2.2几种特殊矩阵

在 A (aij )nn 中, 若 aij 0 (i j), 则称 An 为下三 角矩阵, 即
a11
A
a21
0
a22
0 0
an1
an2
ann
若A, B为同阶上（下）三角矩阵， k R，l Z ，则A B，kA，AB， Al均为上（下）三角矩阵。
二、对角矩阵
定义2. 主对角线以外元素全为0的方阵称为 对角矩阵。
在 A (aij )nn 中, 若 aij 0 (i j),
则称 An 为对角矩阵, 记
a11
A diag(a11,a22,,ann )
0
0
a22
0 0
0
0
ann
a11
b11
已知A
a22
B
b22
ann
bnn
a11 b11 则A B
1
1
1 5 133 1
2 8
1
1 0 3
4 2 7
34
1 5 1
2 8
1
1 0 3
4
2 7 34
1 5 1
2 8
1
1 0 3
4 1
2 7
34
1
1
1
44
1 5 1
2 8
1
1 0 3
4 2 7 34
问：E在矩阵乘法中的作用…
四、对称与反对称矩阵
• 定义6. 设矩阵 An , 若 AT A, 则称 An 为对称矩阵,即
aij a ji (i, j 1,2n)
例如
A
12 6 1
6 8 0
1 0 6
为对称矩阵。
• 定义7.
设矩阵 An , 若 AT A, 则称 An 为反对称矩阵, 即
aij -a ji (i, j 1, 2 n)
0 6 1
例如
A
6 1
0 0
0 0
为反对称矩阵。
性质. 对称、反对称矩阵的和、数乘仍为 对称、反对称矩阵。
第二章
矩阵
第 2 节 几种特殊矩阵
一、三角矩阵
定义1. 主对角线下方元素全为0的方阵称 为上三角矩阵。
在 A (aij )nn 中, 若 aij 0 (i j), 则称 An 为上三
角矩阵, 即
a11
A
0
a12
a22
a1n a2n
0
0
ann
定义1. 主对角线上方元素全为0的方阵称 为下三角矩阵。
则称 An 为数量矩阵, 记
a 0
An
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
a
0
0
0 1 0
0
a
0
1
a
0
0
0
0
aEn
1
三、单位矩阵
• 定义4. 主对角线上元素全为1，其他元素全 为0的方阵称为单位矩阵。
Em Amn Amn En (EA AE ) 若A aE,有AB aEB aB aBE BA
• 定义5. 若AB=BA，则称A、B是可交换的。
a22 b22
ann
bnn
ka11
kA
ka22
kann
a11l
Al
a22l
a11b11 AB
a22b22
annbnn
annl
定义3. 若对角矩阵中主对角线上元素都相等，
则称之为数量矩阵。
在 A (aij )nn
中,
若 aij
a
0
(i j) ,
(i j)