--∑。

23、证明：1
()nx
n f x ne
+∞
-==
∑在(0,)+∞收敛，但非一致收敛。

而和函
数在(0,)+∞
内无穷次可微。

提示：可证级数
1
k nx
n n e
+∞
-=∑在(0,)+∞内闭一致收敛。

24、设1
1
()x n f x n +∞
==
∑，求证：()f x 在(1,)+∞上存在任意阶导数。

提示：证明1ln k x n n
n
∞
=∑在(1,)+∞上内闭一致收敛。

25、求极限1
0d lim 1n x n n
x
x e n →∞⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
⎛
⎜⎜⎠。

26、证明：1
1101d lim ln(1)()n n n k x x n n x n k +∞→+∞==⎡⎤⎡⎤
=-+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
⎛⎜⎠∑∑ 27、证明：2
0ln n
n x x +∞
=∑在[0,1]一致收敛，21
301ln 2
d 1n x x x n
+∞
==-∑⎰。

28、证明：00ln d x n
n t t t +∞
=∑⎰在[0,1]一致收敛，1
201ln 1
d 1n x x x n
+∞
==--∑⎰。

提示：应用范例27。

29、设21s i n 0
()00x x g x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
，111()()2n n f x g x n ∞
==-∑，求证： （1）()f x 在1
1,11k k ⎛⎫
⎪+-⎝⎭
上可导，且导函数只在点1k 处不连续
(2,3,)k = ；
（2）()f x 在(0,1)上可导，且导函数只在1k
处不连续(2,3,)k = 。

提示: ()g x a -处处可导，并且导函数只在点a 处不连续。

1111()()()22k n n k f x g x g x k n
≠=-+-∑，由M 判别法可证其中第二项在区间11,11k k ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭内具有连续导数。

211(0,1),11k k k +∞=⎛⎫= ⎪+-⎝⎭ 。