CH1 利息的基本概念

（对于整数n≥1）
（1）单贴现：每一时期产生的贴现金额为常数d，有：a1 t 1 dt
a 1 t v t 1 d （2）复贴现：每一时期的贴现率是常数d，有：
t
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 3、实际利率与实际贴现率的关系 如果某人以实际贴现率d借款1，则实际的本金为1－d，利息额为d，若这笔业 务的实际利率为i，则有：
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 例题：1.1.7 某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单贴现计息、复贴现计息，问此 人第5年末分别能得到多少积累值？
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第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率
前面讨论的实际利率和实际贴现率，“实际”的含义在于利息在每个度量期内支
付一次，或在期初，或在期末。但是，现实中往往在一个度量期内利息不只支付 一次，所以我们便引入名义利率和名义贴现率的概念。
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第一节 利息度量 二、实际利率 例题 1.1.5 已知年实际利率为8％，求4年后支付10000元的现值。
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 引 例：
张三找银行借10000元，洽谈后需要支付600元利息给银行。在现实经济生活 中，一般有两种操作方法： （1）银行现在支付10000元给张三，一年后张三还银行10600元；
我们把“连续复利”的概念进行推广，就得到了“利息强度”的概念，即某个时
刻的利率水平，亦即瞬时利率。 五、利息强度 定义： 记 t 为某项投资在t时刻的利息强度（利息力、瞬时利率），有：
A' t d ln At t At dt
a ' t d lnat at dt

1
i
( 4)
4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
0
1
i
1
1 i
21
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率
2、名义贴现率
记 d ( m) 为在一个度量期内利息支付m次的名义贴现率，则有：
n
r A ( n ) 1 （2）如果该人的投资是每年计算m次利息，n年后的本利和是多少？ m
mn
（3）如果该人的投资是每年计算利息的次数是无穷大，情况又如何？
r A(n) lim 1 m m
mn
ern
这就是投资学所讲的“连续复利”
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第一节 利息度量
t
那么，我们就说这笔投资以每期复利i计息，将这样产生的利息称为复利；
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第一节 利息度量 二、实际利率（续） 2、单利与复利（续） 单利与复利下每期的实际利率：
1 i n 1 A n A n 1 a n a n 1 1 in i in A n 1 a n 1 1 i n 1 1 i n 1
2203.76元。计算k与j的比率。
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第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 课堂练习：案例1.1.11 求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息4次的年名义 贴现率。
课堂练习：案例1.1.12
以年计息2次的年名义贴现率10%，在6年后支付5万元，求其现值。
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第一节 利息度量 复习：实际利率、实际贴现率、名义利率和名义贴现率 注意：“度量期”和“计息期” 度量期：针对于投资期限而言的，是从本金到积累值所经过的时间； 计息期：计算或支付利息的周期，比如一个度量期内可以计息n次。 引例： （1）某人将其 K 元资金以复利i投资n年，n年后的本利和是多少？ A(n) K 1 r
的是“年”。
4
第一节 利息度量 —基本概念与基本函数 2、基本函数 （1）积累函数：本金为1的投资在t时刻的积累值，也称t期积累因子；
a(t )
a(0) 1
At k a t
（2）总量函数：本金为k的投资在t时刻的积累值；
At
（3）折现函数：为了使t期期末积累值为1，在开始时应投入的本金又称t期折现
（2）银行现在支付9400元给张三，一年后张三还银行10000元。
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 1、概念 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息额与期末的投资回收金额 之比，用字母dn表示（ dn 表示第n期的实际贴现率）。
dn
2、单贴现与复贴现
A n A n 1 A n
d
1
22
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 例题：1.1.8 求10000元按照每年计息4次的年名义利率6%投资三年后的积累值。
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第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 例题：1.1.9 已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。
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第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 例题：1.1.10 在1980年1月1日，某人以年利率j（每半年计息一次）向X银行存入1000元； 1985年1月1日，他以年利率k（每季度计息一次）把X银行的全部资金转存Y银行 ；1988年1月1日，其Y银行的存款余额为1990.76元，如果他从1980年1月1日到 1988年1月1日都能获得年利率k（每季度计息一次），则他的银行存款余额可达
一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元，经过8年的积累值。
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第一节 利息度量
案例分析：1.1.15
0.02 0.1t 1.03 0t 5 5 t 15
某个基金的本金积累方式为利息强度： t
计算某人在时刻2投资1元到该基金中，到时刻10的积累值是多少？
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第一节 利息度量 课堂练习：案例1.1.16 已知实际利率为8%，求等价的利息强度。 课堂练习：案例1.1.17 如果实际利率在头3年为10%，随后2年为8%，再随后1年为6%，求一笔1000元的 投资在这6年中所得的总利息。 课堂练习：案例1.1.18 已知利息强度为： t
d 1 d
i
或
d
i 1 i
从前面学习知，v表示一期折现因子，即年末积累值为1，在年初投入的本金，
则有：
v a 1 1 1
a (1)

