第一章离散时间信号与系统
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n5 n5
n0 n0
1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列 (n) 表示成加权和的形式，即
x ( n)
如:
m
x(m) (n m)
n
可表示为
a x ( n) 0
x ( n)
10 n 10 其他
m 10
m
上式为x(n)与h(n)的线性卷积，它说明线性 时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响 应序列的卷积。 一般用h(n)代表系统，示意图如下
y(n) x(n) * h(n)
1. 卷积的性质 *可交换性
*结合性
y ( n ) x ( n) h( n) h ( n) x ( n)
RN (n) 与 u(n) 的关系
RN (n)
1
0 1
2 3
n
RN (n) u(n) u(n N )
4.复指数序列
x(n) e
x ( n) e
n
( j0 ) n
式中ω0为数字频率
n
将复指数表示成实部与虚部
cos 0 n je sin 0 n
其示意图如下：
5.正弦序列
示例见下
例：求z(n)=x(n)+y(n)
解： z(0)=x(0)+y(0) z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2) …
2. 序列的乘积 序列的乘积是指同序号的序列值对 应相乘。即
z ( n ) x ( n ) y ( n)
示例见下
例：求z(n)=x(n)· y(n)
可见系统为时不变系统。
讨论
y (n) T [ x(n)] x(m)
m 0
n
的线性是不变性？
1.2.2 线性时不变系统的基本元件
线性时不变系统的由以下3个元件组成 1) 加法器，用于实现序列的加法运算，其 图形表示如图a所示。
2) 系数乘法器，用于实现序列的乘以常数 的运算，其图形表示如图b所示。
a1T x1 (n) a2T x2 (n)
2. 时不变特性 （或移不变特性 ）
若系统变换关系不随时间变化，亦即系统 的输出随输入的移位而相应移位但形状不变， 称作时不变系统。
用公式表示
设 则有 y(n) = T[x(n)] T[x(n-n0)]=y(n-n0)， n0为常数
例1-2-1 证明以下系统为线性时不 变系统 . n
一个样点，去掉其中的M-1个样点 形成的新序列。 y(n)=x(nM) 其分解过程见下例 如图所示， 取M=3,则y(n)= ？
解： y(-1)= x(-1· 3) y(0)= x(0· 3)
y(1)= x(1· 3) …
* 序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等
间隔的插入L个新的样点，从而变成 一个具有更多样点的新序列。
m m
a1 y1(n) a 2 y 2(n)
故知该系统为线性系统。
时不变特性：由于
T [ x(n k )]
m
x(m k )
n
在上式中令i=m-k，则上式右边变为
i
x(i) x(m) y(n k )
m
nk
nk
n0 n0
...
0 1 2 3 n
(n) 与 u(n) 的关系
(n) u (n) u (n) u (n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
m 0
3.矩形序列 RN (n)
1 0 n N 1 RN (n) 0 其他 n
则有
y(n)=T[x(n)]
*线性时不变系统的性质
1. 线性性
若系统满足叠加原理
y1 (n) T x1 (n), y2 (n) T x2 (n), y (n) T a1 x1 (n) a2 x2 (n) a1 y1(n) a 2 y 2(n)
那么该系统就是线性系统。
x(n) A sin(n )
正弦与余弦序列示意图如下：
1.1.3 序列的分类
1、能量信号与功率信号 序列能量E定义：
E
n
x ( n)
2
* 平均功率定义：
K 1 1 2 P lim x(n) lim E k 2 K 1 k 2 K 1 n K
K 1 36( K 1) P lim (361) lim 18 k 2 K 1 k 2 K 1 n 0
2、周期信号与非周期信号
若序列x(n) 满足 ：x(n)=x(n+N) ， n 且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为 以N为周期的周期序列。 下图为周期序列示意图
解： z(0)=x(0)· y(0)
z(1)=x(1)· y(1)
z(2)=x(2)· y(2) …
3. 序列的延时
序列的延时是将序列全体在时间轴上移动。
y(n)=x(n-n0)
n0 <0左移，n0>0右移
如图：当 n0 =3时
4. 序列乘常数 序列乘以常数指将序列的每一个值 都乘以常数，即
y(n)=ax(n)
x ( n / L) y ( n) 0 n 0, L,2 L 其他
