开关变换器的SSA建模

第五章 开关变换器的状态空间平均建模
开关变换器是通过调整开关器件的工作状态实现开关变换器输出电压的调整，在一个开关周期内，开关变换器是一个周期性时变电路，但在每一个开关工作状态，开关变换器又可以看作是一个线性电路。

因此，我们不能用常规的线性电路理论对开关变换器进行分析，而必须研究适用于开关变换器的建模分析方法。

5.1 开关变换器的状态空间平均模型 5.1.1 开关变换器的状态空间方程及其近似解
对于一个在开关周期T 内有两个开关工作状态的开关变换器，我们可以分别写出它在每一个开关工作状态的状态方程，并进行求解。

工作状态1：在每一个开关周期的[0，DT ]时间段，开关变换器的状态方程为：
d ()()()d ()
t t t t t =+11x A x B u (5-1a ）
工作状态2： 在每一个开关周期的[DT ，T ]时间段，开关变换器的状态方程为：
d ()()d (t)t t t
=+22x A x B u (5-1b)
其中：(t)x 是状态向量；()t u 是输入向量；A 1，A 2，B 1，B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵。

（I ）开关工作状态1对应的状态方程的解为
1110
()0d t
t
e t e ττ⎰A A u x(t)=x()+B （5-2）
当开关变换器的开关频率（1/S f T =）远大于状态方程的特征频率0f ，即
0S f f >>时，存在下述线性近似关系
111DT DT e +≈A A (5-3)
将（5-3）代入（5-2），可得
111
00
11()()0()d 0d DT
DT
DT DT e
t DT e
t e τ
ττ
τ
+=+
⎰
⎰A A A 1I A B u x()=x()+
B u x() （5-4a ）
当开关变换器的输入变量()t u 在一个开关周期内是常数，或相对于开关频率是慢变换量时，可以用()t u 在一个开关周期内的平均值u 等效，于是，由式（5-4a ）可得
1
2211
2
0DT DT D T DT e ++A 11A x()=x()B u B u （5-4b ）
对于0S f f >>，可以忽略式（5-4b ）中的2T 项，从而得到下述线性近似关系
110DT DT DT e +A u x()=x()B （5-4c ）
（II ）开关工作状态2对应的状态方程的解为
2
2()
()d t
DT
t DT e t e
DT ττ-⎰
A 2A u x(t)=x()+
B (5-5)
同理，由式（5-6）可得：
1
12221212()00''''+'=+T T T
T
T
D D D D D D T D T T e e DT e
e
DT e
A A A A A u
u u u
x()=B B x()+x()+B B (5-6)
式(5-6)中
2121)(T D D T DT DT e ''=+A u u A B I B (5-7)
忽略式(5-7)中的2T 项，可得
21211)(T D D T DT DT DT e ''==+A u u u A B I B B (5-8)
将式(5-8)代入式(5-6)，得
1
2)(12)0(T D D T T e D D +'+'A A u x()=x()+B B （5-9）
（5-9）对应的微分方程为：
1212)d d ()(D D D t
t t D ''++A A u x()
=x()+B B （5-10）
其中t x()为开关变换器在一个开关周期内状态变量的平均值，（5-10）即为描述开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程。

值得注意的是，在上述分析过程中，我们做了两个基本的假定：
（1）开关变换器的开关频率（1/S f T =）远大于状态方程的特征频率0f ，即
0S f f >>
（2）开关变换器的输入变量()t u 在一个开关周期内是常数，或是相对于开关频率的慢变换量。

