函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件

重点难点

1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.

2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.

3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.

基本内容

在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？

本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

一、归结原则

定理 3.8(归结原则) 设f 在()δ';00

x U 内有定义. ()x f x

x 0

lim →存在的充要条件是: 对

任何含于()δ';00

x U

且以0x 为极限的数列{}n x , 极限()n n x f ∞

→lim 都存在且相等.

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞

→,0x x n ≠,有

()A x f n n =∞

→lim ,则()A x f x x =→0

lim .因为在已知条件中,具有这种性质的数列{}n x 是任意的

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设()A x f x x ≠→0

lim ,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

}{n x ,0lim x x n n =∞

→,0x x n ≠,但是()A x f n n ≠∞

→lim ,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证

明.

注1 归结原则也可简述为

()⇔=→A x f x x 0

lim 对任何()∞→→n x x n 0有().lim A x f n n =∞

→

注 2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海

涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

若)0()(lim ,)(lim 00≠==→→B B x g A x f x x x x , 则)

(lim )

(lim )()(lim 0

0x g x f x g x f x x x x x x →→→=. 证 已知B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0

与,根据海涅定理的必要性,对任意数列{}n x ,

且0lim x x n n =∞

→,0x x n ≠,有()A x f n n =∞

→lim ,()B x g n n =∞

→lim .由数列极限的四则运算,对任

意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞

→,0x x n ≠,有B

A

x g x f n n n =∞

→)()(lim

.再根据海涅定理的充分性,由)(lim )(lim )()(lim )()(lim 0

0x g x f B A x g x f x g x f x x x x n

n n x x →→∞→→=

==. 注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ,使()n n x f ∞

→lim 不存在,或找到两个都以

0x 为极限的数列{}n x '与{}n x '',使)'(lim n n x f ∞

→与)(lim n

n x f ''∞

→都存在而不相等,则)(lim 0

x f x x →不存在.

例1 证明极限x

x 1

sin

lim 0

→不存在. 函数x

y 1

sin

=的图象如图3-4所示,由图象可见,当0→x 时,其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.

对于+∞→→→-

+x x x x x ,,00和-∞→x 为四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以+

→0x x 这种类型为例

阐述如下：

定理 3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域)(00

x U +有定

义.A x f x x =+→)(lim 0

的充要条件是：对任何以0x 为极限的递减数列{})(0x U x n

+⊂,有

A x f n n =∞

→)(lim .

注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取

},min{01x x n

n n -=-δ

δ,以保证所找到的数列{}n x 能递减的趋于0x .

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以

+

→0x x 这种类型为例叙述如下：