分解过程如下：
例 1-1-1 3 n n 0 2 n n 0 x1(n) , x 2 ( n) , a1 5, a 2 5, 0 n0 0 n0 求： (1) y1(n) x 2(n) （2）y 2(n) x1(n 5)
若有两个级联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，
h(n) T [ (n)]
若已知系统的h(n)，对于任意的输入x(n)， 对于线性是不变系统而言，如何求其输出y(n)？
y (n) T [ x(n)] T [ x(m) (n m)]
m
x ( n) h( n)
m
x(m)T [ (n m)] x(m)h(n m)
m a ( n m)
10
例：
x( n) 2, 4, 0, 4,3
x(n) 2 (n 1) 4 (n) 4 (n 2) 3 (n 3)
思考：P25,习题1
1-2 离散时间系统
1.2.1 线性时不变系统 离散时间系统，是指将输入序列变 换成输出序列的一种运算。 用T[ ]表示变换关系，示意图如下。
样品集合可以是本来就存在的，也 x(n)代表序列的第n个样点的数字， 可以是由模拟信号通过采样得来的或者 n代表时间的序号。 是用计算机产生的
离散时间信号的时域表示
* 表示离散时间信号的方法可采用枚举的方式。
例 如{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2，…}
箭头表示时间的零点位置
设 x(n)=Asin(ω0n+φ)， 那么
x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)
=Asin(ω0n+φ+ω0N) 如果 x(n)=x(n+N) 则要求N= (2π / ω0)k ，式中k,N均取整数，且k的取值保证N是最 小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序 列。 即：正弦序列不一定是周期序列。
*离散信号也可用公式表示
例 如
x(n) sin n
n
n n 0, a 1 a x ( n) n n 0, b 1 b
*离散信号还可用图形的方式表示
图中横坐标n表示离散的时间坐标，且 仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号 样点的值。
许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列 全体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予 区分。
（3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n)
2 n 解： （ 1 ）y1(n) x 2(n) 0 3 ( n 5) (2) y 2(n) x1(n 5) 0 5 （3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n) n n 5 3 3 2 n0 n0
y (n) T [ x(n)]
证明：
m
x ( m)
线性性 设有序列x1(n)和x2(n)及常数a1和a2 则有
T [a1x1(n) a 2 x 2(n)]
n n m
[a x (m) a x (m)]
1 1 2 2
n
a1 x1(m) a 2 x 2(m) a1T [ x1(n)] a 2T [ x 2(n)]
例 1-1-2 求x(n)=sin(4πn/3)的周期N。
解：因为ω0n= 4π/3， 所以 N= 2kπ / ω0= 6k/4， 取k=2，得到N的最小正周期数即x(n) 的周期为N=3。
3、对称信号与非对称信号
对称信号：
xe (n) xe (n)
非对称信号：xo (n)
xo (n)
3) 延时器，用于实现序列的延时操作，其 图形表示如图c所示。
*如下图就是利用这些元件实现的一个简单
的线性时不变系统的框图
其数学表达式为 y(n)=x(n)+ay(n-1)
1.2.3 单位脉冲响应与线性时不变系统 的卷积表示
若给线性移不变系统输入单位脉冲δ(n)，则 其输出y(n)称为单位抽样响应，常用h(n)表示， 即
1.1.2 一些常用序列
1. 单位脉冲序列 ( n)
n
1 n
1, ( n) 0, 1, (n m) 0,
n0 n0 nm nm
-2 -1 0
-2 -1 0 1 2
n m
1
1…m n
2.单位阶跃序列 u(n)
u(n) 1
1, u ( n) 0,
1 x(n) ( xe (n) xo (n)) 2
1 xe (n) ( x(n) x(n)) 2 1 xo (n) ( x(n) x(n)) 2
1.1.4 序列的基本运算
1. 序列的加减 序列的加减指将两序列序号相同的 数值相加减，即
y(n) x1(n) x 2(n)
5. 序列的反褶 序列的反褶指将序列以n=0为对称轴 进行对褶。
y(x(n-2), x(2-n)的图形。