上述假定，对PWM 开关变换器是始终成立的。

5.1.2 开关变换器的状态空间平均方程
上面我们分析了开关变换器在一个开关周期内两个开关工作状态的状态方程，及其近似解的表达式。

类似地，我们可以得到描述开关变换器所有变量行为的状态方程和输出方程及其平均等效方程。

当开关变换器工作于电感电流连续模式时，开关变换器在一个开关周期内存在两个开关工作状态，我们可以针对每一个开关工作状态，建立其对应的状态方程和输出方程。

工作状态1：在每一个开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：
d ()
()()d ()()()()
t t t t t t t t =+=+1111x A x B u y C x E u (5-11a ） 工作状态2： 在每一个开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导
通，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：
d ()()
d ()()()
(t)
t t t
t t t =+=+2222x A x B u y C x E u (5-11b) 其中：(t)x 是状态向量；()t u 是输入向量；()t y 是输出向量；A 1，A 2，B 1，B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵；C 1，C 2，E 1，E 2分别是工作状态1和工作状态2对应的输出矩阵和传递矩阵。

式(5-11）描述了开关变换器在一个开关周期内的状态变量。

当：（1）开关变
换器的开关频率远大于开关变换器的特征频率时，可以认为开关变换器的状态变量在一个开关周期内保持不变；此外，当开关变换器的输入向量()t u 在一个开关周期内保持不变，或是相对于开关频率的慢变化量时，在一个开关周期内，状态变量(t)x 和输入变量()t u 可以分别用它们在一个开关周期内的平均值()t x 和()t u 近似。

则通过在一个开关周期内对所有变量进行时间平均（加权平均），
可以得到开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程为：
d ()
()(()())()(()())d t d t t t d t t t t
'=+++1122x A x B u A x B u (5-12a) 类似地，我们可以得到开关变换器在一个开关周期内的平均输出方程为：
()()(()())()(()())t d t t t d t t t '=+++1222y C x E u C x E u (5-12b)
其中()1()d t d t '=-
将式(5-12）重新组合成标准的线性连续系统的状态空间方程后，得到开关变换器在一个开关周期内的平均状态方程和平均输出方程
d ()
(()())()(()())()d ()(()())()(()())()
t d t d t t d t d t t t t d t d t t d t d t t ''=+++''=+++12121212x A A x B B u y C C x E E u (5-13) 其中()t x ，()t u 和()t y 是状态向量，输入向量和输出向量在一个开关周期内的时间平均值，()d t 是开关控制脉冲的占空比。

图5-1给出了在一个开关周期内，状态变量()t x 在工作状态1和工作状态2的变化率与在一个开关周期内状态变量的净变化率之间的关系。

从图5-1可以看出，当开关变换器的开关频率远大于电路的特征频率，即状态变量在一个开关周期内的变化很小时，可以用一个开关周期内状态变量的平均值()t x 很好的近似等效状态变量的变化。

x x (t)
S S
图5-1 状态变量变化的直线近似
式(5-13）所描述的开关变换器的状态空间平均模型可以表示成标准的状态方程形式
d ()
()()
d ()()()
t t t t
t t t =+=+x Ax Bu y Cx Eu (5-14a) 其中
1D D D D D D D D D D
'=+'=+'=+'=+'=-1212
1212A A A B B B C C C E E E (5-14b) 比较式(5-14）和(5-11）可以发现，在开关变换器的状态空间平均模型中，状态方程的状态矩阵A 和输入矩阵B 分别是对应工作状态的状态矩阵A 1，A 2和输入矩阵B 1，B 2的加权平均值；输出方程的输出矩阵C 和传递矩阵E 分别是对应工作状态的输出矩阵C 1，C 2和传递矩阵E 1，E 2的加权平均值。

5.1.3 开关变换器的直流稳态和交流小信号等效方程
基于式(5-13）所给出的开关变换器的状态空间平均方程，我们可以对开关变换器的直流稳态和交流小信号特性进行分析。

当开关变换器的输入变量()t u 和控制变量()d t 存在小信号扰动时，即
ˆ()()t +t =u U u
， ˆ()()d t D d t =+，ˆ()()d t D d t ''=- (5-15a) 时，将引起开关变换器中的状态变量和输出变量的小信号扰动，即
ˆ()()t t =+x X x ， ˆ()()t t =+y Y y (5-15b) 其中X ，U ，Y ，D 分别是()t x ，()t u ，()t y ,()d t 的直流分量；ˆx
，ˆ()t u ，ˆ()t y ,ˆ()d t
分别是()t x ，()t u ，()t y ,()d t 的交流小信号分量。

