地下结构纵向抗震动力可靠度分析
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，9，10]
f i ( z) =
∫ ∫
hi 0
hi 0
m i ( z ) dz
mi ( z )ϕ i ( z )dz
ϕ i ( z ) ( i = 1，2，3，…，n)
(4)
隧道所处地层体系的运动方程可以按照地震从 纵向 ( x 方向 ) 和横向 ( y 方向 ) 激振的情况分别列出 如下： 纵向( x 方向)激振时，为
Abstract：The mathematic models of seismic responses used for analyzing submerged tunnels are utilized to study the stochastic seismic responses of underground structures. The principles and methods of computing the impulse-response function for the underground structures with dynamic analysis method are elaborated，and the formulas for evaluating the statistical characteristics of the longitudinal stochastic seismic responses for underground structures are achieved by using principles of Fourier transform and theories of random vibration. With stochastic seismic responses considered as a Poisson process，the formulas for calculating the longitudinal aseismic reliabilities on the basis of the first passage mechanism are established. The Nanjing Changjiang Tunnel is used as an example to compute the square-mean-root responses and the longitudinal aseismic reliabilities under stationary random earthquake loads. A new analysis method proposed in this paper can serve as the theoretical basis for the speculation standards of the stochastic aseismic design for underground structures based on reliability theories. Key words：tunnel engineering；underground structure；longitudinal stochastic seismic responses；aseismic reliability；impulse function
DYNAMIC ANALYSIS OF LONGITUDINAL ASEISMIC RELIABILITY OF UNDERGROUND STRUCTURES
YAN Song-hong1，LIANG Bo1，GAO Bo2
(1. School of Civil Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China； 2. School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)
摘要：将沉埋隧道地震反应分析的数学模型应用于地下结构随机地震响应分析，阐述了采用动力分析方法求结构 体系的脉冲响应函数的原理和方法，采用傅立叶变换原理和随机振动理论，建立了地下结构纵向随机地震响应统 计特征的数学表达式。将结构随机地震响应看成是 1 个泊松过程，建立了采用首次超越破坏理论计算地下结构抗 震可靠度的数学公式。 以南京长江越江隧道初步设计方案(沉管段)为例， 计算了其在高斯平稳随机过程地震动作用 下的动力反应均方根值和纵向抗震动力可靠度。为地下结构整体随机地震反应分析及动力可靠度的研究提供了一 种分析途径，为以可靠性理论为基础的地下结构抗震概率设计规范的制订奠定了理论基础。 关键词：隧道工程；地下结构；纵向随机地震响应；抗震可靠度；脉冲函数 中图分类号：TU 311.3 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)01–0071–06
第 24 卷 第 1 期 2005 年 1 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.1 Jan.，2005
地下结构纵向抗震动力可靠度分析
严松宏 1，梁 波 1，高 波2
(1. 兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2. 西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)
，利用
结构动力分析的脉冲响应函数原理和随机振动理 论，建立了地下结构随机地震响应数字特征的数学 表达式，并采用首次超越破坏理论计算地下结构的 抗震动力可靠度数学公式，编制了相应的计算分 析程序。 以南京长江越江隧道初步设计方案(沉管段) 为例，计算了其在高斯平稳随机过程地震动作用下 的动力反应均方根值和抗震动力可靠度，为地下结 构整体随机地震反应分析及动力可靠度的研究提供 了一种分析途径。该研究成果为地下结构纵向抗震 可靠性设计提供了一定的理论参考依据。
