Voronoi图的构建和应用

Voronoi图的构建和应用

侯玉昭

(南京航空航天大学机电学院，南京市，210016)

摘要：Voronoi图是计算几何中常用而又重要的几何结构，它有很强的实用价值。本文介绍了平面点集上的Voronoi图的一些生成方法，主要是矢量法和栅格法的原理与生成过程。其次就是V图在各个领域中的应用和分析了V图的一些优势特点。以此希望我国科研人员关注V图的研发工作。

关键词：V oronoi图；矢量法；栅格法；V图应用

Construction and application of V oronoi diagram

Hou Yuzhao

(College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics, Nanjing, 210016, China;) Abstract：V oronoi graph is a common and important computational geometry in diagram geometry,it has a strong practical value.This paper introduces some generation method for planar point set on the V oronoi graph,it is mainly the principle and formation process of the vector method and the grid method.The second is the application of V graphs in various fields and analyzes some advantages of V graphs. We hope our researchers focus on R&D of V graph.

Key words：V oronoi graph;Vector method;Grid method;Application of V oronoi graph

引言

Voronoi图的历史是相当古老的。许多不同的自然结构都与Voronoi图十分接近，并且这些结构曾经被很多早期的科学家甚至普通人注意过。早在1908年，俄国数学家G.Voronoi 在对二次型的研究中首先使用了这种图，后被计算机研究者称之为Voronoi图。1944年，笛卡尔使用了一种图来显示太阳系内部和外部物质的性质。尽管没有特殊的注解来解释那些图的结构，但实际上这些图已经十分接近今天我们所说的加权Voronoi图。Voronoi图在许多领域都在尝试它的应用，并取得了成功。如天文学家用来研究宇宙结构；考古学家用来识别新石器时代不同部落影响下的地区；气象学家在仪器分布不足时估算降雨（雪）量；城市规划者在城市中用来进行设施定位；生物学家用来研究毛细血管供应肌肉组织情况。这些研究表面上涉及完全不同的现象，但实际上都可以用Voronoi图的概念来解释。

近年来，Voronoi图已被纳入计算几何的范畴，成为计算几何的一个重要分支。随着计算机科学与技术的飞速发展，尤其是计算机在图像处理方面的广泛应用，使得计算几何的研究，越来越受重视并日益蓬勃发展起来。计算几何在计算机辅助设计、计算机图形学、数字图像处理、地理信息处理、机器人等许多领域都有重要应用。它已成功解决了找最近点，求最大空圆，求n个点的凸包，求最小树等问题。另外，Voronoi图在模式识别、生态研究、城市规划、最优化配置、物理学等许多领域也有广泛的应用[1]。

Voronoi图构建

V图有着按距离划分邻近区域的普遍特性，应用范围广。生成V图的方法很多，一般分为两种：矢量方法；栅格方法。

1.1矢量方法（基于GIS软件）

矢量方法生成V图大多是对点实体。方法分为：对偶生成法；增添法；部件合成法等。

对偶生成法：主要是指生成V图时先生成其对偶元Delaunay三角网，再通过做三角网每一三角形三条边的中垂线，形成以每一三角形顶点为生成元的多边形网。如图1所示。

图1 对偶生成法生成V图

对偶生成法的关键是Delaunay三角网的生成。Delaunay三角网的特性：任一三角形外接圆内部包含其他点；三角形均衡或三边均衡，其最小角最大；使三角网总边长最小；在确定的n个点上，构造的Delaunay三角网网形唯一。

1.1.2增添法

增添法生成V图的基本思想是：假设平面上原有n个点（生成元），已生成了V n图，现在增加一个生成元P n+1，这时生成新的V n+1图。由于V图的特性，加入一个新生成元只与该新生成元所在V oronoi多边形及与之相邻其它V oronoi多边形“迎向半边”有关，与这些多边形的“另半边”无关，也与除它们之外的其它生成元的V oronoi多边形无关。

增添法的基本步骤：

①搜索最邻近单元和相邻单元。最邻近单元为P n+1所在原V图中某点的V oronoi多边形V k以及原来与它相邻的若干个多边形及相应生成元，如图2（a）。

②局部更新。对于各邻近单元，首先与最邻近单元V k中P k作中垂线，并找其余V k的交点，由于V k是凸多边形，因而只产生两个交点1、2，1与2连线把与V k相关的单元分为“两半”：与P n+1“相关的一半”及“不相关的一半”，使P n+1与相关一半的各生成元P k+1，P k+2…作中垂线围成各封闭多边形，即是加入P n+1生成元后的新的V n+1图。类此，可不断加入新的生成元，直至所需。如图2（b）。

（a）（b）

图2 增添法

部件合成法：是指把生成元点集分为若干个子集，并且这些子集的并集必须为生成元点集，为避免不必要的麻烦，这些子集相互的交集尽可能小或为空集φ。先对这些子集生成子V图，然后把这些子V图合并，修正其相互影响部分的Voronoi多边形，从而得到全生成元点集的V图。如下图3所示。

图3 部件合成法

矢量方法生成V图的分析：

➢以上三种方法是矢量方法中常用的，随着并行处理技术的发展，V图生成页、也出现了并行算法，它使各生成元同时进行各点的V图计算；

➢矢量方法生成V图的算法和数据结构都较为复杂，其生成元是基于离散点集的，对于实际的地理信息，这远远不够，应该拓展成点、线、面、体及其组合的复杂形体；

➢目前矢量方法用离散点集代替线面，使空间实体的完整性遭到破坏，同时生成的V 图，要经过复杂的识别和修补工作，这是一个尚待克服的困难；

➢对于光滑、不光滑组合曲线及相应组合成的封闭面域，尽管可用折线逼近，但折线毕竟不是曲线，在曲线光滑处，每一点都是转折点，而化为折线，折线交接处的点就成为唯一转折点，性质突变处。

1.2栅格方法（基于GIS软件和编程）

目前利用矢量法生成的V oronoi图的算法和数据结构复杂,其生成元基于离散点集,对于线、面和其他更复杂的空间目标需分解为点集进行处理。这种分解使空间实体的完整性遭到破坏,同时生成的V oronoi图需经过复杂的识别和修补。由于基于矢量方法生成的矢量V oronoi 图存在的问题和不足,进而提出基于栅格方法生成栅格V oronoi图。距离变换是基于栅格方法的核心,下面给出了利用基于栅格方法生成Voronoi图的原理和步骤。

任意形状发生元V oronoi图构建的栅格方法：

w i1>0、w i2是加权Voronoi图的权重。

✧当w i2=0时产生倍增的加权Voronoi图（multiplicatively weighted

Voronoi diagram），是在发生点集的扩散速度与权重成比例情况下形成的；

✧当w i1=1时产生相加的加权Voronoi图（additively weighted Voronoi

diagram）；

✧当w i1≠1, w i2 ≠ 0时产生复合的加权Voronoi图（compoundly weighted

Voronoi diagram）。

下面介绍加权Voronoi图的栅格构建方法：