1.1 等腰三角形 第4课时 教案

一、情境导入 观察下面图形：

师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形．

师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究

探究点一：等边三角形的判定

【类型一】 三边都相等的三角形是等边三角形

已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2＋c 2＝2ab ＋2bc －2b 2，试说明△ABC 是等边

三角形．

解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解． 解：移项得a 2＋c 2－2ab －2bc ＋2b 2＝0， ∴a 2＋b 2－2ab ＋c 2－2bc ＋b 2＝0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＝0，

∴a －b ＝0且b －c ＝0，即a ＝b 且b ＝c ， ∴a ＝b ＝c .

故△ABC 是等边三角形．

方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

【类型二】 三个角都是60°的三角形是等边三角形

如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC .试判

定△ODE 的形状，并说明你的理由．

解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE ＝∠OED ＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE ＝60°，从而可得△ODE 是等边三角形．

解：△ODE 是等边三角形，

理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.

∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°. ∴∠DOE ＝180°－∠ODE －∠OED ＝180°－60°－60°＝60°. ∴∠DOE ＝∠ODE ＝∠OED ＝60°. ∴△ODE 是等边三角形．

方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．

【类型三】 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

如图，在△EBD 中，EB ＝ED ，点C 在BD 上，CE ＝CD ，BE ⊥CE ，A 是CE 延长线上一点，

AB ＝BC .试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．

解析：由于EB ＝ED ，CE ＝CD ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE ＝1

2

∠ECB .再由

BE ⊥CE ，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB ＝60°.又∵AB ＝BC ，从而得出△ABC 是等边三角形．

解：△ABC 是等边三角形．

理由如下：∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠D . 又∵∠ECB ＝∠CED ＋∠D .∴∠ECB ＝2∠D .

∵BE ＝DE ，∴∠CBE ＝∠D .∴∠ECB ＝2∠CBE .∴∠CBE ＝1

2∠ECB .

∵BE ⊥CE ，∴∠CEB ＝90°.

又∵∠ECB ＋∠CBE ＋∠CEB ＝180°，∴∠ECB ＋1

2∠ECB ＋90°＝180°，∴∠ECB ＝60°.

又∵AB ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形．

方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．

探究点二：含30°角的直角三角形的性质

【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长

如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB

的长度是( )

A ．3cm

B ．6cm

C ．9cm

D ．12cm

解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.

方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 【类型二】 与角平分线有关的综合运用

如图，∠AOB ＝30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则

PD 等于( )

A ．3

B ．2

C ．1.5

D ．1

解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝1

2×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，OP ＝OP ，∠OEP

＝∠ODP ，∴△OPE ≌△ODP ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.

方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．

【类型三】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题

某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，

已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？

解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半