6.序列的差分运算 序列的差分运算指同一序列相邻的两个样 点之差，分为前向差分和后向差分。
前向差分： x(n)
后向差分： x(n) 比较上面两式，显然有
正弦序列有以下三种情况：
1. 当2π／ω0为整数时，k=1,正弦序列是以2π／ ω0周期的序列。 2. 当2π／ω0不是整数时，是一个有理数时，设 2π／ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数， 取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的 周期序列。 3. 2π／ω0不是有理数时，任何整数k都不能使N 为正整数 ，因此，此时正弦序列不是周期序 列。
x(n 1) x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
当对序列进行多次差分时，就变成高次差分。 如二次差分 2 x(n) [x(n)] x(n) (n 1) x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
7.序列的抽取与插值 * 序列的抽取：指将原来的序列每隔M个样点保留
数字信号处理课件
第一章 朱韵茹
第一章 离散的时间信号与系统
1-1 离散时间信号 1-2 离散时间系统 1-3 线性时不变系统的差分方程描述 1-4 连续时间信号的数字处理
1-1 离散时间信号
1.1.1 离散时间信号及其时域表示 离散时间信号 在物理上是指定义在离散时间上的 信号样品的集合，在数学上可用时间序 列{x(n)}来表示。
能量为有限值，平均功率等于0的信号 称为能量信号。
能量为无限值，平均功率为有限值的信 号称为功率信号。
例 1-1-3
设离散信号x(n)的表达式为
x(n)=6(-1)nu(n)
判断信号是能量信号还是功率信号。 解：信号的能量为
E
n
x ( n)
2
36
n 0
可见信号的能量为无限的，但其功率为
n0 n0
1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列 (n) 表示成加权和的形式，即
x ( n)
如:
m
x(m) (n m)
n
可表示为
a x ( n) 0
x ( n)
10 n 10 其他
m 10
m
上式为x(n)与h(n)的线性卷积，它说明线性 时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响 应序列的卷积。 一般用h(n)代表系统，示意图如下
y(n) x(n) * h(n)
1. 卷积的性质 *可交换性
*结合性
y ( n ) x ( n) h( n) h ( n) x ( n)
RN (n) 与 u(n) 的关系
RN (n)
1
0 1
2 3
n
RN (n) u(n) u(n N )
4.复指数序列
x(n) e
x ( n) e
n
( j0 ) n
式中ω0为数字频率
n
将复指数表示成实部与虚部
cos 0 n je sin 0 n
其示意图如下：
5.正弦序列
示例见下
例：求z(n)=x(n)+y(n)
解： z(0)=x(0)+y(0) z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2) …
2. 序列的乘积 序列的乘积是指同序号的序列值对 应相乘。即
z ( n ) x ( n ) y ( n)
示例见下
例：求z(n)=x(n)· y(n)
可见系统为时不变系统。
讨论
y (n) T [ x(n)] x(m)
m 0
n
的线性是不变性？
1.2.2 线性时不变系统的基本元件
线性时不变系统的由以下3个元件组成 1) 加法器，用于实现序列的加法运算，其 图形表示如图a所示。
2) 系数乘法器，用于实现序列的乘以常数 的运算，其图形表示如图b所示。
a1T x1 (n) a2T x2 (n)
2. 时不变特性 （或移不变特性 ）
若系统变换关系不随时间变化，亦即系统 的输出随输入的移位而相应移位但形状不变， 称作时不变系统。
用公式表示
设 则有 y(n) = T[x(n)] T[x(n-n0)]=y(n-n0)， n0为常数
例1-2-1 证明以下系统为线性时不 变系统 . n
一个样点，去掉其中的M-1个样点 形成的新序列。 y(n)=x(nM) 其分解过程见下例 如图所示， 取M=3,则y(n)= ？
解： y(-1)= x(-1· 3) y(0)= x(0· 3)
y(1)= x(1· 3) …
* 序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等
间隔的插入L个新的样点，从而变成 一个具有更多样点的新序列。
m m
a1 y1(n) a 2 y 2(n)
故知该系统为线性系统。
时不变特性：由于
T [ x(n k )]
m
x(m k )
n
在上式中令i=m-k，则上式右边变为
i
x(i) x(m) y(n k )
m
nk
nk
n0 n0
...
