多元函数的连续及可微 - 副本

多元函数的连续及可微——强化

我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.

1 一元函数和多元函数可微的联系和区别

一元函数，对于函数()y f x =在0x 极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质.简单表示为：可微⇒连续⇒极限存在(且不可逆).

多元函数，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，是可以证明的.从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数(,)z f x y =在点0p (0x ,0y )可微，则函数(,)f x y 在点0p （0x ，0y ） 连续，偏导存在；若二元函数(,)z f x y =的两个偏导数'x f （x,y ）与'y f (x,y)在点0p （0x ，0y ）连续，则函数(,)f x y 在0p （0x ，0y ）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续⇒可微⇒(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立. 2多元函数的连续、偏导数及可微性

2.1 多元函数的连续性

定理1 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有定义，若0(,)f x y 作为y 的一元函数在点y=0y 连续，(,)x f x y 在0()U p 内有界，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.

定理2 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 有定义，(,)y f x y 在0()U p 内 有界，0(,)f x y 作为x 的一元函数在点0x x =连续，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.

定理 3[5]

设函数12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()U p 内有定义， 12(,,)i x n f x x x ⋅⋅⋅在0()U p 有界{}0111(1,2,),(,,,,)i i i n i n f x x x x x -+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为

111,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的n-1元函数在点0000111(,,,)i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，则 12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在

点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅连续.

2.2多元函数的偏导数

////0000(,)(,)xy yx f x y f x y =此式成立的条件为：偏导数//xy

f 和//yx f 在00(,)x y 都连续. 定理4 若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ，/y f 及//yx f 存在，且//

yx f 在0p 对y 连续，则偏导数//xy f 在0p 存在，且 ////0000(,)(,)xy yx f x y f x y =

2.3 多元函数的可微性

偏导数连续，则函数一定可微.

函数在点0p 可微的必要条件是各个偏导数在0p 处存在.

如果函数(,)z f x y =在0p 处的全增量可表示为： z=A x+B y+()ορ

则常数A 与B 一定为A=x f (0p ) B=y f (0P ) 且函数在0P 处可微.

验证函数可微性的一个方法是检验极限：0lim ρ→00()()x y Z f p f p y

ρ-- 是否等于零

然而这先要求偏导数A=0()x f p 和B=0()y f p .

定理5[2] 设n 元函数()z f p =在0p 的某个邻域内有定义，且极限0lim Z

ρρ→ 存在，记为α

(1) 若0α≠，则函数()z f p =在0p 处不可微；

(2) 若α=0，则函数在0p 处可微且00dz p =

，其中ρ=

. 定理6[3] 若n+1元函数1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 的偏导数对n+1个变量连续，关于1,n x x ⋅⋅⋅可微（即把1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅中的y 看成常数后可微），则n+1元函数1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.

推论 若n(n ≥2)元函数1(,,)n f x x ⋅⋅⋅的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则1(,,)n f x x ⋅⋅⋅可微.

2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系

(1) 函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在.

例 函数(,)f x

y =(0,0)连续偏导数不存在.

(2)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 偏导存在，但不一定连续.

例 函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩

在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续 2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系

(1) 可微与偏导存在

定理7 （可微的必要条件）若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)p x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+

逆命题不成立，及二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 处的偏导即使存在，也不一定可微.

例

证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=⎪⎪+=⎩

在原点两个偏导存在，但不可微.

(2) 偏导连续与可微

定理8 （可微的充分条件）若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)p x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)p x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)p x y 可微.