根据上述分析，隧道纵向位移和轴力可表示为
t &&g (τ )dτ u x ( x，t ) = ∫ hux ( x，t − τ )u 0 t &&g (τ )dτ N x ( x，t ) = ∫ hNx ( x，t − τ )u 0
(9)
&&g (τ ) ，隧道 对于中心化的平稳地震动随机过程 u
3.1 隧道纵向变形与内力数字特征
1 组成， 与所论位移方向(激振方向)对应位置上的元
素为 1，其他元素为 0。 求解式(5)，(6)即可得到地层各换算质量点的纵 向和横向位移。将所求得的地层各换算质量点的位 移分别乘以隧道所在水平位置的 f i ( z ) 并拟合得到
ugy ( x，t ) 。 在隧道水平面上的地层位移值 ugx ( x，t ) ，
视隧道为一弹性地基梁，其运动方程可分别按纵向
纵向变形与内力的数字期望为
t &&g (τ )dτ = 0 Eux ( x) = E ∫ hux ( x，t − τ )u 0 t &&g (τ )dτ = 0 E Nx ( x) = E ∫ hNx ( x，t − τ )u 0
，9，10]
图1 Fig.1
隧道数学模型
Calculation model of tunnel
式中：hi 为第 i 节段基岩以上地层厚度，z 为所论节 段地层某一点至地面的深度， mi ( z ) 为第 i 节段地层 在深度 z 处单位深度上的质量， ϕ i ( z ) 为第 i 节段地 层的剪切振型。 地层节段 i 在基底被弹簧所联接，其弹簧系数
K1i 为
K1i = M eiω i2
( i = 1，2，3， L，n)
(2)
式中： ω i 为第 i 节段地层的剪切振动自振圆频率。 联结 2 个相邻质量 M ei 和 M e ( i +1) 的弹簧系数
K 2 x (i，i +1) 和 K 2 y (i，i+1) 分别为
E 0i f i ( z )dz hi K 2 y (i，i +1) G f ( z ) d z ∫0 0i i (i = 1， 2， 3， L，n) K 2 x (i，i +1) = 1 Li，i +1 1 = Li，i +1
收稿日期：2003–04–03；修回日期：2003–06–16 基金项目：甘肃省自然科学基金项目(ZS021–A25–020–G)；兰州交通大学“青蓝”人才工程基金资助计划资助项目 作者简介： 严松宏(1964–)， 博士， 1989 年毕业于西南交通大学工程力学专业， 现任教授， 主要从事岩土与地下工程方面的教学与研究工作。 E–mail： yansonghong@163.com。
0 2
(5)
i = 1，2，3，…，n
(1)
横向( y 方向)激振时，为
&&} + [C y ]{u &} + [ K y ]{u} = −[ M ]{I y }u &&g (t ) (6) [ M ]{u
第 24 卷
第1期
严松宏等. 地下结构纵向抗震动力可靠度分析
• 73 •
&} ， {u &&} 分别为地层体系各质点沿所 式中： {u} ， {u &&g (t ) 为基岩顶 论方向的位移、速度和加速度向量；u 面的地震加速度； [ M ] ， [ M ] 分别为地层体系总换 算质量和实际质量矩阵；[ K x ] ，[ K y ] 分别为地层体 系对应于隧道纵向和横向的总刚度矩阵；[C x ] ，[C y ] 分别为地层体系对应于隧道纵向和横向的总阻尼矩 阵； {I x } ， {I y } 分别为激振方向指示矢量，由 0 和
∫
hi
0
(3)
式中： Li，i +1 为 M ei 和 M e ( i +1) 间的距离； E0i ， G0i 分 别为节段 i 在深度 z 处的弹性和剪切模量； f i ( z ) 为 质量 M ei 产生单位位移时节段 i 在深度 z 处的位移， 其值为
2 隧道整体分析模型
日本田村重四郎和冈本舜三提出的沉埋隧道地 震反应分析数学模型[6
• 72 •
岩石力学与工程学报
2005 年
来自百度文库
1 引
言
随着地下工程的发展以及地震灾害的不断出 现，地下结构抗震问题已经成为地震工程中的一个 重要课题，越来越受到人们的重视。 国内外学者在地下结构抗震计算方面做了大量 工作，特别是随着有限元的发展与应用，以有限元 法为代表的二维和三维动力数值分析方法已得到广 ～ 泛应用[1 6]。文[6，7]将沉埋隧道地震反应分析模型 与有限元结合起来，分析了沉管隧道在地震作用下 的动力性能及相关因素对隧道动力性能的影响。然 而应该看到，现行的地下结构抗震分析基本上都是 采用“定值分析”的方法。实际地震运动具有极大 的不确定性，而且永远不会重复，采用确定性分析 方法，一般不能真实地反映地下结构的动力响应特 性。在进行结构抗震设计时，应将地震作用视作随 机场或至少视作随机过程来处理。到目前为止，有 关隧道随机地震反应分析及抗震动力可靠度方面的 研究成果较少见诸文献。文[8]利用弹性地基梁理论 研究了隧道的随机地震响应。 本文根据日本学者田村重四郎和冈本舜三提出 的沉埋隧道地震反应分析的数学模型[6
&&} + [C x ]{u &} + [ K x ]{u} = −[ M ]{I x }u &&g (t ) [ M ]{u
，将基岩以上地层沿隧
道轴向划分成一系列节段，每一节段均用与其剪切 振动自振周期相同的质量、弹簧取代(如图 1 所示)。 地层节段 i 的基本振型换算质量 M ei 为 hi m ( z )ϕ ( z )dz i ∫0 i M ei = hi 2 ∫ mi ( z )ϕ i ( z )dz
隧道长度上的位移和轴力脉冲响应分布函数
hux ( x，t ) 和 hNx ( x，t ) ，以及地震加速度脉冲从横向
作用时隧道沿其长度上的位移、剪力和弯矩脉冲响 应分布函数 huy ( x，t ) ， hQy ( x，t ) 和 hMy ( x，t ) 。从而 可根据随机振动理论求得隧道整体随机地震响应数 字特征。
f i ( z) =
