金融工程Chapter 5

反之，若实际的期货价格低于理论价格， 即 G Se( r q )(T t )，则投资者可以卖空该股票指数的 成分股，买入相应的股指期货，期货到期买回股票 交割股指期货进行套利。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
5
1. 多头套期保值与空头套期保值 股指期货的标的资产是市场股票指数，因 此运用股指期货进行套期保值，管理的是股票 市场的系统性风险。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
22
远期外汇综合协议的定价
远期外汇综合协议多头的现金流为： T时刻：A 单位外币减 AK本币 T*时刻：AK*本币减 A单位外币 这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值 f。 * *
f ASe Ae
W S[e
( r r f )(T t )
1]
(5.10)
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
24
案例 5.2 ： ERA 定价 I
2007 年 10 月 10 日，伦敦银行同业拆借 3 个月期 美元利率为 5.2475% ，1 年期美元利率为 5.0887% ，3 个月期日元利率为 1.0075% ，1 年期 日元利率为 1.1487% 。 同时，美元对日元的即期汇率为 0.0085 美元/日元。 本金 1 亿日元的 3 个月 ×1 年 ERA 的 3 个月合同 远期汇率为 0.008615 美元/日元，1 年合同远期汇 率为 0.008865 美元/日元。 请问该合约理论上的远期汇率、远期差价和远期价 值等于多少？
2. 股指期货的最优套期保值比率
第四章所推导的最小方差套期保值比率适用于股 指期货： H
n HG
G
注意这个式子与CAPM衡量股票系统性风险的β 系数的公式极为类似：
RR R 2 R R R R
i M i M M
i
M
（5.1）
7
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
*
显然最优套期保值比率 是目标 0 的特例。
*
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
16
在实际中，人们常常用 * VH （5.3） / b VG 代替式（5.2）。当前文所述的两个条件不成立时， β系数不是股指期货最优套期保值比率b的一个良 好近似，就需要使用式（5.3）进行改善。
我们采用支付已知收益率资产远期合约的定价公式为直接远期外汇协议定 价。
可以得到直接远期外汇协议的远期价值为
远期汇率为
f Se
rf (T t )
Ke
r (T t )
（5.4）
式（5.5）就是国际金融领域著名的利率平价关系。
F Se
( r rf )(T t )
（5.5）
若
rf r , 外汇远期汇率小于现货汇率； 若 rf r , 外汇远期汇率大于现货汇率。
VH 和VG 分别代表股票投资组合的总价值与一份股指期货合
约的规模。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 15
VH V G
*
当 * > 时，意味着投资者希望提高所承担的系 统性风险，获取更高的风险收益，应进入股指期 货多头，式（5.2）大于零； 当 < 时，意味着投资者希望降低所承担的系 统性风险，应进入股指期货空头，式（5.2）小于 零。
RM所表示的市场指数组合与我们用 如果：（1） 于套期保值的股指期货价格变动一致；
（2）套期保值期间，被套期保值的股票 组合的β系数能很好地代表其真实的系统性风险， 则β的确是股指期货最优套期保值比率的一个 良好近似。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 21
远期外汇综合协议的概念
远期外汇综合协议：从未来某个时点起算的远期外汇协议，即 当前约定未来某个时点的远期汇率，其实质是远期的远期。
实际中，通常，双方在当前t时刻约定买方在结算日T时刻按照协议中 规定的结算日直接远期汇率K用第二货币向卖方买入一定名义金额A的原货 币，然后在到期日T*时刻再按合同中规定的到期日直接远期汇率K*把一定 名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方。 在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为 论述方便，我们把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。
* ( r * r f* )(T * t )
r (T t )
( r rf )(T t )
K ] Ae
( r* rf * )(T * t )
]
（5.6)
(5.7) (5.8)
从上述讨论中我们可以看到，远期外汇综合协议可以理解为约定的 是未来T时刻到T*时刻的远期差价。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 23
13
假设某投资者希望将其原有组合中的部分股票转 化为短期国库券，她可以利用股指期货而无需出售股 票达到这一效果：保留该部分股票，同时根据β系数 出售与该部分股票价值相对应的股指期货空头，就可 以创建一个合成的短期国库券（Synthetic T-Bill）。
股票多头＋股指期货空头＝短期国库券多头
反过来，投资者同样也可以利用短期国库券的多 头和股指期货的多头创建一个合成的股票组合 （Synthetic Equity Position），达到将原有的短期国 库券转化为股票组合的目的。
在实践中，有的远期外汇综合协议直接用远期汇差规 定买卖原货币时所用的汇率。
用W* =F*-F表示 T 时刻到 T* 时刻的远期差价，可得：
r r T t r r T t W Se Se *