1 1 d 1 i
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 例题：1.1.6 某人存入银行1000元，第一年末他在存折上的余额为1050元，第二年末他在 存折上的余额为1100元，问：第一年和第二年的实际贴现率分别是多少？
d 1 m
(m)
m
1 d
上述右式表明了名义贴现率和实际贴现率之间的关系 ，用图示表示为：
d ( 4) 1 4
0
4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
d ( 4) 1 4
1
1
1 d
（对于整数n≥1）
注意：I 是一个时间区间上所得的利息额，而 A n 则是在一特定时刻 n 的积累量。
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， ， ，
第一节 利息度量 —基本概念与基本函数 例题 1.1.1 已知总量函数 A(t ) kt 2 lt m （ 0 t 20），如果 A(0) 100 ，A(1) 110 ，
（对于整数n≥1）
8
第一节 利息度量 二、实际利率（续） 2、单利与复利 单利：考虑本金为1，如果在t时的积累值为：
a(t ) 1 i t
那么，我们就说这笔投资以每期单利i计息，将这样产生的利息称为单利； 复利：同样考虑本金为1，如果在t时的积累值为：
a (t ) 1 i
11
第一节 利息度量 二、实际利率 例题 1.1.3 某人投资1000元于某证券上，该证券年实际利率为10％，问：一年后此人将 得到多少金额？其中利息为多少？
12
第一节 利息度量 二、实际利率 例题1.1.4 某银行以单利计息，年息6％，某人存入5000元，问5年后的积累值是多少？ 如果以复利计息，积累值又是多少呢?
上式表明：利息强度为常数时，实际利率也为常数 两个常用的公式：
e 1 i
ln1 i
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第一节 利息度量
案例分析：1.1.13
如果 t 0.01 t ， 0 t 2 ，确定投资1000元在第一年末的积累值和第二年内 的利息金额 。
30
第一节 利息度量
案例分析：1.1.14
CHAPTER 1
□ 利息度量 □ 利息问题解答
1
Section Ⅰ 利息的度量
基本概念与基本函数 实际利率 实际贴现率 名义利率与名义贴现率
利息强度
2
第一节 利息度量 一、基本概念与基本函数 引 例： 张三这个月领取了3000元工资，他到银行办理了一个一年期定期存款。
一年后，他到银行取款，总共取出了3105元。
lim i m lim d m
m m
t
经过变形可得：
s ds 0 at e
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第一节 利息度量 五、利息强度 当 t 为一常数 时，则有以下关系式：
at e
s ds
0
t
ds 0 e et
t
an an 1 e n en1 in e 1 i n 1 an 1 e
1、名义利率
假设在一个度量期内（如1年）利息支付m次，每次支付利息的利率为j，整个度量 期的实际利率为i，名义利率记为 i ( m ) ，则：
i ( m) m j
i (m) 1 m
m
1 i
上述右式表明了名义利率和实际利率之间的关系 。
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第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 实际利率和名义利率关系式推导示意图
A(2) 136 ，求 t 1 时刻投资100元在t 10 时的积累价值。
7
第一节 利息度量 二、实际利率 1、概念 实际利率是利息的第一种度量方式，某一度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息额与该度量期开始时投入的本金之比，用字母in表示（表示第n期 的实际利率）。
A n A n 1 in A n 1
因子。记为 a1 t 特别的，把1期折现因子 a
v a 1 t 1 a(t )
1
1
简称折现因子，并记为 v 。
5
第一节 利息度量 —基本概念与基本函数 2、基本函数（续）
（4）利息金额：从投资日算起，第n个时期所得到的利息额度。
In
In A n A n 1
在这个例子中，有哪些我们耳熟能详的概念？ 3000元？ 3105元？ 105元？ 时间一年？
3
第一节 利息度量 —基本概念与基本函数 1、基本概念


本金：每项业务开始时投入的金额；
积累值：业务开始一段时间后回收的总金额（终值）； 现值：为了在t期末得到某个积累值，在开始时投入的本金额（折现值）； 利息：一段时间内，积累值和本金的差额； 度量期（期）：从投资业务开始日到积累值计算日之间的时间长度，最常见
20 10t 500
， 0 t 20
某人于时刻10投资100元，到时刻15的积累值是多少？
33
Section Ⅱ
利息问题解答
现金流分析法 典型的利息问题
34
第二节 利息问题求解 一、现金流分析法
现金流 时间轴
p0
0
p1
p2 t2
……
pn tn
t1
……
（1）现金流分析；
（2）择一任意时刻参照点，建立价值等式，等号两边现值（或积累值）
n 1
单利：
A n A n 1 a n a n 1 1 i 1 i 复利： in n 1 A n 1 a n 1 1 i
n
i
可见，单利关于n单调递减，而复利意味着常数的实际利率。
10
第一节 利息度量 二、实际利率 例题 1.1.2 某人存入银行1000元，第一年末他在存折上的余额为1050元，第二年末他在 存折上的余额为1100元，问：第一年和第二年的实际利率分别是多少？