∫ ∫
hi 0
hi 0
m i ( z ) dz
mi ( z )ϕ i ( z )dz
ϕ i ( z ) ( i = 1，2，3，…，n)
(4)
隧道所处地层体系的运动方程可以按照地震从 纵向 ( x 方向 ) 和横向 ( y 方向 ) 激振的情况分别列出 如下： 纵向( x 方向)激振时，为
Abstract：The mathematic models of seismic responses used for analyzing submerged tunnels are utilized to study the stochastic seismic responses of underground structures. The principles and methods of computing the impulse-response function for the underground structures with dynamic analysis method are elaborated，and the formulas for evaluating the statistical characteristics of the longitudinal stochastic seismic responses for underground structures are achieved by using principles of Fourier transform and theories of random vibration. With stochastic seismic responses considered as a Poisson process，the formulas for calculating the longitudinal aseismic reliabilities on the basis of the first passage mechanism are established. The Nanjing Changjiang Tunnel is used as an example to compute the square-mean-root responses and the longitudinal aseismic reliabilities under stationary random earthquake loads. A new analysis method proposed in this paper can serve as the theoretical basis for the speculation standards of the stochastic aseismic design for underground structures based on reliability theories. Key words：tunnel engineering；underground structure；longitudinal stochastic seismic responses；aseismic reliability；impulse function
DYNAMIC ANALYSIS OF LONGITUDINAL ASEISMIC RELIABILITY OF UNDERGROUND STRUCTURES
YAN Song-hong1，LIANG Bo1，GAO Bo2
(1. School of Civil Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China； 2. School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)
摘要：将沉埋隧道地震反应分析的数学模型应用于地下结构随机地震响应分析，阐述了采用动力分析方法求结构 体系的脉冲响应函数的原理和方法，采用傅立叶变换原理和随机振动理论，建立了地下结构纵向随机地震响应统 计特征的数学表达式。将结构随机地震响应看成是 1 个泊松过程，建立了采用首次超越破坏理论计算地下结构抗 震可靠度的数学公式。 以南京长江越江隧道初步设计方案(沉管段)为例， 计算了其在高斯平稳随机过程地震动作用 下的动力反应均方根值和纵向抗震动力可靠度。为地下结构整体随机地震反应分析及动力可靠度的研究提供了一 种分析途径，为以可靠性理论为基础的地下结构抗震概率设计规范的制订奠定了理论基础。 关键词：隧道工程；地下结构；纵向随机地震响应；抗震可靠度；脉冲函数 中图分类号：TU 311.3 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)01–0071–06
第 24 卷 第 1 期 2005 年 1 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.1 Jan.，2005
地下结构纵向抗震动力可靠度分析
严松宏 1，梁 波 1，高 波2
(1. 兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2. 西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)
，利用
结构动力分析的脉冲响应函数原理和随机振动理 论，建立了地下结构随机地震响应数字特征的数学 表达式，并采用首次超越破坏理论计算地下结构的 抗震动力可靠度数学公式，编制了相应的计算分 析程序。 以南京长江越江隧道初步设计方案(沉管段) 为例，计算了其在高斯平稳随机过程地震动作用下 的动力反应均方根值和抗震动力可靠度，为地下结 构整体随机地震反应分析及动力可靠度的研究提供 了一种分析途径。该研究成果为地下结构纵向抗震 可靠性设计提供了一定的理论参考依据。
根据上述分析，隧道纵向位移和轴力可表示为