* f * * f
（5.9）
用W＝F-S表示 t 时刻到 T 时刻的远期差价，可得：
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
17
在市场中，上述原理可以用于进行投资组合的保险
投资组合的保险
预先设定一个组合价值的底线，根据此底线对
部分股票组合进行套期保值，消除部分系统性 风险； 之后，根据组合价值的涨跌情况，买入或卖出 相应数量的股指期货合约，不断调整套期保值 的比重, 既可以防止组合价值跌至预设底线之下的风险， 又可以获得部分股票承担系统性风险的收益。
构造短期国库券多头等价于将系统性风险降为零
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
14
3. 改变投资组合的系统性风险暴露
投资者可以利用股指期货，根据自身的预期和特定的需 求改变股票投资组合的β系数，从而调整股票组合的系统性 风险与预期收益。 * 设定股票组合的原β系数为 ，目标β系数为 。则套期 保值比率就应该为 * ，需要交易的股指期货份数为 （5.2）
8
Beta
系数
RR R 2 R R R R
i M i M M
i
M
最小方差套期保值份数
VH VH N n VG VG
案例 5.1 ：沪深300股指期货套期 保值 I
假设某投资经理管理着一个总价值为
40 000 000 美元的多样化股票投资组合并长期看好 该组合，该组合相对于 沪深300 指数的 β 系 数为 1.22 。2012 年 3 月 14日，该投资经理 认为短期内大盘有下跌的风险，可能会使投 资组合遭受损失，决定进行套期保值。
习题1
美国某公司拥有一个β系数为1.2，价值为
1000万美元的投资组合，当时标准普尔500 指数为1530点(1点250美元)。请问，该公司 应如何应用标普500指数期货为投资组合套 期保值？
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
20
直接远期外汇协议是在当前时刻由买卖双方确定未来某一时刻按约定的远 期汇率买卖一定金额的某种外汇。
Copyright © Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU, 2011 10
其中的一种方法便是立刻卖出股票，将所得 收入投资于短期的债务工具，待下跌过后再重新 回到股市。但这将牵涉到昂贵的交易费用，而且 短时间内将如此大规模的股票进行抛售，很有可 能导致股价下滑，无法按照原先预期的较高价格 卖出所有股票。因此，在长期看好本股票投资组 合而只是担心短期大盘风险的情况下，这样的保 值策略可行性较差。

Copyright © Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU, 2011 25
案例 5.2 ： ERA 定价 II
3
个月期理论远期汇率为
F 0.0085 e(0.0524750.010075)0.25 0.008591美元 /日元
1
年期理论远期汇率为
案例 5.1 ：沪深300股指期货套期 保值 II
假定用
2012 年 4 月到期的 沪深300 股指期 货来为该投资组合在 2012 年 3 月 14 日的价 值变动进行套期保值。2012年 4 月到期的沪 深300股指期货价格为2627点。 如果运用最小方差套期保值比率并以该投资 组合的 β 系数作为近似，需要卖出的期货合 约数目应等于 40000000 1.22 61.92 62份 2627 300
Copyright © Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU, 2011 12
当前文所述的两个条件满足时，运用β系数进行的 股指期货套期保值往往可以使投资者的整体投资 组合的系统性风险为零。 构造短期国库券多头等价于将系统性风险降为零
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
1
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
2
股票指数 运用统计学中的指数方法编制而成的、反映股市中总体 股价或某类股票价格变动和走势情况的一种相对指标。 股指期货 以股票指数作为标的资产的股票指数期货，交易双方约 定在将来某一特定时间交收“一定点数的股价指数” 的标准化期货合约。 股指期货交易特殊性 ：
rf (T t )
AKe
r (T t )
AK e
* r* (T * t ) r* (T * t )
ASe
*
rf (T t )
[ K Se 远期汇率就是令合约价值为零的协议价格 ，因此 ( r r )(T t ) F Se f [Se
F Se
－ 例如，当投资者预期在将来特定时刻投资股票， 但担心实际购买时大盘整体上扬而蒙受损失，便可通过 预先进入股指期货多头的方式消除系统性风险；当投资 者看好手中所持有的股票不愿轻易卖出，但担心大盘下 跌给自己带来损失，就可以通过股指期货空头对冲系统 性风险。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 6
（1）现金结算交割；
（2）股பைடு நூலகம்期货的合约规模不是固定的，而是按照开立股指 期货头寸时的价格点数乘以每个指数点所代表的金额。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 3
股价指数可以近似地看作是支付已知收益率的资 产 ,在无套利的市场条件下 :
F Se
( r q )(T t )
(3.7)
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
4
若实际的期货价格高于理论价格， ( r q )(T t ) G Se 即 ，投资者可以通过买入该股票指数 的成分股并卖出相应的股指期货，期货到期卖出股 票交割股指期货进行套利；