0 1 2 3 n
(n) 与 u(n) 的关系
(n) u (n) u (n) u (n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
m 0
3.矩形序列 RN (n)
1 0 n N 1 RN (n) 0 其他 n
则有
y(n)=T[x(n)]
*线性时不变系统的性质
1. 线性性
若系统满足叠加原理
y1 (n) T x1 (n), y2 (n) T x2 (n), y (n) T a1 x1 (n) a2 x2 (n) a1 y1(n) a 2 y 2(n)
那么该系统就是线性系统。
x(n) A sin(n )
正弦与余弦序列示意图如下：
1.1.3 序列的分类
1、能量信号与功率信号 序列能量E定义：
E
n
x ( n)
2
* 平均功率定义：
K 1 1 2 P lim x(n) lim E k 2 K 1 k 2 K 1 n K
K 1 36( K 1) P lim (361) lim 18 k 2 K 1 k 2 K 1 n 0
2、周期信号与非周期信号
若序列x(n) 满足 ：x(n)=x(n+N) ， n 且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为 以N为周期的周期序列。 下图为周期序列示意图
解： z(0)=x(0)· y(0)
z(1)=x(1)· y(1)
z(2)=x(2)· y(2) …
3. 序列的延时
序列的延时是将序列全体在时间轴上移动。
y(n)=x(n-n0)
n0 <0左移，n0>0右移
如图：当 n0 =3时
4. 序列乘常数 序列乘以常数指将序列的每一个值 都乘以常数，即
y(n)=ax(n)
x ( n / L) y ( n) 0 n 0, L,2 L 其他
分解过程如下：
例 1-1-1 3 n n 0 2 n n 0 x1(n) , x 2 ( n) , a1 5, a 2 5, 0 n0 0 n0 求： (1) y1(n) x 2(n) （2）y 2(n) x1(n 5)
若有两个级联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，
h(n) T [ (n)]
若已知系统的h(n)，对于任意的输入x(n)， 对于线性是不变系统而言，如何求其输出y(n)？
y (n) T [ x(n)] T [ x(m) (n m)]
m
x ( n) h( n)
m
x(m)T [ (n m)] x(m)h(n m)
m a ( n m)
10
例：
x( n) 2, 4, 0, 4,3
x(n) 2 (n 1) 4 (n) 4 (n 2) 3 (n 3)
思考：P25,习题1
1-2 离散时间系统
1.2.1 线性时不变系统 离散时间系统，是指将输入序列变 换成输出序列的一种运算。 用T[ ]表示变换关系，示意图如下。
样品集合可以是本来就存在的，也 x(n)代表序列的第n个样点的数字， 可以是由模拟信号通过采样得来的或者 n代表时间的序号。 是用计算机产生的
离散时间信号的时域表示
* 表示离散时间信号的方法可采用枚举的方式。
例 如{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2，…}
箭头表示时间的零点位置
设 x(n)=Asin(ω0n+φ)， 那么
x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)
=Asin(ω0n+φ+ω0N) 如果 x(n)=x(n+N) 则要求N= (2π / ω0)k ，式中k,N均取整数，且k的取值保证N是最 小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序 列。 即：正弦序列不一定是周期序列。
*离散信号也可用公式表示
例 如
x(n) sin n
n
n n 0, a 1 a x ( n) n n 0, b 1 b
*离散信号还可用图形的方式表示
图中横坐标n表示离散的时间坐标，且 仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号 样点的值。
许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列 全体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予 区分。