t &&g (τ )dτ u x ( x，t ) = ∫ hux ( x，t − τ )u 0 t &&g (τ )dτ N x ( x，t ) = ∫ hNx ( x，t − τ )u 0
(9)
&&g (τ ) ，隧道 对于中心化的平稳地震动随机过程 u
3.1 隧道纵向变形与内力数字特征
1 组成， 与所论位移方向(激振方向)对应位置上的元
素为 1，其他元素为 0。 求解式(5)，(6)即可得到地层各换算质量点的纵 向和横向位移。将所求得的地层各换算质量点的位 移分别乘以隧道所在水平位置的 f i ( z ) 并拟合得到
ugy ( x，t ) 。 在隧道水平面上的地层位移值 ugx ( x，t ) ，
视隧道为一弹性地基梁，其运动方程可分别按纵向
纵向变形与内力的数字期望为
t &&g (τ )dτ = 0 Eux ( x) = E ∫ hux ( x，t − τ )u 0 t &&g (τ )dτ = 0 E Nx ( x) = E ∫ hNx ( x，t − τ )u 0
，9，10]
图1 Fig.1
隧道数学模型
Calculation model of tunnel
式中：hi 为第 i 节段基岩以上地层厚度，z 为所论节 段地层某一点至地面的深度， mi ( z ) 为第 i 节段地层 在深度 z 处单位深度上的质量， ϕ i ( z ) 为第 i 节段地 层的剪切振型。 地层节段 i 在基底被弹簧所联接，其弹簧系数
K1i 为
K1i = M eiω i2
( i = 1，2，3， L，n)
(2)
式中： ω i 为第 i 节段地层的剪切振动自振圆频率。 联结 2 个相邻质量 M ei 和 M e ( i +1) 的弹簧系数
K 2 x (i，i +1) 和 K 2 y (i，i+1) 分别为
E 0i f i ( z )dz hi K 2 y (i，i +1) G f ( z ) d z ∫0 0i i (i = 1， 2， 3， L，n) K 2 x (i，i +1) = 1 Li，i +1 1 = Li，i +1
收稿日期：2003–04–03；修回日期：2003–06–16 基金项目：甘肃省自然科学基金项目(ZS021–A25–020–G)；兰州交通大学“青蓝”人才工程基金资助计划资助项目 作者简介： 严松宏(1964–)， 博士， 1989 年毕业于西南交通大学工程力学专业， 现任教授， 主要从事岩土与地下工程方面的教学与研究工作。 E–mail： yansonghong@163.com。
0 2
(5)
i = 1，2，3，…，n
(1)
横向( y 方向)激振时，为
&&} + [C y ]{u &} + [ K y ]{u} = −[ M ]{I y }u &&g (t ) (6) [ M ]{u
第 24 卷
第1期
严松宏等. 地下结构纵向抗震动力可靠度分析
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&} ， {u &&} 分别为地层体系各质点沿所 式中： {u} ， {u &&g (t ) 为基岩顶 论方向的位移、速度和加速度向量；u 面的地震加速度； [ M ] ， [ M ] 分别为地层体系总换 算质量和实际质量矩阵；[ K x ] ，[ K y ] 分别为地层体 系对应于隧道纵向和横向的总刚度矩阵；[C x ] ，[C y ] 分别为地层体系对应于隧道纵向和横向的总阻尼矩 阵； {I x } ， {I y } 分别为激振方向指示矢量，由 0 和
∫
hi
0
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式中： Li，i +1 为 M ei 和 M e ( i +1) 间的距离； E0i ， G0i 分 别为节段 i 在深度 z 处的弹性和剪切模量； f i ( z ) 为 质量 M ei 产生单位位移时节段 i 在深度 z 处的位移， 其值为
2 隧道整体分析模型
日本田村重四郎和冈本舜三提出的沉埋隧道地 震反应分析数学模型[6
• 72 •
岩石力学与工程学报
2005 年
来自百度文库
1 引
言
随着地下工程的发展以及地震灾害的不断出 现，地下结构抗震问题已经成为地震工程中的一个 重要课题，越来越受到人们的重视。 国内外学者在地下结构抗震计算方面做了大量 工作，特别是随着有限元的发展与应用，以有限元 法为代表的二维和三维动力数值分析方法已得到广 ～ 泛应用[1 6]。文[6，7]将沉埋隧道地震反应分析模型 与有限元结合起来，分析了沉管隧道在地震作用下 的动力性能及相关因素对隧道动力性能的影响。然 而应该看到，现行的地下结构抗震分析基本上都是 采用“定值分析”的方法。实际地震运动具有极大 的不确定性，而且永远不会重复，采用确定性分析 方法，一般不能真实地反映地下结构的动力响应特 性。在进行结构抗震设计时，应将地震作用视作随 机场或至少视作随机过程来处理。到目前为止，有 关隧道随机地震反应分析及抗震动力可靠度方面的 研究成果较少见诸文献。文[8]利用弹性地基梁理论 研究了隧道的随机地震响应。 本文根据日本学者田村重四郎和冈本舜三提出 的沉埋隧道地震反应分析的数学模型[6
&&} + [C x ]{u &} + [ K x ]{u} = −[ M ]{I x }u &&g (t ) [ M ]{u
，将基岩以上地层沿隧
道轴向划分成一系列节段，每一节段均用与其剪切 振动自振周期相同的质量、弹簧取代(如图 1 所示)。 地层节段 i 的基本振型换算质量 M ei 为 hi m ( z )ϕ ( z )dz i ∫0 i M ei = hi 2 ∫ mi ( z )ϕ i ( z )dz
隧道长度上的位移和轴力脉冲响应分布函数
hux ( x，t ) 和 hNx ( x，t ) ，以及地震加速度脉冲从横向
作用时隧道沿其长度上的位移、剪力和弯矩脉冲响 应分布函数 huy ( x，t ) ， hQy ( x，t ) 和 hMy ( x，t ) 。从而 可根据随机振动理论求得隧道整体随机地震响应数 字特征。