高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义成长训练
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
主动成长
夯基达标
1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是()
A.AB+BC= CA
B.AB+AC=BC
C.+=
D.+=
解析:+=≠,故A错. +≠,故B错.
+=+==,故C正确. +≠,故D错.
答案:C
2.在四边形ABCD中,=+,则四边形ABCD是()
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.平行四边形
解析:∵AC=AB+AD,∴AB+AD=AC,又A、B、C、D为四边形的顶点,根据向量求和的平行四边形法则得ABCD为平行四边形.
答案:D
3.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向()
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析:∵a∥b,且|a|>|b|>0,∴a与b为非零的共线向量.当a与b方向相同时,a+b与a 方向相同,当a与b方向相反时,由于|a|>|b|,∴a+b与a方向相同,综上,a+b与a方向相同.
答案:A
4.a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则()
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是共线向量
C.a=-b
D.a,b无论什么关系均可
解析:当a与b不共线时,|a+b|<|a|+|b|,当a与b方向相反时,|a+b|<|a|+|b|,故a∥b 且a与b方向相同时方满足|a+b|=|a|+|b|.
答案:A
5.-+ -+等于()
A. B. C. D.0
解析:-+-+=(+)-(+)+=-+=. 答案:A
6.在平行四边形ABCD中,若|BC+BA|=|BC+AB|,则必有()
A.ABCD是菱形
B.ABCD是矩形
C.ABCD是正方形
D.以上皆错
解析:在平行四边形中,+=,+=+=. ∵|+|=|+|,∴||=||.∴ABCD为矩形.
答案:B
7.已知正方形ABCD的边长为1,则|+++|为()
A.1
B.2
C.3
D.22
2.
解析:| AB+BC+DC+AD|=|2AC|=2|AC|=2
答案:D
8.若三个向量a、b、c满足a+b+c=0,则a、b、c可以组成()
A.一条直线
B.三个点
C.三角形
D.不确定
解析:当a、b、c共线时,不能构成三角形,当a、b、c不共线时,由向量加法的三角形法则可知能构成三角形.
答案:D
9.若向量a、b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的取值范围是______________.
解析:应用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
答案:[4,20]
10.已知||=||=1,且∠AOB=60°,则|+|=____________.
+,则OACB为菱形,且∠AOB=60°.∴||=3.
解析:设=
答案:3
11.一艘船从3 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,同时河水的流速为3 km/h,求船实际航行速度的大小和方向.
解析:设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度,表示水流速度,以AD、AB为邻边作ABCD,则就是船的实际航行速度.
在Rt△ABC 中,|AB |=3 km/h,| BC |=3 km/h, ∴|AC |=2333||||2222=+=+BC AB . tan∠CAB=3
3=1, ∴∠CAB=45°.
答:船实际航行速度的大小为23 km/h ,方向与水流方向间的夹角为45°.
12.设O 是△ABC 内任一点,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点, 证明OA +OB +OC =OD +OE +OF .
证明:因为=+,+=,+=,
所以FC EB EA OF OE OD OC OB OA +++++=++.
因为D 、E 、F 分别为各边的中点, 所以=
21,=21,=21. 所以DA +EB +=21(BA ++)=0. 所以.++=++
走近高考
13.(2006全国高考Ⅰ)设平面向量a 1,a 2,a 3的和a 1+a 2+a 3=0.如果平面向量b 1,b 2,b 3满足|b i |=2|a i |,且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向,其中i=1,2,3,则……( )
A.-b 1+b 2+b 3=0
B.b 1-b 2+b 3=0
C.b 1+b 2-b 3=0
D.b 1+b 2+b 3=0 解析:不妨设a 1、a 2、a 3的模相等,且夹角都为120°.
∵|b i |=2|a i |,且将a i 顺时针旋转30°后与b i 同向,即b 1+b 2+b 3=2(a 1+a 2+a 3)=0.故选D. 答案:D
14.(2005山东高考模拟一)下列命题:
①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反,那么,a +b 的方向必与a 、b 之一的方向相同; ②△ABC 中,必有AB +CA BC +=0;
BC =0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;
③若AB+CA
④若a、b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①假命题.当a+b=0时,命题不成立.
②真命题.
③假命题.当A、B、C三点共线时也有++=0.
④假命题.只有当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|.其他时候均为|a+b|<|a|+|b|. 答案:B