对于小信号扰动，我们有
ˆx
<<X ，ˆ()t u <<U ，ˆ()t y <<Y ，ˆ()d t <<D (5-15c) 则在存在小信号扰动时，开关变换器的状态空间平均方程为
ˆd [()]ˆˆˆ{[()][()]}{()}d ˆˆˆ{[()][()]}{()} t D d t D d t t t D d
t D d t t '=++-'+++-12
1
2
X +x A A X +x B B U +u (5-16a)
ˆˆˆˆ(){[()][()]}{()}ˆˆˆ{[()][()]}{()} t D d t D d t t D d t D d t t 2
'=++-'+++-E 12
1
Y +y C C X +x E U +u
(5-16b)
式(5-16）经整理得到
ˆd [()]ˆˆˆ()[]()d ˆˆˆ[()()]() t t d t t t t d t =+++12121212X +x AX +BU +Ax(t)
+Bu (A -A )X +(B -B )U (A -A )x
(B -B )u (5-17a)
1ˆˆˆˆˆ()d t d +212
Y +y(t)=CX +Cx(t)+(C -C )X (C -C )x (5-17b) 式(5-17）中存在两个与时间相关的变量ˆ()t x
和ˆd 的乘积，是关于小信号扰动的非线性函数。

当式(5-15c ）的小信号近似成立时，对式(5-17）进行线性化近似，
可以得到
ˆd [()]ˆˆˆ()() d t t d t t
=1212X +x AX +BU +Ax(t)+Bu +[(A -A )X +(B -B )U] (5-18a ） ˆˆˆ()d t 12Y +y(t)
=CX +Cx(t)+(C -C )X (5-18b) 分离式(5-18）中的直流稳态部分和交流小信号部分，可以得到开关变换器的
直流稳态和线性化交流小信号方程。

（I ） 直流稳态方程 由于在直流稳态时
d 0d t
=X
，可得直流稳态方程 0=AX +BU Y =CX +EU
(5-19)
求解式(5-19），可得开关变换器的直流稳态工作点为
-1-1
X =-A BU Y =(E -CA B)U
（II ）线性化交流小信号方程
由式（5-18），可得开关变换器的线性化交流小信号方程为
ˆd ()ˆˆˆ()d ˆˆˆˆ()t d t t d t =12121212x Ax(t)
+Bu(t)+[(A -A )X +(B -B )U]y(t)
=Cx(t)+Eu(t)+[(C -C )X +(E -E )U] (5-20) 由式(5-20），可以求解得到开关变换器的交流小信号传递函数。

当开关变换
初始状态为零时，对式(5-20）做拉氏变换，得
ˆˆˆˆ()()()[]()ˆˆˆˆ()s s s s d s s s s d s =++12121212x
Ax Bu (A -A )X +(B -B )U y(
)=Cx()+Eu()+[(C -C )X +(E -E )U] (5-21）
由式(5-21）可得
ˆˆˆ()s s s d s -1-11212x(s)
=(I -A)Bu()+(I -A)[(A -A )X +(B -B )U] (5-22a ） ˆˆˆ()s s s s d
s -1-1
12121212y(
)=(C(I -A)B +E)u()+{C(I -A)[(A -A )X +(B -B )U]+[(C -C )X +(E -E )U]}(5-22b ）
式(5-22）中I 为单位矩阵。

