高中数学任意角 例题解析

任意角 例题解析

一、重点、难点剖析

理解任意角的概念，任意角产生于用角α表示圆周上运动的点P ，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角。理解终边相同的角的概念，能在00到3600范围内，找出一个与已知角终边相同的角，会判定其为第几象限角，能写出与任一已知角终边相同的角并用集合的语言准确地表示。

二、典型例题

例1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在00720~360-间的角写出来：

︒60 (1) ︒21- (2) '︒14633 (3)

解：(1) {}Z k k S ∈︒⋅+︒==，36060|ββ

S 中在-360°～7200间的角是：

-1×360°+60°=-280°；0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．

(2) {}Z k k S ∈︒⋅+︒-==，36021|ββ

S 中在-360°～720间的角是：

0×360°-21°=-21°；1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．

(3) {}Z k k S ∈︒⋅+'︒==，36014363|ββ

S 中在-360°～720°间的角是：

-2×360°+363º14’=-356º46’；-1×360°+363º14’=3º14’；0×360°+363º14’=363º14’．

例2、写出终边在y 轴上的角的集合（用00到3600的角表示）。

解：∵ 在0°～ 360°间，终边在y 轴的正半轴上的角为90°，终边在y 轴的负半轴上的角为270°，∴终边在y 正半轴、负半轴上所有角分别是：

S 1={α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z}；S 2={α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z}

探究：怎么将二者写成统一表达式？

∵S 1={α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z}={α|α=2k ⋅180︒+90︒,k ∈Z}；

S 2={α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z}={α|α=2k ⋅180︒+180︒+90︒,k ∈Z}={α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k ∈Z}；

∴终边在y 轴上的角的集合是：

S=S 1 S 2={α|α=2k ⋅180︒+90︒,k ∈Z} {α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k ∈Z}

={α|α=180︒的偶数倍+90︒,k ∈Z} {α|α=180︒的奇数倍+90︒,k ∈Z}

={α|α=180︒的整数倍+90︒,k ∈Z}

={α|α=n ⋅180︒+90︒,n ∈Z}

引申：写出终边适合下述条件的角的集合。

（1）终边在x 轴的正半轴、x 轴的负半轴及x 轴上的角的集合：

{α|α=k ⋅360︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅360︒+180︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅180︒,k ∈Z}

（2）终边在y 轴的正半轴、y 轴的负半轴及y 轴上的角的集合：

{α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅180︒+90︒,k ∈Z}

（3）终边在坐标轴、坐标轴的分角线及终边在坐标轴和坐标轴的分角线上的角的集合：

{α|α=k ⋅90︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅90︒+45︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅45︒, k ∈Z}

例3、用集合的形式表示象限角

解：第一象限的角表示为{α|k ⋅360︒<α

第二象限的角表示为{α|k ⋅360︒+90︒<α

第三象限的角表示为{α|k ⋅360︒+180︒<α

第四象限的角表示为{α|k ⋅360︒+270︒<α

或{α|k ⋅360︒-90︒<α

例4、设角βα,满足009090<<<-βα，则βα-的范围是 （ A ）

A ．000180<-<-βα

B ．009090<-<-βα

C ．00180180<-<-βα

D ．00090<-<-βα

解：00,<-∴<βαβα （1）

又00009090,9090<-<-∴<<-ββ

而0000180180,9090<-<-∴<<-βαα （2）

由（1）、（2）可得：000180<-<-βα 选（A ）

例5、已知α是第二象限角，问2

α是第几象限角？2α是第几象限角？分别加以说明。 解：∵α在第二象限，∴k ⋅360︒+90︒＜α＜k ⋅360︒+180︒，k ∈Z

于是， k ⋅180︒+45︒＜2

α＜k ⋅180︒+90︒, ∵k ∈Z, ∴k=2n 或k=2n+1 当k=2n 时，n ⋅360︒+45︒＜2α＜n ⋅360︒+90︒, ∴2

α在第一象限；

当k=2n+1时，n ⋅360︒+225︒＜2α＜n ⋅360︒+270︒, ∴2

α在第三象限； ∴当α在第二象限时，∴2

α可能在第一象限，也可能在第三象限 类似地，2α可能在第三、四象限或y 轴负半轴上