开关变换器的SSA建模
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第五章 开关变换器的状态空间平均建模
开关变换器是通过调整开关器件的工作状态实现开关变换器输出电压的调整，在一个开关周期内，开关变换器是一个周期性时变电路，但在每一个开关工作状态，开关变换器又可以看作是一个线性电路。因此，我们不能用常规的线性电路理论对开关变换器进行分析，而必须研究适用于开关变换器的建模分析方法。
5.1 开关变换器的状态空间平均模型 5.1.1 开关变换器的状态空间方程及其近似解
对于一个在开关周期T 内有两个开关工作状态的开关变换器，我们可以分别写出它在每一个开关工作状态的状态方程，并进行求解。
工作状态1：在每一个开关周期的[0，DT ]时间段，开关变换器的状态方程为：
d ()()()d ()
t t t t t =+11x A x B u (5-1a ）
工作状态2： 在每一个开关周期的[DT ，T ]时间段，开关变换器的状态方程为：
d ()()d (t)t t t
=+22x A x B u (5-1b)
其中：(t)x 是状态向量；()t u 是输入向量；A 1，A 2，B 1，B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵。
（I ）开关工作状态1对应的状态方程的解为
1110
()0d t
t
e t e ττ⎰A A u x(t)=x()+B （5-2）
当开关变换器的开关频率（1/S f T =）远大于状态方程的特征频率0f ，即
0S f f >>时，存在下述线性近似关系
111DT DT e +≈A A (5-3)
将（5-3）代入（5-2），可得
111
00
11()()0()d 0d DT
DT
DT DT e
t DT e
t e τ
ττ
τ
+=+
⎰
⎰A A A 1I A B u x()=x()+
B u x() （5-4a ）
当开关变换器的输入变量()t u 在一个开关周期内是常数，或相对于开关频率是慢变换量时，可以用()t u 在一个开关周期内的平均值u 等效，于是，由式（5-4a ）可得
1
2211
2
0DT DT D T DT e ++A 11A x()=x()B u B u （5-4b ）
对于0S f f >>，可以忽略式（5-4b ）中的2T 项，从而得到下述线性近似关系
110DT DT DT e +A u x()=x()B （5-4c ）
（II ）开关工作状态2对应的状态方程的解为
2
2()
()d t
DT
t DT e t e
DT ττ-⎰
A 2A u x(t)=x()+
B (5-5)
同理，由式（5-6）可得：
1
12221212()00''''+'=+T T T
T
T
D D D D D D T D T T e e DT e
e
DT e
A A A A A u
u u u
x()=B B x()+x()+B B (5-6)
式(5-6)中
2121)(T D D T DT DT e ''=+A u u A B I B (5-7)
忽略式(5-7)中的2T 项，可得
21211)(T D D T DT DT DT e ''==+A u u u A B I B B (5-8)
将式(5-8)代入式(5-6)，得
1
2)(12)0(T D D T T e D D +'+'A A u x()=x()+B B （5-9）
（5-9）对应的微分方程为：
1212)d d ()(D D D t
t t D ''++A A u x()
=x()+B B （5-10）
其中t x()为开关变换器在一个开关周期内状态变量的平均值，（5-10）即为描述开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程。
值得注意的是，在上述分析过程中，我们做了两个基本的假定：
（1）开关变换器的开关频率（1/S f T =）远大于状态方程的特征频率0f ，即
0S f f >>
（2）开关变换器的输入变量()t u 在一个开关周期内是常数，或是相对于开关频率的慢变换量。
上述假定，对PWM 开关变换器是始终成立的。 5.1.2 开关变换器的状态空间平均方程
上面我们分析了开关变换器在一个开关周期内两个开关工作状态的状态方程，及其近似解的表达式。类似地，我们可以得到描述开关变换器所有变量行为的状态方程和输出方程及其平均等效方程。
当开关变换器工作于电感电流连续模式时，开关变换器在一个开关周期内存在两个开关工作状态，我们可以针对每一个开关工作状态，建立其对应的状态方程和输出方程。
工作状态1：在每一个开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：
d ()
()()d ()()()()
t t t t t t t t =+=+1111x A x B u y C x E u (5-11a ） 工作状态2： 在每一个开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导
通，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：
d ()()
d ()()()
(t)
t t t
t t t =+=+2222x A x B u y C x E u (5-11b) 其中：(t)x 是状态向量；()t u 是输入向量；()t y 是输出向量；A 1，A 2，B 1，B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵；C 1，C 2，E 1，E 2分别是工作状态1和工作状态2对应的输出矩阵和传递矩阵。
式(5-11）描述了开关变换器在一个开关周期内的状态变量。当：（1）开关变