（III ）开关变换器的交流小信号传递函数
由式(5-22）描述的开关变换器的交流小信号方程，可以对开关变换器的交
流小信号特性进行分析。

1. 当控制变量ˆ()0d s =时，可得状态变量ˆ()s x
对输入变量ˆ()s u 的传递函数为 ˆ,()0ˆ()()(ˆ()x u d
s s G s s s ==
=-1x I -A)B u
(5-23a ）
2. 当输入变量ˆ()0s =u 时，可得状态变量ˆ()s x
对控制变量ˆ()d s 的传递函数为 ˆ,ˆ()()ˆ()x d s G s s d
s =
=-1u(s)
1212x (I -A)[(A -A )X +(B -B )U] (5-23b ）
3. 当控制变量ˆ()0d s =时，可得输出变量ˆ()s y
对输入变量ˆ()s u 的传递函数为 ˆ,()0ˆ()()ˆ()y u d
s s G s s s ==
=-1y C(I -A)B +E u
(5-23c ）
4. 当输入变量ˆ()0s =u 时，可得输出变量ˆ()s y
对控制变量ˆ()d s 的传递函数为 ˆ,ˆ()()ˆ()y d s G s d
s s =
=u(s)
-112121212y C(I -A)[(A -A )X +(B -B )U]+(C -C )X +(E -E )U
(5-23d ）
5.2 Boost 变换器的状态空间平均分析
下面我们将应用状态空间平均方法对Boost 变换器进行分析。

5.2.1 Boost 变换器的状态空间平均方程
图 5-2 Boost 变换器电路
(a)
(b)
图 5-3 Boost 变换器在一个开关周期内的两个开关工作状态
如图 5-2所示Boost 变换器，在开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断。

Boost 变换器在这一时间段内的等效电路如图5-3(a)所示，其状态方程为：
d ()
d t t
=11x A x(t)+B u(t)
而在开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导通，Boost 变换器在这一时间段内的等效电路如图5-3(b)所示，其状态方程为：
22dx(t)
=A x(t)+B u(t)dt
其中
[]L C i v T
x(t)=，g v =u(t) 010()L C R L R R C ⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-
⎢⎥+⎣
⎦1A ，//()1()()L C C C C R R R R L
L R R R R R C R R C +⎡⎤
--
⎢⎥
+⎢⎥=
⎢⎥-
⎢⎥++⎣
⎦2A []1/0T
L =12B =B =B (5-24) 其中//C C C R R
R R R R
=
+表示电阻C R 和R 的并联电阻值。

则由开关变换器的状态空间平均模型，可以得到Boost 变换器的状态空间平均方程
(//)d ()1
()()d 1()d ()0()()d L C L C L g C C C C R d R R d R i t L
L R R i t t v L d R v t v t R R C
R R C t ''+⎡⎤
⎡⎤--
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
+⎢⎥⎢⎥'⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ (5-25a) ()()(//)
()L C C C i t R y t d R R R R v t ⎡⎤
⎡
⎤'=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
(5-25b) 5.2.2 Boost 变换器的直流稳态和交流小信号方程
由式（5-19），式（5-20）和式(5-25），可以得到Boost 变换器的稳态（直流）
模型和线性化动态（交流小信号）模型。

（I ）直流稳态状态方程
由式（5-19）和式(5-25），可得
(//)
1
()0010()()L C C L g C C C R d R R d R L L R R I V L V d R R R C
R R C ''+⎡⎤
--
⎡⎤
⎢⎥+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦⎢⎥++⎣
⎦ (5-26a)
由式(5-26a)，解得
1(1)L g C I V V D R R ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦
(5-26b)
其中，2(1)(1)(//)L C R D R R D D R R '=-++-，I L 是电感的直流电流，V C 是电容的直流电压。

则由(5-26），可以得到Boost 变换器的直流电压增益为：
2
2
01
(1)1(1)(1)(//)
L C g
V D R
V D D R R D D R R -=
--++- (5-27）
式(5-27）表明，当所有的寄生参数为零(L 0C R R ==时)，Boost 变换器的直流电压增益为1/D '；而当存在寄生参数时，实际Boost 变换器的直流电压增益
小于理想Boost 变换器的直流电压增益。

