摄像机模型分析解析

成像特点（Properties of Projection ）
点（points）投影后为点； 线（lines）投影后为线； 平面（planes or polygon ）投影后为平面（可能
不是整个平面）。
特殊情况：
经过光心的线投影后退变为点；
经过光心的平面投影后退变为线。
坐标系和齐次坐标（Coordinate Systems and Homogeneous Coordinates）
x P y R3 z
Z
P
z O x X y
Y
右手坐标系
齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）
所谓齐次坐标就是用n+1维矢量表示一个n维矢量 为什么要用齐次坐标表示？
提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一
个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有 y/w
笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这 点移动到无限远(∞,∞)处，在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ，这样我 们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。
为什么叫齐次坐标？
前面提到，我们分别用齐次坐标中的 x 和 y 除以 w
空间实际长度与图像中的长度成一定比例放缩
成像几何（Projective Geometry）
消失点（Vanishing Point）
消失点
透视法：大小相同的物体，离
你较近的看起来比离你较远的
大。如当你沿着铁路线去看两 条铁轨，沿着公路线去看两边 排列整齐的树木时，两条平行 的铁轨或两排树木连线交与很 远很远的某一点，这点在透视 图中叫做消失点。 凡是平行 的直线都消失于无穷远处的同 一个点，消失于视平线上的点 的直线都是水平直线。
证明: 两平行线可以相交
笛卡尔坐标系中，对于如下两个直线方程：
如果 C ≠ D，以上方程组无解；如果 C = D，那这
两条线就是同一条线了。 下面我们用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空间里 来求解：
现在我们就可以在 C ≠ D 的情况得到一组解 (x, y,
0)，代入得 (C - D)w = 0，因为 C ≠ D，所以 w = 0。因而，两条平行线相交于投影空间中无限远处 的一点 (x, y, 0)。
齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
二维齐次点坐标举例
齐次坐标(一般形式)
P 1 (0,0) P2 (1,0)
特定一组
P 1 (0,0,1) P2 (1,0,1)
P 1 (0,0, x3 ), ( x3 0)
P2 ( ,0, ), ( 0)
P3 (0,1) 5 P4 (2, ) 3
摄像机模型 Camera Model
内容（Contents）
成像几何 坐标系和齐次坐标
摄像机参数
透视投影 仿射变换 内参、外参 摄像机标定
成像几何（Projective Geometry）
图像上的像素点与空间中真实点的对应关系
成像几何（Projective Geometry）
齐次坐标在计算机图形学中是有用的，将 3D 场
景投影到 2D 平面的过程中就用到它了。
齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）
一维齐次点坐标定义
非齐次 有穷远点 x
关系 x= x1 / x2
齐次坐标 (x1, x2) (x2≠0)
无穷远点
(x1, 0) (x1≠0)
齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
可以表示无穷远点。
问题: 两条平行线会相交
在欧几里得几何空间里，两条平行线永远都不会
相交。但是在投影空间中，如右图中的两条铁轨 在地平线处却是会相交的，因为在无限远处它们 看起来相交于一点。
在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描述2D/3D 几何
物体是很理想的，但在投影空间里面却并不见得。 我 们用 (x, y) 表示笛卡尔空间中的一个 2D 点，而处于 无限远处的点 (∞,∞) 在笛卡尔空间里是没有意义的。
二维齐次点坐标定义
非齐次 有穷远点 方向为λ =x2 / x1 的 无 无穷远点 穷 远 点 y轴上的 无穷远点 ( x, y) 关系 x = x1 / x 3 , y = x2 / x3 齐次坐标 (x1, x2, x3) (x3≠0) (x1, x2, 0) (x1≠0) (λ=x2/x1) (0, x2, 0) (x2≠0)
投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点，
但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题（因为无限远处
的点在笛卡尔空间里是没有意义的），因此数学家想
出齐次坐标这个点子来了。
解决办法: 齐次坐标
由 August Ferdinand Mö bius 提出的齐次坐标（
Homogeneous coordinates）让我们能够在投影空间里进行图 像和几何处理，齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比 如，2D 齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分 量 w，变成(x, y, w)，其中笛卡尔坐标系中的大X，Y 与齐次坐 标中的小x，y有如下对应关系：
P 3 (0, , ), ( 0)
5 P4 (2 , , ), ( 0) 3
P3 (0,1,1)
P4 (6,5,3)
摄像机参数（Camera Parameters）
摄像机内部参数（Intrinsic Parameters）
摄像机坐标和理想坐标系之间的关系 图像坐标系、摄像机坐标系
就得到笛卡尔坐标中的 x 和 x，如图所示：
仔细观察下面的转换例子，可以发现些有趣的东西：
上图中，点 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应笛卡
尔坐标中的同一点 (1/3, 2/3)。 任意数量积的(1a, 2a, 3a) 始终对应于笛卡尔坐标中的同一点 (1/3, 2/3)。因此这些点是“齐次”的，因为他们始终 对应于笛卡尔坐标中的同一点。换句话说，齐次 坐标描述缩放不变性（scale invariant）。