（3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n)
2 n 解： （ 1 ）y1(n) x 2(n) 0 3 ( n 5) (2) y 2(n) x1(n 5) 0 5 （3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n) n n 5 3 3 2 n0 n0
y (n) T [ x(n)]
证明：
m
x ( m)
线性性 设有序列x1(n)和x2(n)及常数a1和a2 则有
T [a1x1(n) a 2 x 2(n)]
n n m
[a x (m) a x (m)]
1 1 2 2
n
a1 x1(m) a 2 x 2(m) a1T [ x1(n)] a 2T [ x 2(n)]
例 1-1-2 求x(n)=sin(4πn/3)的周期N。
解：因为ω0n= 4π/3， 所以 N= 2kπ / ω0= 6k/4， 取k=2，得到N的最小正周期数即x(n) 的周期为N=3。
3、对称信号与非对称信号
对称信号：
xe (n) xe (n)
非对称信号：xo (n)
xo (n)
3) 延时器，用于实现序列的延时操作，其 图形表示如图c所示。
*如下图就是利用这些元件实现的一个简单
的线性时不变系统的框图
其数学表达式为 y(n)=x(n)+ay(n-1)
1.2.3 单位脉冲响应与线性时不变系统 的卷积表示
若给线性移不变系统输入单位脉冲δ(n)，则 其输出y(n)称为单位抽样响应，常用h(n)表示， 即
1.1.2 一些常用序列
1. 单位脉冲序列 ( n)
n
1 n
1, ( n) 0, 1, (n m) 0,
n0 n0 nm nm
-2 -1 0
-2 -1 0 1 2
n m
1
1…m n
2.单位阶跃序列 u(n)
u(n) 1
1, u ( n) 0,
1 x(n) ( xe (n) xo (n)) 2
1 xe (n) ( x(n) x(n)) 2 1 xo (n) ( x(n) x(n)) 2
1.1.4 序列的基本运算
1. 序列的加减 序列的加减指将两序列序号相同的 数值相加减，即
y(n) x1(n) x 2(n)
5. 序列的反褶 序列的反褶指将序列以n=0为对称轴 进行对褶。
y(x(n-2), x(2-n)的图形。
6.序列的差分运算 序列的差分运算指同一序列相邻的两个样 点之差，分为前向差分和后向差分。
前向差分： x(n)
后向差分： x(n) 比较上面两式，显然有
正弦序列有以下三种情况：
1. 当2π／ω0为整数时，k=1,正弦序列是以2π／ ω0周期的序列。 2. 当2π／ω0不是整数时，是一个有理数时，设 2π／ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数， 取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的 周期序列。 3. 2π／ω0不是有理数时，任何整数k都不能使N 为正整数 ，因此，此时正弦序列不是周期序 列。
x(n 1) x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
当对序列进行多次差分时，就变成高次差分。 如二次差分 2 x(n) [x(n)] x(n) (n 1) x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
7.序列的抽取与插值 * 序列的抽取：指将原来的序列每隔M个样点保留
数字信号处理课件
第一章 朱韵茹
第一章 离散的时间信号与系统
1-1 离散时间信号 1-2 离散时间系统 1-3 线性时不变系统的差分方程描述 1-4 连续时间信号的数字处理
1-1 离散时间信号
1.1.1 离散时间信号及其时域表示 离散时间信号 在物理上是指定义在离散时间上的 信号样品的集合，在数学上可用时间序 列{x(n)}来表示。
能量为有限值，平均功率等于0的信号 称为能量信号。
能量为无限值，平均功率为有限值的信 号称为功率信号。
例 1-1-3
设离散信号x(n)的表达式为
x(n)=6(-1)nu(n)
判断信号是能量信号还是功率信号。 解：信号的能量为
E
n
x ( n)
2
36
n 0
可见信号的能量为无限的，但其功率为