从式(5-27）我们还可以发现，电容的等效串联电阻（0C R ≠）对直流电压增益的影响是通过电阻(//)C DD R R '与电感电阻L R 的串联而实现的。

（II ）交流小信号状态方程
由式（5-20）和式(5-25），可得Boost 变换器的小信号状态方程为
(1)(//)
(1)ˆˆ()()()(1)1ˆˆ()()()()(')1ˆˆ()0()L C C L L C C C C C C g g C R D R R D R L L R R i t i t d D R dt v t v t R R C R R C R D R R L R R V
v
d t L R R R R C +--⎡⎤
--
⎢⎥+⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥=
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦⎣⎦-
⎢⎥++⎣
⎦+⎡⎤
⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥'⎢⎥-⎣⎦⎢⎥
+⎣⎦
(5-28）
由交流小信号状态方程(5-28），可以获得控制至输出以及输入至输出的传递
函数，也可以得到Boost 变换器的线性化交流小信号等效电路。

上述直流稳态和交流小信号状态方程完整的描述了Boost 变换器的直流稳态和交流小信号行为，我们可以很方便的利用上述直流稳态和交流小信号状态方程分析Boost 变换器的直流稳态和交流小信号特性（控制至输出以及输入至输出的传递函数），也可以获得Boost 变换器的线性化交流小信号等效电路模型。

为了简化起见，当Boost 变换器的寄生参数为零(L 0C R R ==)时，由(5-18）和(5-23），我们可以得到Boost 变换器的输出对输入和输出对控制的传递函数分别为
022ˆ()11
ˆ()''g v s sL v s D D s LC R
=
++ (5-29a ） 22022[1]ˆ()''ˆ()'g
V sL v
s RD D sL d s D s LC
R
-=
++ (5-29b ） 5.2.3 Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型
由Boost 变换器的状态空间平均方程，我们可以得到其对应的线性化交流小信号等效电路模型，在此基础上，可以采用常规的线性电路分析方法和电路仿真软件进行分析和仿真。

由Boost 变换器的状态空间平均方程(5-25），可以得到输出电压0v 与电容电压C v 的关系为：
0(1)C
C C L R R v v d R i R
+=
-- 或者，以矩阵的形式
010
L L C C C i i R R v v d R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥'
-⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ (5-30) 将式(5-30）代入式(5-25）可得
0d ((//)) 1d +10d d L L C L g C i R dd R R d L i t v v v d C R t ⎡⎤
''-+-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥'-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(5-31)
由式(5-31）可以很容易的得到Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型，如图 5-4所示。

图5-4中10S v d v '=，2S L i d i '=。

图 5-4 Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型：10S v d v '=，2S L i d i '= 图
5-4所示Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型，可以进一步等效为图
5-5所示的理想变压器模型。

)
d
图
5-5 Boost 变换器的等效理想变压器电路模型
d
图 5-6 含受控源和理想变压器的Boost 变换器等效电路模型：0(//)C L e dd R R i '= 在图5-5中，阻值为(//)C dd R R '的电阻是控制变量d 的函数，因此图5-5可以进一步表示为如图5-6所示等效电路，图5-6中0(//)C L e dd R R i '=。

当Boost 变换器工作于直流稳态时，占空比控制变量是常数，即d=D 。

此时，可以将电感L 看作短路，电容C 看作开路，变压器的变比为:1D '。

于是，我们可以直接由图 5-5 得到与式(5-27）相同的直流电压增益表达式。

通过Boost 变换器的等效理想变压器电路模型，我们可以发现，匝数比为
:1d '的理想变压器的匝数比是动态变化的，
是时间的函数，通过控制占空比d 的调整，实现开关变换器的控制。

因此，开关变换器可以看成是匝数比可控的直流变压器，而普通的交流变压器的匝数比是固定的，它只能成比例的实现交流电压的变换，不能实现交流电压的控制。

5.2.4 Boost 变换器的交流小信号等效电路模型
对图 5-6所示Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型，通过施加小信号扰动和线性化近似，我们可以得到Boost 变换器的交流小信号等效电路模型，在此基础上，可以方便地进行Boost 变换器的交流小信号特性分析。

