非线性系统的建模与仿真

(4.1)
系统的初值为
y (t0 ) y0 , y u (t0 ) u0 , u
( n 1)
(t0 ) y (t0 ) u
( n 1) 0
( m 1)
( m 1) 0
4.1.1 非线性连续系统的数学模型（续）
y 其中 为系统的输出， 为系统的输入。式 (4.1) u
可等价地写为
dny dy d n 1 y du d m u H (t ; y, , , ; u, , ) n n 1 m dt dt dt dt dt
（4.2）
4.1.2 非线性离散系统的数学模型 一个单变量非线性离散系统可描述为
y(k ) F y(k 1),, y(k n), u(k n m),, u(k n), k (4.13)
差分方程的初值为
y(1) y 1 , y(2) y 2 ,, y(n) y n
u (n m) u ( nm) , u (n m 1) u ( nm1) ,, u(n) u n
4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续）
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其中F表示非线性关系。与连续非线性系统 不同的是，非线性差分方程的解一般是存在的。 多变量非线性离散系统可由P个(P为系统输出的
不同于线性系统的系统 为非线性系统，研究非 线性系统的振动理论就 是非线性振动理论。
4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续）
已知单自由度系统自由振动的方程为
d 2x dx dx 2 20 0 x f ( x, ) 2 dt dt dt
式中 ——正的小参数 x 振动位移 ——
图4-7 离散相似法仿真程序图
4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真
根据描述振动 的数学模型的不同， 振动理论分为 线性振动理论 和非线性振动理论
线性振动理论适用于线性 系统，即质量不变、弹性 力和阻尼力与运动参数成 线性关系的系统，其数学 描述为线性常系数常微分 方程。线性振动理论是对 振动现象的近似描述，在 振幅足够小的大多数情况 下，线性振动理论可以足 够准确地反 映振动的客观 规律。
进入子程序
u出(m)
u入(m) u0入(m)?
N
N
-c1
0
45º
u (m) (u入(m) c1)?
0 出
N
N
0 u出 (m) u出(m)
u入(m) u0入(m)?
Y
u (m) (u入(m) c1)?
0 出
c1
u出(m) u入(m) c1
-c1
记下本次输出
0 即u出 (m) u出 (m)
Y
u出(m) u入 (m) c1
返回
图4-5 齿轮间隙非线性特性
图4-6 齿轮间隙非线性子程序
4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续）
4.2.2 含有非线性环节的离散相似法仿真程序的设计方法
当系统中有上述典型非线性环 节时，使用离散相似法仿真需 要注意以下几点： (1)对每个环节要增设一个参 数 Z(I),它表示第 I个环节的入 口或出口有哪种类型的非线性 环节 。 (2)对每个环节要增设一个参 数C(I)，它表示第 I个环节入 口的那个非线性环节的参数 ， 当I第个环节没有非线性环节时， Ci C(I) =0。 (3)一个完整的面向结构图的 离散相似法仿真程序框图如图 4-7所示：
4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续）
如有非线性干扰，即
，根据大量的 0
试验和观察，方程的解中将出现高次谐波，瞬时
频率 与振幅的大小有关，以及振幅增长或减
输入环节数 n,步长,输入函数 y0,等 输入各环节系数,以及初值 xi (0) , yi (0) 计算系统的连接矩阵 W
ˆ (T ) 计算各环节的 (T ) m (T ) m
根据yi 由 U WY 计算各环节的输入ui (k ) 0 根据环节前的非线性计算ui (k ) 根据差分方程计算各环节的输出 yi (k 1) 根据环节后的非线性修正计算 yi (k 1) 重复上述最后两步,直到计算终了
(4.20)
dx f ( x, ) —— dt
dx 和 x 的非线性函数，即非线性力。 dt
4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续） 在方程中，当无非线性干扰时 即 其解可表示
， 0
x ce
0
cos(t )

(4.21)
式中 0 1 2， 是决定 (0 和 1) c 于初始条件的常数。
c1
c1
o c1
N
Y
c1
u 入 (m)
u出 ( m ) u 入 ( m )
N
0 u出 ( m ) c1
u出 ( m ) c1
返回
图4-1饱和非线性特性 图
4-2饱和非线性仿真程序
4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续） 2.失灵区非线性
u出 (m)
(10 c1 )
进入子程序
4.1 非线性系统的数学模型
分类及表征： 按时间变量的不同，系统可以 分为连续系统与离散系统。对于连续系统，数学模
型主要是基于微分方程或微分方程组来表征的；而
离散系统的数学模型主要是基于差分方程或差分方
程组来表征的。
4.1.1 非线性连续系统的数学模型 一个阶单变量系统一般可描述为
dy d n y du d mu F (t; y, ,, n ; u, ,, m ) 0, t t 0 dt dt dt dt
u 入 ( m ) c1 ?
N
u入 (m) c1 ?
o
c1
45
10
N
u出 (m ) 0
Y
N
0 u出 (m) u入 (m) c1
u入 ( m )
返回
u出 (m) u入 (m) c1
图4-3 失灵区非线性特性
图4-4 失灵区非线性仿真子程序
4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续） 3.齿轮间隙(磁滞回环)非线性特性
个数) 非线性差分方程描述。
4.2 非线性系统的数字仿真
4.2.1 典型非线性环节仿真子程序
饱和非线性 失灵区非线性
齿轮间隙(磁滞回环)非线性特性
典型非线性环 节仿真子程序
4.2 非线性系统的数字仿真（续） 1.饱和非线性
u出 (m)
进入子程序
u 入 ( m ) c1 ?
Y
u入 (m) c1 ?