一致连续性

(1) 不仅与 有关, 还 与点 x0 有关； (2) 对相同的 ,
2 2
o
的大小差异很大。
x0
x
0
x1 x
请观察何处值 大, 何处 值小？
x
1
(3) 定义域上无穷个x , 有无穷个 , 有 没有公共的最小的 ？
3
2. 函数的一致连续性
定义：(一致连续性—— uniform continuity )
)上一致连续. 因此 y sin x 在 ( ，
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例5 证明 y x 在任意 a, a (,)
2
(a 0)上一致连续 ,
)上非一致连续. 但在 ( ，
证(1) 0,

2|a|
0, x1 , x2 [a, a],
函数的一致连续性
1. 由函数连续性的差异谈起
函数的连续性是逐点定义的：
y f ( x )在x0 I连续
0, ( , x0 ) 0, 使得x U ( x0 , ),
恒有 f ( x ) f ( x0 )
函数在不同点连续性的差异见图示
2
y
2
8
(x ) (x )
(1) n ( 2) n
n1 n
1 n1 n
0 , ( n ), 但是
1 ( x ) ( x ) n 1 n 1 0 3 2 即 y x 在( ,)上不一致连续.
(1) 2 n ( 2) 2 n
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函数的连续性与一致连续性的差异 与联系:
使当 xn xn
有
(1)
(1)
( 2)
n
( 2)
f ( xn ) f ( xn ) 0
例 证明 y sin x在 (,) 上一致连续.
5
证 0, 0, x1 , x2 (,),
当 x1 x2 , 有
x1 x2 x1 x2 sin x1 sin x2 2 sin cos 2 2 x1 x 2 x1 x2 x1 x2 2 sin 2 2 2
y f ( x )在I上一致连续
0, 0, 使百度文库x1 , x2 I
当 x1 x2 时
恒有 f ( x1 ) f ( x2 )
4
叙述在 I 上非一致连续
0 0, n 0, { xn }, { xn } I
(1) ( 2)
2 2
当 x1 x2 , 恒有 x1 x2
x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 )
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2|a | 2 这说明 y x 在 [a, a] (a 0)上一致连续.
2 a x1 x2 2 | a |


) 非一致连续. 证(2) y x 在( ， 1 (1) 0 0, 取 xn n 1 (n ), 3 ( 2) xn n , (n ), 两点列满足：
连续是逐点定义的,因而是函数的局部
性质, 而一致连续是对整个区间 I 而言， 是函数全局、整体性质。
f 在 I 上一致连续 它在 I 内必
连续, 但反之不对.
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定理
若f ( x ) C[a, b],
则 : f ( x )在[a, b]上一致连续.
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