为了简化起见，
在进行交流小信号分析时，假定Boost 变换器为理想的（L 0C R R ==） （I ）小信号扰动的线性化近似
对图 5-6中的所有变量施加小信号扰动ˆg g g v V v
=+，ˆL L L i I i =+，ˆd D d =+，ˆd D d ''=-，ˆC C
C v V v =+，000ˆv V v =+，则得到如图 5-7所示存在小信号扰动时Boost 变换器等效非线性电路模型，如图5-7所示。

o +v o
ˆ
图 5-7 存在小信号扰动时Boost 变换器的非线性电路模型
（II ）线性化近似
当ˆg g v
V <<，ˆL L i I <<，ˆd D <<，ˆC C v V <<，00ˆv V <<时，通过小信号线性化近似，可得到Boost 变换器的小信号线性近似电路模型，如图 5-8所示，图中
00ˆˆˆˆˆˆ()()()()()L L L L L E e D d D d I i DD I i D D I d '''+=+-+≈++- 00000ˆˆˆˆ()()()D d V v D V v dV ''-+≈+- ˆˆˆˆ()()()L L L L L
D d I i D I i dI ''-+≈+- 如图5-8所示Boost 变换器的小信号线性近似电路模型还可以进一步等效变换为如图5-9所示的标准电路模型。

在图5-9中，电压源r e 和电流源r j 与占空比
的小信号扰动ˆd
有关，而变压器的匝数比只与占空比的直流稳态D 有关。

图 5-8 Boost 变换器的交流小信号电路模型
D ':1
图 5-9 Boost 变换器的交流小信号标准电路模型
5.3 Buck-Boost 变换器的状态空间平均分析 5.3.1 Buck-Boost 变换器的状态空间平均方程
图 5-10 Buck-Boost 变换器电路
(a)
(b)
图 5-11 Buck-Boost 变换器在一个开关周期内的两个开关工作状态 在开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断。

Buck-Boost 变换
器在这一时间段内的等效电路如图5-11(a)所示，其状态方程为：
d ()
d t t
11x A x(t)+B u(t) 而在开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导通，Buck-Boost 变换器在这一时间段内的等效电路如图5-11(b)所示，其状态方程为：
22dx(t)
=A x(t)+B u(t)dt
其中
[]L C i v T
x(t)=，g v =u(t) 0
10()L C R L R R C ⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣
⎦1A ，211(//)()1()()L C C C C R R R R L L R R R R R C R R C ⎡⎤-+⎢⎥
+⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥++⎣⎦
A ， 1/0L ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1
B =， 200⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B = (5-32) 则由开关变换器的状态空间平均模型，可以得到Buck-Boost 变换器的状态空
间平均方程
11d ()(//()()d 1()d ()0()()d L L
C
C L g C C C C R i t R R R d d d L L R R i t t v L R v t v t d R R C R R C t ⎡⎤
⎡⎤'
'-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥'
--⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣
⎦
(5-33a)
类似地，可得Buck-Boost 变换器的输出方程为
0C C L C
C
R RR v v d i R R R R '
=
-++
(5-33b)
5.2.2 Buck-Boost 变换器的直流稳态和交流小信号方程
由式（5-19），式（5-20）和式(5-33），可以得到Buck-Boost 变换器的稳态
（直流）模型和线性化动态（交流小信号）模型。

（I ）直流稳态状态方程
由式（5-19）和式(5-33），可得
1
1(//)()0010()()L C C L g C C C R R R R D D D L L R R I V L V R D R R C R R C ⎡⎤
''-+⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦'--⎣⎦⎢⎥++⎣
⎦
(5-34)
0C L C
C
C R RR V V
D I R R R R '
=
-++ (5-35)
其中，I L 是电感的直流电流，V C 是电容的直流电压。

则由(5-34）~(5-35），可以得到Buck-Boost 变换器的直流电压增益为：
0()'
()'(')
C g L C C V R R RD
D M V R R R RD RD R +=
=-
+++ (5-36a ） 式（5-36a ）可以进一步表示为：
202
'''(//)
g L C V D D R
M V D D R R DD R R ==-'++ (5-36b ） 式(5-36）表明，当所有的寄生参数为零(L 0C R R ==时)，Buck-Boost 变换器的直流电压增益为/D D '；而当存在寄生参数时，实际Buck-Boost 变换器的直流
电压增益小于理想Buck-Boost 变换器的直流电压增益。

