2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课)

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y x 2 1 2 a b
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如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
椭圆的方程
两种形式的标准方程的比较：
x y 2 1a b 0 2 a b
2 2
y2 x2 与 2 2 1 a b 0 a b
椭圆标准方程中x2
椭圆的焦点在x轴上
项的分母较大；
椭圆的焦点在y轴上 椭圆标准方程中y2
焦点在分母大的那个轴上。
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写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； 2 2 (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
x y 1 16
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x 2 或 2 y y 1 x 1 16 16
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例题讲解
例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。
Y
M (x,y)
F1 (-c,0)
O
F2 (c,0)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面 内到两定点F1、F2距离之 X 和为定值2a（2a>2c)的动 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则:|MF1|+ |MF2|=2a
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
讲授新课
如果使点F1Biblioteka BaiduF2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)， 则椭圆方程为：
y x 2 1 2 a b
(a＞b＞0).
2
2
y


y
P( x, y)
F2

F2

P( x, y)
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1 2 a b
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 M 叫做椭圆的焦距。
几点说明： F F 1、F1、F2是两个不同的点； 2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c； 4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
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5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
2 2 x y 解：由4 x 2 ky 2 1得 1 1 1 4 k
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
1 1 k 4
解之得：0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。
作 业
教材Ｐ36
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结束
随堂练习.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
(c,0)、(c,0)
x2 y2 2 1 2 b a
a b 0
(0,c)、(0,c)
b2=a2c2
分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上
判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。
x y 1） 1答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0） 25 16 2 2 x y 2） 1 答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5） 144 169 2 2 x y 3） 2 2 1 答:在y 轴上(0,-1)和(0,1) m m 1
O
F2 (c,0)
X
x2 y2 2 1 (a>b>0) 2 a b
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
讲授新课
椭圆的标准方程：
2 2

y

P( x, y)
F2

F1
o
x
x y ( a ＞ b ＞ 0). 1 2 2 a b
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
x2 y 2 ∴设它的标准方程为: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b
y
∵ 2a=10, 2c=8
M
F1
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
o
F2
x
x2 y 2 ∴所求椭圆的标准方程为: 25 + 9 = 1
课堂练习
5：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的 椭圆，求k的取值范围。
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
如图，建立直角坐标系xOy， 使x轴经过点F1、F2，并且 点O与线段F1F2的中点重合. 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0). 焦点F1、F2的坐标分别是 (－c, 0)、(c, 0)． 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．
|MF1|＋|MF2|＝2a
即 : ( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2 两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
项的分母较大．
椭圆的方程
椭圆方程的几何意义：
y
y B2 a b A1 A2 x F1 O c F2
F1
o
2
F2
2
x
B1
x y 2 1 a b 0 2 a b
椭圆的标准方程
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y y
M F2 x
F1
M
图形
F1
O
O
F2
x
方程 焦点 a 、 b、 c 之间的关 系
星系中的椭圆
——仙女座星系
M
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
(是线段F1F2)。 (3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因|MF1|+|MF2|=4＜|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。 (4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因 | MF1 | | MF2 | 3 | F1F2 | 2 2 ，故点M的轨迹为椭圆 。
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
Y
因为2a>2c，即a>c，所以 a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中 b>0，代入上式可得： b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得：
M(x,y)
F1 (-c,0)