从式(5-36）我们还可以发现，电容的等效串联电阻（0C R ≠）对直流电压增益的影响是通过电阻
(//)C DD R R '与电感电阻L R 的串联而实现的。

（II ）交流小信号状态方程
由式（5-20）和式(5-33），可得Buck-Boost 变换器的小信号状态方程为
11ˆd (//()ˆd ˆ1ˆˆd 0()()d 1(ˆ1()L L C C L g
C C C C C L C
g C C L C R i R R R D D D L L R R i
t v L R v v D R R C R R C t RR R I V V L R R R R d R I C R R ⎡⎤
⎡⎤''-+⎡⎤⎢⎥
⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦'--⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
-+⎢⎥++⎢
⎥+⎢⎥
⎢⎥+⎣⎦
(5-37）
上述交流小信号状态方程描述了Buck-Boost 变换器的交流小信号行为，我们
可以很方便的利用上述交流小信号状态方程分析Buck-Boost 变换器的交流小信号特性（控制至输出以及输入至输出的传递函数），也可以获得Buck-Boost 变换器的线性化交流小信号等效电路模型。

为了简化起见，当Boost 变换器的寄生参数为零(L 0C R R ==)时，由(5-18）和(5-23），我们可以得到Boost 变换器的输出对输入和输出对控制的传递函数分
别为
令ˆ()0d
s =，我们可以得到Buck-Boost 变换器的输出/输入传递函数： 02
2'2
ˆ()1
ˆ()'
1'g v s D
sL s LC
v s D RD D =-+
+ (5-38）
同理，令ˆ()0g v
s =，我们可得Buck-Boost 变换器的输出/控制传递函数为： '2
2'2'2
1ˆ()ˆ'()
1g sLD
v s V RD sL s LC DD d s RD D -
=-++ (5-39） 5.2.3 Buck-Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型
由Buck-Boost 变换器的状态空间平均方程，我们可以得到其对应的线性化交
流小信号等效电路模型，在此基础上，可以采用常规的线性电路分析方法和电路仿真软件进行分析和仿真。

由式(5-23），我们可以很容易的得到Buck-Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型，如图 5-12所示。

V i
图 5-12 Buck-Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型
图 5-12所示Buck-Boost 变换器的状态空间平均等效电路模型，可以进一步等效为图 5-13所示开关变换器的等效理想变压器电路模型。

)
d ':1
1:
图 5-13 Buck-Boost 变换器的等效理想变压器电路模型
':D
图 5-14 Buck-Boost 变换器的小信号标准电路模型
当Buck-Boost 变换器工作于直流稳态时，占空比控制变量是常数，即d=D 。

此时，可以将电感L 看作短路，电容C 看作开路，变压器的变比为1:D 和:1D '。

于是，我们可以直接由图 5-13 得到与式(5-26）相同的直流电压增益表达式。

通过Buck-Boost 变换器的等效理想变压器电路模型，我们可以发现，匝数比为
1:()d t 和():1d t '的理想变压器的匝数比是动态变化的，是时间的函数，通过控制
占空比d 的调整，实现开关变换器的控制。

因此，开关变换器可以看成是匝数比可控的直流变压器，而普通的交流变压器的匝数比是固定的，它只能成比例的实现交流电压的变换，不能实现交流电压的控制。

4.3 本章小结
开关变换器的状态空间平均方法是开关变换器经典的建模和分析方法，本章通过开关变换器状态方程的建立和求解，详细论述了开关变换器的状态空间平均方法的本质和成立的前提条件。

有利于对状态空间平均方法的深入了解、掌握和应用。

通过Boost 和Buck-Boost 变换器的状态空间平均建模分析，论述了基于状态空间平均方法的开关变换器建模分析过程，给出了开关变换器的直流稳态和交流小信号特性。

基于开关变换器的状态空间平均方程，我们可以很容易的得到开关变换器的平均等效电路，在此基础上，可以利用常规的电路分析方法进行分析。